欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 1 页 共 6 页 题型五、导数与不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 mf x(或 mf x)恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值） ，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。 题型示例：参变量分离；隐零点代换；矛盾区间。 1、 （2007 年全国 1 卷 20）设函数 xxf xee。 ()证明： f x的导数 2fx； ()若对所有0x 都有 f xax，求实数a的取值范围. 分析与解： （） xxfxee，由于22xxxxeeee2，故2)( xf,（当且仅当x=0 时，等号成立.） （II）令,)()(axxfxg则 .)()(aeeaxfxgxx （i）若2a，当 x0 时，, 02)(aaeexgxx 故( )g x在(0,)上为增函数.所以，0x时，)0()(gxg，即axxf)(. （ii）若2a ，方程0)( xg的正根为24ln21aax，此时，若), 0(1xx时，( )(0)0g xg,( )f xax,与( )f xax相矛盾.综上，满足条件的a的取值范围是.2 ,( 2、 （2008 年全国 2 卷理 22）设函数sin( )2cosxf xx （）求( )f x的单调区间； （）如果对任何0x，都有( )f xax，求实数a的取值范围 分析与解： （）22(2cos )cossin ( sin )2cos1( )(2cos )(2cos )xxxxxfxxx 当222 2 33kxk（kZ）时，1cos2x ，即( )0fx； 当242 2 33kxk（kZ）时，1cos2x ，即( )0fx 因此( )f x在每一个区间222 2 33kk，（kZ）是增函数， ( )f x在每一个区间242 2 33kk，（kZ）是减函数 （）令( )( )g xaxf x，则 22cos1( )(2cos )xg xax2232cos(2cos )axx211132cos33ax 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 2 页 共 6 页 故当13a时，( )0g x又(0)0g，所以当0x时，( )(0)0g xg，即( )f xax 当103a时， 令( )sin3h xxax， 则( )cos3h xxa 故当0,arccos3xa时，( )0h x 因此( )h x在0,arccos3a上单调增加故当(0,arccos3 )xa时，( )(0)0h xh， 即sin3xax于是，当(0,arccos3 )xa时，sinsin( )2cos3xxf xaxx 当0a时，有10222fa因此，a的取值范围是13， 3、 （2010 大纲卷理 22）设函数 1xf xe （）证明：当1x 时， 1xf xx； （）设当0x 时， 1xf xax，求实数a的取值范围 分析与解： （）当1x 时， 1xf xx等价于1xex， 证明一：记 1xf xex，则 1xfxe，当0,x时， 0fx， f x单调递增； 当,0x 时， 0fx， f x单调递减；所以 00f xf，即1 xex。 证明二：1 xex等价于110xxe ，记 11xf xxe，则 xfxxe ，知当0,x时， 0fx， f x单调递减；当,0x 时， 0fx， f x单调递增； 所以 00f xf，即110xxe ，即1 xex。 （） 由 （） 知， 当0x 时， 01xf xx， 显然10ax 恒成立， 所以0a ， 1xf xax等价于 0axfxf xx，记 h xaxfxf xx，则 1h xaf xaxfxfx，注意到 1xf xe ， 1xfxef x ， 所以 h xaf xaxfxaxf x，由（）知， 01xf xx即 1xxf x， 所以 121h xaf xaxfxa xf xf xaf x， 当102a时，必有 0h x， h x在0,上递减，此时 00h xh，符合题意； 当12a 时，因为1xex即1xex ，即1xex，即 f xx， 所以 21h xaf xaxfxaf xf xaaxf x，显然当210axa时， 0h x，此时 h x单调递增，有 00h xh，与题意矛盾； 综上，实数a的取值范围为10,2。 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 3 页 共 6 页 4、 （2012 年大纲卷理 20）设函数( )cos ,0,f xaxx x。 （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )1 sinf xx ，求实数a的取值范围。 6、 （2014 年全国 2 卷 21）已知函数 f x=2xxeex （）讨论 f x的单调性； （）设 24g xfxbf x，当0x 时， 0g x ,求b的最大值； （）已知1.414221.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 分析与解： （） 2220xxxxfxeee e，所以 f x在, 上单调递增。 （）由题知 2224442xxxxg xfxbf xeexb eex 2222442xxxxgxeeb ee 22488xxxxeeb eeb 2222xxxxeeeeb，因为0x ，所以2xxee 当420b，即2b 时， 0gx， g x在0,上递增，有 00g xg，符合题意； 当2b 时，由220xxeeb，解得20ln12xbbb ，此时 0gx，有 00g xg与题意矛盾，故舍去； 综上，b的最大值为2。 （）由（）知，取2b ，知 0g x 恒成立，故3ln24 26ln202g， 解得8 23ln20.692812； 取2ln12ln2bbb ， 可 得3 2124b ， 则 有ln20g， 即182ln20.693428，所以ln20.693。 7、 （2016 年全国 II 卷文）已知函数( )(1)ln(1)f xxxa x. ()当4a 时，求曲线( )yf x在1, (1)f处的切线方程； ()若当1,x时，( )0f x ，求a的取值范围. 分析与解： （I）( )f x的定义域为(0,).当4a时， 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4 页 共 6 页 1( )(1)ln4(1),( )ln3f xxxxfxxx，(1)2,(1)0. ff 所以曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程为220.xy ()当1,x时， 0f x 等价于1ln01a xxx，记 1ln1a xg xxx， 则 222 111xa xgxx x，注意到 10g， 4214ag， 当420a即2a 时， 2222222 111210111xa xxxxgxx xx xx x， 所以 g x在1,上单调递增，此时 10g xg，符合题意； 当2a 时，令 222 1101xa xgxx x，得21121xaaa ， 22121xaaa ， 所以当21,xx时， 0gx， g x单调递减， 此时 10g xg，与题意矛盾，综上实数a的取值范围为,2。 8、 （2017 新课标）设函数2( )(1)xf xxe (1)讨论( )f x的单调性； (2)当0x 时，( )1f xax，求a的取值范围 分析与解： (1) 21 2xfxxxe，知当, 12x 时， 0fx，当12, 12x 时， 0fx，当12,x 时， 0fx，所以 f x在, 12 ，12, 单调递减，在12, 12 单调递增， (2) 11xf xxx e，由(1)知，记 111xh xxx eax，0x 注意到 00h， 21 2xh xxxea， 21 40xhxxxe ， 即 h x在0,上单调递减，注意到 01ha ，所以， 当10a即1a 时， 00h xh，此时 h x在0,上递减，有 00h xh，符合题意； 析：此处构造函数后恰好 00h（端点效应说法） ， 00h xh，我们只要保证恰当的参数，使得函数 h x在在0,上递减即可，也就是保号性 00h xh。 法一：当1a 时， 010ha ， 21 2xxh xxxeaea， 当01a时， 1 2xh xx e，有102h，所以存在010,2x，使得 0h x，当00,xx时， 0h x，此时 h x递增，有 00h xh，与题意矛盾； 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 5 页 共 6 页 当0a 时， 010ha ，不妨取1x ，则2120xx，1xe 221 21 2xh xxxeaxxa ，210ha，所以存在01,21xa，使得 0h x，当00,xx时， 0h x，此时 h x递增，有 00h xh，与题意矛盾； 综上，实数a的取值范围为1,。 9、 （2019 全国文 20）已知函数 2sincosf xxxxx， fx为 f x的导数 （1）证明： fx在区间0,存在唯一零点； （2）若0,x时， f xax恒成立，求实数a的取值范围 分析与解： （1）由题意得 cossin1fxxxx， cosfxxx. 当(0,)2x时，( )0fx； 当,2x时，( )0fx， 所以 fx在(0,)2单调递增， 在,2单调递减，又(0)0f ，02f，()2f 故( )fx在(0,)存在唯一零点. （2）记 g xf xax，则 gxfxa，由（1）知，( )fx在(0,)只有一个零点，设为0x，且当00,xx时，( )0fx；当0,xx时，( )0fx，所以( )f x在00,x单调递增，在0,x单调递减.又(0)0,()0ff，所以当0,x时，( )0f x . 当0a ，即0a 时， 0gxfxaa ， g x在0,上单调递增，此时 00g xg，即 f xax，符合题意； 当0a 即0a 时， 0ga 不满足题意，舍去； 因此，实数a的取值范围是,0。 10、函数xemxxf) 1()(，若对任意221 x，不等式xxf)(恒成立，求m范围 分 析 与 解 ： 由 题 意 得 不 等 式xxf)(等 价 于1xmex， 记 1xg xex， 则 22211xxx egxexx，记 21xh xx e，则 220xh xxx e， h x单调递增，又11024eh ， 22410he ，所以存在唯一零点0x1,22，使得 0h x ，所以当01,2xx时， 0h x ， 即 0gx， g x单调递减， 当0,2xx时， 0h x ， 即 0gx， g x单调递增，又122ge， 2122ge， 122gg，所以 2max12g xe，所以212me。 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6 页 共 6 页 11、已知函数xxkxxf)2(ln1)(，k为整数，当2x时，0)(xf恒成立，求k范围。 分析与解：当2x时，0)(xf恒成立，等价于ln2xxxkx对任意2x 恒成立，记 ln2xxxg xx，则 22ln42xxgxx，记 2ln4h xxx，则 2xh xx，当2,x时 ， 0h x， h x递 增 ， 又 22ln220h ， 842ln80h， 952ln90h，所以存在唯一08,9x ，使得 00h x，即002ln40xx，即004ln2xx，所以当02,xx时， 0h x ，即 0gx， g x单调递减，当0,xx时， 0h x ， 即 0gx， g x单调递增， 所以 00000min0ln22xxxxg xg xx4,4.5，所以02xk 的最大正整数4k 。