常微分方程的数值解法绪论 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。常微分方程描写的物理现象n镭的衰变规律n单摆的运动nRLC振荡电路n物理场计算常微分方程常微分方程数值解基本思想8.1 Euler方法8.1 Euler方法8.1 Euler方法-梯形公式8.2 改进Euler方法8.2 改进Euler方法12KC=0.01法R=10欧E=10伏function mainglobal E R C;E=10;R=10;C=0.01;Q0=E/C;h=0.01;t=0:h:1;QE(1)=Q0;QEG(1)=Q0;for i=2:length(t) QE(i)=QE(i-1)+h*f(QE(i-1);%欧拉法欧拉法 k1=h*f(QEG(i-1);%改进欧拉法改进欧拉法 k2=h*f(QEG(i-1)+k1); QEG(i)=QEG(i-1)+1/2*(k1+k2);endplot(t,QE,r);%欧拉法的曲线欧拉法的曲线hold onplot(t,QEG,b);%改进欧拉法的曲线改进欧拉法的曲线plot(t,Q0*exp(-1*t./(R*C),.);%理论曲线理论曲线legend(欧拉法的曲线欧拉法的曲线,改进欧拉法的曲线改进欧拉法的曲线, 理论曲线理论曲线)function y=f(x)global E R C;y=-1*x./(R*C);KC=10mFR=100欧E=10VL=10H function main%欧拉法：二阶常微分方程global E R C L;E=10;R=100;C=0.01;L=10;Q0=0;I0=0;h=0.01;t=0:h:10;Q(1)=Q0;I(1)=I0;for i=2:length(t) Q(i)=Q(i-1)+h*I(i-1);%Q I(i)=I(i-1)+h*f(Q(i-1),I(i-1);%Iendplot(t,Q,r,t,I,m);%欧拉法的曲线function y=f(Q,I)global E R C L;y=(E-Q/C-I*R)/L;（用改进的Euler法解）：function main%改进欧拉法：二阶常微分方程改进欧拉法：二阶常微分方程global E R C L;E=10;R=100;C=0.01;L=10;Q0=0;I0=0;h=0.01;t=0:h:10;Q(1)=Q0;I(1)=I0;for i=2:length(t) %1、预报、预报 Q(i)=Q(i-1)+h*I(i-1); I(i)=I(i-1)+h*f(Q(i-1),I(i-1); %2、计算、计算Q k1=h*I(i-1); k2=h*I(i); Q(i)=Q(i-1)+1/2*(k1+k2); %3、计算、计算I k1=h*f(Q(i-1),I(i-1); k2=h*f(Q(i),I(i); I(i)=I(i-1)+1/2*(k1+k2);endplot(t,Q,r,t,I,m);%改进欧拉法的曲线改进欧拉法的曲线function y=f(Q,I)global E R C L;y=(E-Q/C-I*R)/L;8.3 龙格-库塔（R-K）方法n思想：取多点处斜率的加权平均为平均斜率，从而减小误差。n四阶公式： 公式推导见P37-44n例：用R-K方法解例题8.1.1function main%龙格库塔：一阶常微分方程龙格库塔：一阶常微分方程global E R C;E=10;R=10;C=0.01;h=0.01;t=0:h:1;Q(1)=E/C;for i=2:length(t) k1=h*f(Q(i-1); k2=h*f(Q(i-1)+k1/2); k3=h*f(Q(i-1)+k2/2); k4=h*f(Q(i-1)+k3); Q(i)=Q(i-1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);endplot(t,Q,b);hold on%龙格库塔方法的曲线龙格库塔方法的曲线plot(t,Q(1)*exp(-1*t./(R*C),.);%理论曲线理论曲线function y=f(x)global E R C;y=-1*x./(R*C);n例：用R-K方法解例题8.1.2和function main%龙格库塔：二阶常微分方程龙格库塔：二阶常微分方程global E R C L;E=10;R=100;C=0.01;L=10;Q0=0;I0=0;h=0.01;t=0:h:10;Q(1)=Q0;I(1)=I0;for i=2:length(t) k1=h*I(i-1); m1=h*f(Q(i-1),I(i-1); k2=h*(I(i-1)+m1/2); m2=h*f(Q(i-1)+k1/2,I(i-1)+m1/2); k3=h*(I(i-1)+m2/2); m3=h*f(Q(i-1)+k2/2,I(i-1)+m2/2); k4=h*(I(i-1)+m3); m4=h*f(Q(i-1)+k3,I(i-1)+m3); Q(i)=Q(i-1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); I(i)=I(i-1)+1/6*(m1+2*m2+2*m3+m4);endplot(t,Q,r,t,I,m);%龙格库塔的曲线龙格库塔的曲线function y=f(Q,I)global E R C L;y=(E-Q/C-I*R)/L;练习：n分别用Euler法、改进Euler法和四阶R-K法求解阻尼振动方程： 已知质量m=10,倔强系数k=10,阻尼系数c=2,初始速度v=0，初始位置x=10.误差概述误差概述误差概述误差概述8.1.3 数值稳定性分析数值稳定性分析n定义8.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。n隐式Euler法是A稳定的。8.2 Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法6.2.2 四阶Runge-Kutta方法四阶Runge-Kutta方法6.2.3 R-K法的稳定性R-K法的稳定性R-K法的稳定性6.2.5 隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法隐式R-K法