第第6 6节空间向量及其运算节空间向量及其运算知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,在在x x轴上的点的坐标怎么记轴上的点的坐标怎么记?在在y y轴上的点轴上的点的坐标怎么记的坐标怎么记?在在z z轴上的点的坐标怎么记轴上的点的坐标怎么记? ?提示提示: :可记作可记作(x,0,0).(x,0,0).可记作可记作(0,y,0).(0,y,0).可记作可记作(0,0,z).(0,0,z).2.2.空间中任意两个非零向量空间中任意两个非零向量a,ba,b共面吗共面吗? ?提示提示: :共面共面. .知识梳理知识梳理 1.1.空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系以空间一点以空间一点O O为原点为原点, ,建立三条两两垂直的数轴建立三条两两垂直的数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴. .这时我们这时我们说建立了一个空间直角坐标系说建立了一个空间直角坐标系OxyzOxyz, ,其中点其中点O O叫做叫做 ,x,x轴、轴、y y轴、轴、z z轴叫做轴叫做 , ,通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做 . .(2)(2)右手直角坐标系右手直角坐标系在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,让右手拇指指向让右手拇指指向x x轴的正方向轴的正方向, ,食指指向食指指向y y轴的正方轴的正方向向, ,如果中指指向如果中指指向 的正方向的正方向, ,则称这个坐标系为右手直角坐标系则称这个坐标系为右手直角坐标系. .(3)(3)空间一点空间一点M M的坐标的坐标空间一点空间一点M M的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组(x,y,z(x,y,z) )来表示来表示, ,记作记作M(x,y,zM(x,y,z),),其中其中x x叫做点叫做点M M的的 ,y,y叫做点叫做点M M的的 ,z,z叫做点叫做点M M的的 . .坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴坐标平面坐标平面z z轴轴横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标3.3.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名称名称定义定义空间向量空间向量在空间中在空间中, ,具有具有 的量叫做空间向量的量叫做空间向量, ,向量的大小向量的大小叫做向量的叫做向量的 . .单位向量单位向量模为模为 的向量的向量零向量零向量长度为长度为 的向量的向量相等向量相等向量方向方向 且模且模 的向量的向量相反向量相反向量方向方向 且模且模 的向量的向量共线向量共线向量( (或平行或平行向量向量) )如果表示空间向量的有向线段所在的直线如果表示空间向量的有向线段所在的直线 , ,则这些向量叫做共线向量或平行向量则这些向量叫做共线向量或平行向量,a,a平行于平行于b b记作记作 . .共面向量共面向量平行于同一个平行于同一个 的向量叫做共面向量的向量叫做共面向量大小和方向大小和方向长度或模长度或模1 10 0相同相同相等相等相反相反相等相等互相平行互相平行或重合或重合abab平面平面4.4.空间向量的有关定理及推论空间向量的有关定理及推论a a=b b p p=x=xa a+y+yb b 不共面不共面 p=xp=xa a+y+yb b+z+zc c 基底基底 基向量基向量 不共线不共线 两向量的数量积两向量的数量积: :已知两个非零向量已知两个非零向量a a, ,b b, ,则则 叫叫做向量做向量a a, ,b b的数量积的数量积, ,记作记作 , ,即即 . .AOB AOB 0, 0, ab ab | |a a|b b| |c cosos a ab ba ab b=|=|a a|b b| |c cosos (2)(2)两个向量数量积的性质和结论两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量已知两个非零向量a a和和b b. .a ae=|e=|a a| |c cosos(,e(其中其中e e为单位向量为单位向量).).a ab b . .|a ab b| | | |a a|b b|.|.(3)(3)空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律数乘结合律数乘结合律:(:(a a) )b b= = . .交换律交换律: :a ab b= = . .分配律分配律: :a a( (b b+ +c c)= )= . .a ab b= =0 0a aa a | |a|a|2 2 (a ab b) )b ba aa ab+ab+ac c(5)(5)空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设a a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),那么那么加、减运算加、减运算: :a ab b= = . .数量积数量积: :a ab b= = . .数乘运算数乘运算:a a= = (R R).).平行的充要条件平行的充要条件: :a ab b . .垂直的充要条件垂直的充要条件: :a ab b . .(x,y,z) (x,y,z) (x(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2,z,z1 1z z2 2) )x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )x x1 1=x=x2 2,y,y1 1=y=y2 2,z,z1 1=z=z2 2(R R) )x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2=0=0夯基自测夯基自测解析解析: :中四点恰好围成一封闭图形中四点恰好围成一封闭图形, ,正确正确; ;中当中当a,ba,b同向时同向时, ,应有应有|a|+|b|=|a+b|,|a|+|b|=|a+b|,所以所以不正确不正确; ;中中a,ba,b所在直线可能重合所在直线可能重合, ,所以所以不正确不正确; ;中需满足中需满足x+y+z=1,x+y+z=1,才有才有P,A,B,CP,A,B,C四点共面四点共面,不正确不正确. .故选故选C.C.C C 解析解析: :关于关于y y轴对称轴对称, ,横、竖坐标变为原来的相反数横、竖坐标变为原来的相反数, ,纵坐标不变纵坐标不变. .A A C C 4.4.已知已知a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),则向量则向量a+ba+b与与a-ba-b的夹的夹角是角是. .解析解析: :因为因为( (a a+ +b b) )( (a a- -b b)=)=a a2 2- -b b2 2=|=|a a| |2 2-|-|b b| |2 2=(=(c cosos2 2+1+sin+1+sin2 2)-(sin)-(sin2 2+1+1+c cosos2 2)=0,)=0,所以所以( (a a+ +b b)()(a a- -b b),),即向量即向量a a+ +b b与与a a- -b b的夹角为的夹角为9090. .答案答案: :9090 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 空间直角坐标系空间直角坐标系【例【例1 1】 (1)(1)在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点M(2,1,-3)M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为关于坐标原点的对称点为M,M,则则MM在在xOzxOz上的投影上的投影MM的坐标是的坐标是; ;(2)(2)已知已知点点A(1,a,-5),B(2a,-7A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(,-2)(a aR R),),则则|AB|AB|的最小值是的最小值是. .解析解析: :(1)M(-2,-1,3),(1)M(-2,-1,3),该点在该点在xOzxOz上的投影上的投影M(-2,0,3).M(-2,0,3).反思归纳反思归纳 (1)(1)点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面点、线、面对称点坐标对称点坐标原点原点(-x,-y,-z)(-x,-y,-z)x x轴轴(x,-y,-z)(x,-y,-z)y y轴轴(-x,y,-z)(-x,y,-z)z z轴轴(-x,-y,z)(-x,-y,z)坐标平面坐标平面xOyxOy(x,y,-z)(x,y,-z)坐标平面坐标平面yOzyOz(-x,y,z)(-x,y,z)坐标平面坐标平面zOxzOx(x,-y,z)(x,-y,z)(2)(2)两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用求两点间的距离或线段的长度求两点间的距离或线段的长度; ;已知两点间的距离已知两点间的距离, ,确定坐标中参数的值确定坐标中参数的值; ;根据已知条件探求满足条件的点的存在性根据已知条件探求满足条件的点的存在性. .解析解析: :(1)(1)横坐标不变其余变为原来的相反数横坐标不变其余变为原来的相反数, ,故为故为(-8,-6,-1).(-8,-6,-1).答案答案: : (1)(-8,-6,-1) (1)(-8,-6,-1)(2)(3,0,0)(2)(3,0,0)考点二考点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算反思归纳反思归纳 (1) (1)用基向量表示指定向量的方法用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时用已知基向量表示指定向量时, ,应结合已知和所求向量观察图形应结合已知和所求向量观察图形, ,将将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中, ,然后利用三角形然后利用三角形法则或平行四边形法则法则或平行四边形法则, ,把所求向量用已知基向量表示出来把所求向量用已知基向量表示出来. .(2)(2)向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和首尾相接的若干向量之和, ,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量点的向量, ,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. .提醒提醒: :空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. . 空间向量的数量积的应用空间向量的数量积的应用考点三考点三 (2)(2)求证求证:AC:AC1 1BD;BD;(3)(3)求求BDBD1 1与与ACAC夹角的余弦值夹角的余弦值. .反思归纳反思归纳 (1)(1)求空间向量数量积的方法求空间向量数量积的方法定义法定义法. .设向量设向量a a, ,b b的夹角为的夹角为,则则a ab b=|=|a a|b b| |c cos ;os ;坐标法坐标法. .设设a a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则a ab b=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2. .求长度求长度( (距离距离).).运用公式运用公式| |a a| |2 2= =a aa a, ,可使线段长度的计算问题转化为可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题向量数量积的计算问题; ;解决垂直问题解决垂直问题. .利用利用a ab ba ab b=0(=0(a a0,0,b b0),0),可将垂直问题转化为可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题向量数量积的计算问题. .备选例题备选例题 【例【例1 1】 已知向量已知向量a a=(1,2,3),=(1,2,3),b b=(x,x=(x,x2 2+y-2,y),+y-2,y),并且并且a a, ,b b同向同向, ,则则x,yx,y的值的值分别为分别为. .答案答案: :1,31,3易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼空间向量的基本运算空间向量的基本运算(2)(2)在空间向量的基本运算中在空间向量的基本运算中, ,一定要准确利用平行四边形法则和三角形法一定要准确利用平行四边形法则和三角形法则则, ,而且一定要准确利用所给的比例而且一定要准确利用所给的比例, ,否则很容易出现错误否则很容易出现错误. .