人教版选修人教版选修人教版选修人教版选修2-22-2第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第1 1节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分 微积分的创始人微积分的创始人牛顿，莱布尼兹牛顿，莱布尼兹导数的产生导数的产生1 1、由、由s=f(t)s=f(t)求速度和加速度。求速度和加速度。 2 2、求已知曲线的切线、求已知曲线的切线。导数的作用：导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、GDPGDP、CPICPI增长率等等。增长率等等。定积分的作用：定积分的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。很多领域都有广泛应用。导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度下面是一家公司的工资发放情况下面是一家公司的工资发放情况:其中，工资的年薪其中，工资的年薪s(单位：单位：10元元)与时间与时间t(单位：年单位：年)成函数关系。成函数关系。用用y表示每年的平均工资增长率表示每年的平均工资增长率.试分析公司的效益发展趋势？试分析公司的效益发展趋势？问题一:工资增长率工资增长率年年 份份12345年年 薪薪2000 2100 2300 2600 3000公司的工资发放情况公司的工资发放情况第第1年到第年到第2年的平均工资增长率年的平均工资增长率第第2年到第年到第3年的平均工资增长率年的平均工资增长率可见可见,此公司的平均工资增长率是越来越大此公司的平均工资增长率是越来越大,说明此公司效益越来越好说明此公司效益越来越好.问题二:气球膨胀率动画 观看第一次第二次0.62dm0.16dm观察小新接连两次吹气球观察小新接连两次吹气球时，气球的膨胀程度。时，气球的膨胀程度。 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内随着气球内空气空气容量容量的增加的增加, 气球的气球的半径半径增加得越来越慢增加得越来越慢. 从数学从数学的角度的角度, 如何描述这种如何描述这种现象呢现象呢?气球的体积气球的体积V(单位：单位：L)与半径与半径r(单位：单位：dm)之间的函数关系是：之间的函数关系是：用用V 表示表示r得：得：当当V从从0增加到增加到1L时，时，气球的半径增加了气球的半径增加了当当V从从1增加到增加到2L时，气球的半径增加了时，气球的半径增加了r r(1)- -r r(0)0.62(0.62(dmdm) )气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为r r(2)- -r r(1)0.16(0.16(dmdm) )气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为显然显然0.620.16可以看出，随着气球的可以看出，随着气球的体积体积逐渐变大逐渐变大，气球的，气球的平均膨胀率平均膨胀率逐渐变小逐渐变小了。了。当气球的空气容量从当气球的空气容量从V1增加到增加到V2时，气球时，气球的平均膨胀率是多少？的平均膨胀率是多少？思考？问题三:高空崩极动画 观看第第0秒到第秒到第1秒这段秒这段时间内时间内第第1秒到第秒到第2秒这段秒这段时间内时间内观察小男孩崩极时观察小男孩崩极时的平均速度变化的平均速度变化重复观看请按重复观看请按4.9米14.7米作崩极时，小男孩落下的高度作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：单位：m)与跳后的时间与跳后的时间 t (单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系h(t)= -gt212如果用小男孩在某段时间内的平均速度如果用小男孩在某段时间内的平均速度 来描述其运动状态，那么来描述其运动状态，那么-v在在0 t 1这段时间内这段时间内在在1 t 2这段时间内这段时间内-v1-v2h(t)= -gt212可以看出，可以看出，随着跳后的时间的推移，随着跳后的时间的推移，小男孩下落的速度越来越大。小男孩下落的速度越来越大。思考？小男孩跳后的时间从小男孩跳后的时间从t1变化变化到到t2时，平均速度是多少？时，平均速度是多少？h(t)= -gt212v 在在高高台台跳跳水水运运动动中中, 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h (单单位位:m)与与起起跳跳后后的的时时间间 t (单单位位:s) 存在函数关系存在函数关系:播放暂停停止问题四问题四:高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的如果用运动员在某段时间内的平均速度平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,平均速度只平均速度只能粗略地描能粗略地描述运动员的述运动员的运动状态，运动状态，并不能反映并不能反映每一时刻的每一时刻的运动状态，运动状态，需要用瞬时需要用瞬时速度描述运速度描述运动状态。动状态。 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?探探 究究thO(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗问题吗?平均工资增长率：平均工资增长率：气球平均膨胀率：气球平均膨胀率：平均速度：平均速度：平均变化率平均变化率: 式子式子 令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则称为函数称为函数 f (x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.平均变化率的定义：1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x的值不能为的值不能为0， y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理理解解3、变式、变式:平均变化率为平均变化率为:思考：思考：平均平均变化率有什么几何意化率有什么几何意义呢？呢？ 平均变化率的几何平均变化率的几何意义就是：意义就是：函数函数f(x)图像上两点图像上两点(x1,f(x1), (x2,f(x2)所在直所在直线的斜率。线的斜率。例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2(2)解：解：y=f (x+ x)- f (x) =2 x x+( x )2 .求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：计算平均变化率：练习v1.已知函数已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x Dl2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率. 2x0+x A练习小结：小结：v1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：计算平均变化率：作业布置：作业布置：课本：课本：P10 1补充：补充：1.已知函数已知函数y=f(x)=2x2的图象上点的图象上点P(1,2)及其及其临近点临近点Q(1+ x,2+ y),求求y/x.2.已知质点的运动方程是已知质点的运动方程是s=4-2t2,求其在时间求其在时间段段1,1+ t内相应的平均速度内相应的平均速度.3. 求函数求函数y=f(x)=1/x在在x=1附近的平均变化率附近的平均变化率.