湛江师范学院第三章第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 时间函数时间函数 频率函数频率函数 连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换 连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换湛江师范学院3.1 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS) 周期序列的周期序列的Z变换无意义变换无意义. 3.1.1 离散傅里叶级数离散傅里叶级数离散傅里叶级数定义为离散傅里叶级数定义为周期为周期为N的周期序列表示成的周期序列表示成N个正弦序列或复指数序列之个正弦序列或复指数序列之和的形式和的形式,只有只有N个独立分量，这是因为，周期为个独立分量，这是因为，周期为N的周期的周期序列虽然无限长，但它实质上只有序列虽然无限长，但它实质上只有N个独立信息。个独立信息。 湛江师范学院湛江师范学院湛江师范学院周期序列傅里叶级数变换周期序列傅里叶级数变换 湛江师范学院3.1.2 离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质 1. 线性特性线性特性2. 序列位移特性序列位移特性 湛江师范学院证明：根据定义证明：根据定义湛江师范学院湛江师范学院3. 周期卷积特性周期卷积特性 周期卷积特性又称周期卷积定理。周期卷积特性又称周期卷积定理。湛江师范学院湛江师范学院证明证明：湛江师范学院湛江师范学院同理同理湛江师范学院 由于求和仅在一个周期内进行，因此称之为由于求和仅在一个周期内进行，因此称之为周期卷积。它与第周期卷积。它与第1章介绍的线性卷积主要区别在章介绍的线性卷积主要区别在于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。 频域周期卷积特性如下频域周期卷积特性如下 湛江师范学院 对以对以N为周期的周期序列为周期的周期序列,任取一个周期求得任取一个周期求得的傅里叶级数，与在主值区求得的傅里叶级数相的傅里叶级数，与在主值区求得的傅里叶级数相同。同。 对于两个周期为对于两个周期为N的周期序列，任取一个周期的周期序列，任取一个周期进行周期卷积，卷积结果与在主值区内进行的周进行周期卷积，卷积结果与在主值区内进行的周期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、平移、相乘、取和的几何法求解。平移、相乘、取和的几何法求解。湛江师范学院例例3.3 已知周期序列如图所示，求已知周期序列如图所示，求(1)序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。(2)在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。湛江师范学院解：解：(1)周期序列周期为周期序列周期为 10, 湛江师范学院所以所以湛江师范学院(2)设设 求得的傅里叶级数系数与求得的傅里叶级数系数与(1)中结果相同。中结果相同。湛江师范学院3.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有 N个独立信个独立信息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。 湛江师范学院有限长序列的长度为有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为周期序列的周期为N,湛江师范学院有限长序列是周期序列的主值序列有限长序列是周期序列的主值序列周期序列是有限长序列以周期序列是有限长序列以N为周期的周期延拓为周期的周期延拓是余数运算表达式是余数运算表达式 湛江师范学院 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义 设有限长序列长为设有限长序列长为 N，其离散傅里叶变换是一，其离散傅里叶变换是一个长为个长为N的频域有限长序列，其正、反变换如下的频域有限长序列，其正、反变换如下湛江师范学院 离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当作周期序列的主值序列进行变换作周期序列的主值序列进行变换 湛江师范学院 离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、有离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、有限长的，所以可以很方便地利用计算机完成它们限长的，所以可以很方便地利用计算机完成它们之间的变换，这是离散傅里叶变换的最大优点之之间的变换，这是离散傅里叶变换的最大优点之一。一。 虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的变换，但它们是利用变换，但它们是利用DFS关系推导出来的，因而关系推导出来的，因而隐含着周期性。隐含着周期性。离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT是频谱是频谱 在主值区在主值区 的的N点均匀抽样，是其频谱的一个近似。点均匀抽样，是其频谱的一个近似。湛江师范学院例例3.6 已知有限长序列已知有限长序列求其离散傅里叶变换求其离散傅里叶变换 湛江师范学院解：根据定义解：根据定义 湛江师范学院湛江师范学院湛江师范学院抽样点抽样点N=8抽样点抽样点N=16频谱频谱湛江师范学院3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 3.3.1 线性特性线性特性湛江师范学院 序列长度及序列长度及DFT点数均为点数均为N。若不等，设分别为若不等，设分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为，则需补零使两序列长度相等，均为N，且且湛江师范学院3.3.2 圆周位移特性圆周位移特性1. 圆周位移定义圆周位移定义有限长序列的圆周位移定义为有限长序列的圆周位移定义为湛江师范学院湛江师范学院 首先将有限长序列延拓成周期序列首先将有限长序列延拓成周期序列,然后将周然后将周期序列向右移位，最后截取其主值期序列向右移位，最后截取其主值 对图中的主值区进行观察，发现移出主值区的样对图中的主值区进行观察，发现移出主值区的样值，等于移入主值区的样值。这种移位可以想象值，等于移入主值区的样值。这种移位可以想象成序列排列在一个成序列排列在一个N等分的圆周上，等分的圆周上，N个样值点首个样值点首尾相接，沿圆周顺移尾相接，沿圆周顺移 m位位 ，(表示在圆周上旋转表示在圆周上旋转m位位)，因此得名，因此得名“圆周位移圆周位移”或者叫或者叫“循环位移循环位移”。湛江师范学院2. 圆周位移定理圆周位移定理湛江师范学院证明：证明：湛江师范学院 定理表明：时域里圆周移位仅使频域信号产生相定理表明：时域里圆周移位仅使频域信号产生相移，而幅度频谱不发生变化。即移，而幅度频谱不发生变化。即 湛江师范学院 根据时域、频域对偶关系，不难证明，在频根据时域、频域对偶关系，不难证明，在频域中若域中若则则 上式说明：时域序列进行复调制，其结果使整个上式说明：时域序列进行复调制，其结果使整个频谱产生搬移。频谱产生搬移。湛江师范学院3.3.3 循环卷积特性循环卷积特性1. 循环卷积定义循环卷积定义 两个长为两个长为N的有限长序列的循环卷积定义为：把有的有限长序列的循环卷积定义为：把有限长序列分别延拓成以限长序列分别延拓成以N为周期的周期序列，求这为周期的周期序列，求这两个序列的周期卷积，然后截取主值序列，记为两个序列的周期卷积，然后截取主值序列，记为 * 湛江师范学院 可见有限长序列的循环卷积与周期卷积之间可见有限长序列的循环卷积与周期卷积之间的关系类似于的关系类似于DFT与与DFS之间的关系。它们在主之间的关系。它们在主值区的结果是相同的。因此可采用把有限长序列值区的结果是相同的。因此可采用把有限长序列延拓成周期序列，进行周期卷积，然后取主值的延拓成周期序列，进行周期卷积，然后取主值的办法计算循环卷积。办法计算循环卷积。 简化的计算方法是：把序列简化的计算方法是：把序列 x(n)顺时针分顺时针分布在布在N等分的圆周上，而序列等分的圆周上，而序列h(n)按时间轴按时间轴与与 x(n)相反方向分布在另一个同心圆上，相反方向分布在另一个同心圆上，每当两个圆停留在一定相对位置上，两个每当两个圆停留在一定相对位置上，两个序列相乘取和，即得到卷积序列中的一个序列相乘取和，即得到卷积序列中的一个值，依次在不同位置上相乘、取和，就得值，依次在不同位置上相乘、取和，就得到全部卷积结果。因此循环卷积也叫圆周到全部卷积结果。因此循环卷积也叫圆周卷积。卷积。湛江师范学院湛江师范学院湛江师范学院2. 循环卷积定理循环卷积定理对于长为对于长为N的有限长序列的有限长序列 、 ，若，若 湛江师范学院证明：证明： 湛江师范学院根据圆周位移定理根据圆周位移定理所以所以同理可证同理可证湛江师范学院3.3.4 对称特性对称特性 由于实际问题中遇到的序列绝大多数是实序列，由于实际问题中遇到的序列绝大多数是实序列，因此本节重点介绍实序列离散傅里叶变换的两条因此本节重点介绍实序列离散傅里叶变换的两条对称特性。对称特性。 1. 实序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为偶实序列的离散傅里叶变换为复数，其实部为偶函数，虚部为奇函数。函数，虚部为奇函数。湛江师范学院湛江师范学院2. 实序列的离散傅里叶变换，在区间实序列的离散傅里叶变换，在区间 内，对于内，对于 点呈对称分布。点呈对称分布。 是偶对称，是偶对称， 是奇对称是奇对称注意：认为注意：认为 。湛江师范学院 表3-1 DFT的奇偶虚实特性x(n) X(k) 实函数实部为偶、虚部为奇 实偶函数 实偶函数 实奇函数虚奇函数 虚函数 实部为奇、虚部为偶 虚偶函数虚偶函数 虚奇函数实奇函数湛江师范学院3.3.5 相关特性相关特性1. 离散相关函数离散相关函数对于两个离散序列对于两个离散序列 湛江师范学院互相关函数式与线性卷积表达式之间关系是：互相关函数式与线性卷积表达式之间关系是： 湛江师范学院湛江师范学院2. 循环相关定理循环相关定理若两序列都是长为若两序列都是长为N的实序列，则的实序列，则湛江师范学院3.3.6 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 (Parseval Theory)湛江师范学院 3.4 离散傅里叶变换与其它变换之间的关系离散傅里叶变换与其它变换之间的关系3.4.1 离散傅里叶变换与离散傅里叶变换与Z变换之间的关系变换之间的关系 有限长序列的有限长序列的Z变换为变换为如果如果 在单位圆上收敛，则令在单位圆上收敛，则令 湛江师范学院那么那么 湛江师范学院所以，离散傅里叶变换与所以，离散傅里叶变换与Z变换关系为变换关系为 上式说明，有限长序列的离散傅里叶变换等于它的上式说明，有限长序列的离散傅里叶变换等于它的Z变换在单位圆上每隔变换在单位圆上每隔 弧度的均匀抽样。弧度的均匀抽样。湛江师范学院3.4.2 用有限长序列用有限长序列 表示表示有限长序列的有限长序列的Z变换为变换为由离散傅里叶反变换得到由离散傅里叶反变换得到湛江师范学院将将 代入得代入得 湛江师范学院设设上式成为上式成为 式中，式中， 为内插函数，它是为内插函数，它是Z的连续函数。的连续函数。湛江师范学院 上式说明，长为上式说明，长为N的序列的的序列的Z变换可由变换可由N个内插函个内插函数乘以加权系数叠加而成。数乘以加权系数叠加而成。3.4.3 用离散傅里叶变换表示序列的傅里叶变换用离散傅里叶变换表示序列的傅里叶变换 湛江师范学院湛江师范学院设设 湛江师范学院代入得代入得 湛江师范学院比较得比较得 上式说明，整个上式说明，整个 是由是由N个内插函数个内插函数 乘上加权值叠加而成。每个抽样点上的乘上加权值叠加而成。每个抽样点上的 值就值就等于该点上的等于该点上的 ，抽样点间的，抽样点间的 值则由各个值则由各个内插函数叠加而成内插函数叠加而成 。湛江师范学院 3.5 线性卷积与线性相关的线性卷积与线性相关的DFT算法算法3.5.1计算循环卷积和线性卷积计算循环卷积和线性卷积 循环卷积和线性卷积都是两个序列在时域中的循环卷积和线性卷积都是两个序列在时域中的运算。根据时域和频域的对应关系，它们也可以运算。根据时域和频域的对应关系，它们也可以先变换到频域进行相应运算后，再将结果变换到先变换到频域进行相应运算后，再将结果变换到时域。时域。 1 循环卷积的快速计算循环卷积的快速计算湛江师范学院循环卷积的定义式为循环卷积的定义式为湛江师范学院根据循环卷积定理，可以用以下方法计算两根据循环卷积定理，可以用以下方法计算两序列序列x1(n)和和x2(n)的循环卷积：的循环卷积：湛江师范学院2线性卷积与循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系设设x(n)是长为是长为N的序列，的序列，h(n)是长为是长为M的序列，的序列，其线性卷积为其线性卷积为将将x(n)和和h(n)分别补零延长到分别补零延长到L。当。当LN+M-1时时 湛江师范学院 3.线性卷积的快速计算线性卷积的快速计算 实际应用往往利用循环卷积定理来计算线性卷积，实际应用往往利用循环卷积定理来计算线性卷积，其步骤如下：其步骤如下： (1)将原序列补零延拓到长为将原序列补零延拓到长为 得得 （2）湛江师范学院（3）（4） 上述结论适用于两序列长度比较接近或者相上述结论适用于两序列长度比较接近或者相等的情况。如果长度相差较多，例如为某滤波器等的情况。如果长度相差较多，例如为某滤波器的单位冲激响应，长度有限，用它来处理一个很的单位冲激响应，长度有限，用它来处理一个很长的信号长的信号,按上述方法需后补许多零才能再进行计按上述方法需后补许多零才能再进行计算，这时运算时间可能不但不会减少，反而会增算，这时运算时间可能不但不会减少，反而会增加。加。湛江师范学院设设 、 均为因果序列，均为因果序列， 长为长为N1， 长为长为N，且，且N1N。将将 分成若干小段，每段为分成若干小段，每段为M，如图所示，设，如图所示，设 表示第表示第i段序列段序列n为其他 4.重叠相加法重叠相加法 湛江师范学院则湛江师范学院将将 、 补零使其长度为补零使其长度为L=N+M-1。这样这样 值得注意的是， 长为N+M-1，而 的有效长度为M，故相邻的 必有N-1长度重叠。因此， = 是对重叠部分相加再和不重叠部分共同构成输出。湛江师范学院湛江师范学院 因此，重叠相加法用因此，重叠相加法用DFT计算需要以下五步计算需要以下五步：湛江师范学院3.5.2 计算循环相关和线性相关计算循环相关和线性相关 1. 循环相关的快速计算循环相关的快速计算 根据循环相关定理根据循环相关定理,若若x1(n)、x2(n)是长为是长为N的实的实序列，则序列，则湛江师范学院可用以下方法计算两序列可用以下方法计算两序列x1(n)和和x2(n)的循环相关：的循环相关： 湛江师范学院2. 线性相关的快速计算线性相关的快速计算与用循环卷积计算线性卷积类似，当与用循环卷积计算线性卷积类似，当 、 长度分别为长度分别为N、M时，将时，将 、 补零延长到补零延长到L，则当，则当LN+M-1时，时，x1(n)、x2(n)的循环相关等的循环相关等于线性相关，即于线性相关，即湛江师范学院因此，可用以下方法计算因此，可用以下方法计算x1(n)和和x2(n)的线性相关：的线性相关：湛江师范学院 3.6 信号的描述方法信号的描述方法1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换时域：连续实数时间变量的非周期函数时域：连续实数时间变量的非周期函数s域：连续复数频率变量的非周期函数域：连续复数频率变量的非周期函数变换关系如下：变换关系如下： 湛江师范学院2. z变换变换时域：离散整型时间变量的非周期函数时域：离散整型时间变量的非周期函数z域：连续复数频率变量的非周期函数域：连续复数频率变量的非周期函数变换关系如下：变换关系如下： =湛江师范学院3. 连续时间的傅里叶变换时域：连续实数时间变量的非周期函数频域：连续复数频率变量的非周期函数变换关系如下： 湛江师范学院4.离散时间的傅里叶变换时域：离散整型时间变量的非周期函数频域：连续复数频率变量的周期函数变换关系如下： 湛江师范学院 傅里叶级数 时域：连续实数时间变量的周期函数 频域：离散整型频率变量的非周期函数 变换关系如下： 湛江师范学院离散傅里叶级数 时域：离散整型时间变量的周期函数 频域：离散整型频率变量的周期函数 变换关系如下：湛江师范学院7离散傅里叶变换 时域：离散整型时间变量的非周期函数 频域：离散整型频率变量的非周期函数 变换关系如下：