结构力学中南大学中南大学第第十一十一章章 影响线及其应用影响线及其应用11-1 影响线的概念影响线的概念11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作单跨静定梁的影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 11-6 桁架的影响线桁架的影响线 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值11-8 铁路和公路的标准荷载制铁路和公路的标准荷载制1结构力学中南大学中南大学第第十一十一章章 影响线及其应用影响线及其应用11-9 最不利荷载位置最不利荷载位置11-10 换算荷载换算荷载 11-11 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩11-12 简支梁的包络图简支梁的包络图2结构力学中南大学中南大学 移移动动荷荷载载：荷荷载载大大小小、方方向向不不变变，荷荷载载作作用用点点随随时时间间改改变变，结结构构所所产产生生加加速速度度的的反反应应与与静静荷荷载载反反应应相相比比可可以以忽忽略略，这这种种特特殊殊的的作作用用荷荷载载称称移移动动荷荷载载。(车车辆辆荷荷载载、人人群群荷荷载载、吊车荷载吊车荷载等等) 固固定定荷荷载载：荷荷载载的的大大小小、方方向向和和作作用用点点在在结构的空间位置上是固定不变的。结构的空间位置上是固定不变的。一、移动荷载一、移动荷载 结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与位移也是不变的。位移也是不变的。11-1 影响线的概念影响线的概念3结构力学中南大学中南大学在结构分析和设计中，必须解决以下问题：在结构分析和设计中，必须解决以下问题： （1）某量值的变化范围和变化规律；）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。）计算某量值的最大值，作为设计的依据。这就要先确定最不利荷载位置这就要先确定最不利荷载位置即使结构某量即使结构某量值达到最大值的荷载位置。值达到最大值的荷载位置。 影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。 结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与位移位移( (统称为量值统称为量值) )将随着荷载位置的不同而变化。将随着荷载位置的不同而变化。 11-1 影响线的概念影响线的概念4结构力学中南大学中南大学 数数字字和和量量纲纲均均为为1 1，可可以以在在实实际移动荷载可到达的范围内移动。际移动荷载可到达的范围内移动。 影响线定义影响线定义: :当一个方向不变的单位荷载在结构当一个方向不变的单位荷载在结构上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化规上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化规律的函数图形，就称为该量值的影响线。律的函数图形，就称为该量值的影响线。 二、影响线的概念二、影响线的概念 最典型的移动荷载：最典型的移动荷载： 单位移动荷载单位移动荷载 11-1 影响线的概念影响线的概念5结构力学中南大学中南大学F=1FRF=1FR =1F=1FR =0YX3/41/21/41-反力反力FR的影响线的影响线影响线定义影响线定义影响线定义影响线定义 单位移动荷载作用下某单位移动荷载作用下某物理量随荷载位置变化规物理量随荷载位置变化规律的图形。律的图形。F=1FR =3/4l/4F=1FR =1/2l/2F=1FR =1/43l/411-1 影响线的概念影响线的概念6结构力学中南大学中南大学 在研究移动荷载作用所产生的影响时，在研究移动荷载作用所产生的影响时，只要把单只要把单位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠加原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。加原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。 FB的影响线的影响线11-1 影响线的概念影响线的概念7结构力学中南大学中南大学绘制影响线的方法：绘制影响线的方法： 静力法静力法静力平衡条件；静力平衡条件； 机动法机动法虚位移原理。虚位移原理。 11-1 影响线的概念影响线的概念8结构力学中南大学中南大学11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线影响线影响线：当方向不变的集中单位荷载沿某一方向移动时，：当方向不变的集中单位荷载沿某一方向移动时， 表示结构某处量值变化规律的图形表示结构某处量值变化规律的图形P=1AB1RA横轴：荷载的作用位置；横轴：荷载的作用位置；纵轴：影响量的大小；纵轴：影响量的大小；9结构力学中南大学中南大学1 支反力：以向上为正，支反力：以向上为正，正的画在上面。正的画在上面。P=1ABabC一一 剪支梁剪支梁2 弯矩：以下侧受拉为弯矩：以下侧受拉为正，正的画在上面。正，正的画在上面。解解1RARB1MCabab/l11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线10结构力学中南大学中南大学3 剪力：绕隔离体顺时针剪力：绕隔离体顺时针转动为正，正的画在上面。转动为正，正的画在上面。QCb/la/l11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线11结构力学中南大学中南大学二二 悬臂梁悬臂梁abCABP=1RA1bMC1QC解解11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线12结构力学中南大学中南大学三三 伸臂梁伸臂梁P=1ABCaaaaDRA11RDQC1/21/21/21/2MCa/2a/211-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线13结构力学中南大学中南大学P=1ABCaaaaDQD1MDaQB左1/211/2QB111-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线14结构力学中南大学中南大学1 截面在简支梁部分，其影响线是将简支梁影响线延长；截面在简支梁部分，其影响线是将简支梁影响线延长；2 截面在悬臂梁部分，其影响线是将悬臂梁画上即可，其截面在悬臂梁部分，其影响线是将悬臂梁画上即可，其余部分无影响；余部分无影响；11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线15结构力学中南大学中南大学四四 其它类型其它类型RA1P=1ABCaa1RCaMC111解：16结构力学中南大学中南大学M=1ABCaaa1/2RB1/2QC1/l1解解RA1/l11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线17结构力学中南大学中南大学ABlllllll123C解：解：x11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线18结构力学中南大学中南大学1RAlMA4lQ11M1l11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线19结构力学中南大学中南大学Q312lM33l1N23lM22l11-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线20结构力学中南大学中南大学例例8-4：P=1ABCDaa2a2aQB1MB111-2 11-2 静力法做单跨梁的影响线静力法做单跨梁的影响线21结构力学中南大学中南大学11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线要求：要求：一、理解相关概念。二、熟练掌握画法。三、理解公式的物理意义。22结构力学中南大学中南大学AEDCBFP=1横梁横梁主梁主梁纵梁纵梁xP=1(d-x)/dx/dyCyDMF（直接荷载）MF（间接荷载）yCyD相同点：相同点：P=1作用在结点上时，间接荷载作用在结点上时，间接荷载的影响线与直接荷载相等。的影响线与直接荷载相等。不同点：不同点： P=1在任意纵梁上移动时在任意纵梁上移动时x=0,MF=yCx=d, MF=yD线性变化得11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线23结构力学中南大学中南大学1.1.先假定没有纵横梁，将先假定没有纵横梁，将P P=1=1当做直接荷载，做当做直接荷载，做出相应的影响线；出相应的影响线；2.2.从各结点引出竖线与直接荷载作用下的影响线从各结点引出竖线与直接荷载作用下的影响线相交，将所得的交点在每一纵梁范围内用直线相交，将所得的交点在每一纵梁范围内用直线相连。相连。间接荷载影响线绘制的步骤：间接荷载影响线绘制的步骤：11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线24结构力学中南大学中南大学RA11/21/2ME例例8-11：ABCDaaaaaaaa2aEa/2a/2QB右右125结构力学中南大学中南大学RA1/211/2例例8-11：ABCDaaaaaaaa2aEQB左左11/2MBa26结构力学中南大学中南大学3/4例例8-12：AGCDEFP=1aaaaaaaaaaMGa/2a/2QG1/21/21/2RB3/2111-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线27结构力学中南大学中南大学11例例8-12：AGCDEFP=1aaaaaaaaaaQDQE左左QE右右11/21111-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线28结构力学中南大学中南大学例例8-13：ABCP=1Daaaaaaaaa1RAaMA（左为正）（左为正）RB111-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线29结构力学中南大学中南大学例例8-13：ABCP=1DaaaaaaaaaaMBMD左左a11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线30结构力学中南大学中南大学11-4 11-4 机动法做影响线机动法做影响线理论基础：理论基础：刚体虚功原理刚体虚功原理P1P2RAPAPP12CB根据虚功原理：根据虚功原理：RA.1 - 1.P=0RA=pRA影响线的竖坐标就是虚位移影响线的竖坐标就是虚位移机动法做影响线的步骤：1. 1. 撤去与撤去与Z Z相应的约束，代之相应的约束，代之以未知力。以未知力。2. 2. 体系沿体系沿 Z Z的正向发生单位的正向发生单位位移，则荷载作用点的位移位移，则荷载作用点的位移图即为该量值的影响线。图即为该量值的影响线。31结构力学中南大学中南大学关键问题：关键问题：确定去掉所求量值的约束后，结构的几何组成。确定去掉所求量值的约束后，结构的几何组成。确定与该量值相应的约束的正方向。确定与该量值相应的约束的正方向。确定合理的虚位移。确定合理的虚位移。11-4 11-4 机动法做影响线机动法做影响线32结构力学中南大学中南大学例1：CBP=1abAa+bMARARA1a+bMA11-4 11-4 机动法做影响线机动法做影响线33结构力学中南大学中南大学QCMCbCBP=1abAQC1bMC11-4 11-4 机动法做影响线机动法做影响线34结构力学中南大学中南大学例例2：aaaaABCRA1QC1RA1QC11-4 11-4 机动法做影响线机动法做影响线35结构力学中南大学中南大学11-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线例例8-7：ABCDEFaaaaaaa重点：重点：画虚位移图。画虚位移图。难点：难点：在铰处画剪在铰处画剪力影响线。力影响线。强调：强调：静力法和机动法静力法和机动法可以相互校核。可以相互校核。RA1/2111/2RB3/211/2MCa/2a/2a/2QC1/21/21/236结构力学中南大学中南大学例例8-7：ABCDEFaaaaaaaQE1MEaQF1/21/21MFa/2a11-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线37结构力学中南大学中南大学例例8-8：ACBDEFGHaaaaQF1MA2aMFaQC111-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线38结构力学中南大学中南大学1QGMGaaQH1/21例例8-8：ACBDEFGHaaaaaa2aaa/2MH11-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线39结构力学中南大学中南大学例例8-9：aaaaaaAFBCGDE1QGMC2aMFa/2a/2aa/2C点的画法点的画法：平行支链杆平行支链杆要求左右两边必须平行。要求左右两边必须平行。先用静力法做，然后再讲先用静力法做，然后再讲机动法。机动法。11-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线40结构力学中南大学中南大学例例8-10：BCDEFGl/2Al/2llllMGl/2lQG1/21/21QA右1111-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线41结构力学中南大学中南大学例例8-10：BCDEFGl/2Al/2llllQB右1QC111-5 多跨静定梁影响线多跨静定梁影响线42结构力学中南大学中南大学11-6 11-6 桁架的影响线（静力法和机动法联合）桁架的影响线（静力法和机动法联合）RARBs1 解：解：（P在在AD段）段）（P在在DB段）段）11221P=1dddddACDEBs1s3s243结构力学中南大学中南大学P=1dddddACDEBs1s3s2（P在AC段）（P在DB段）s21s311-6 桁架的影响线桁架的影响线44结构力学中南大学中南大学P在A2段：P在4B段：RARB1111-6 桁架的影响线桁架的影响线45结构力学中南大学中南大学c.c.求求N45的影响线的影响线P在A4段：P在6B段：RARB111111-6 桁架的影响线桁架的影响线46结构力学中南大学中南大学N15上上解：解： a.a.荷载在荷载在下弦下弦P在A1段：P在2B段：b.b.荷载在荷载在上弦上弦P在4点：P在58段：u注：强调荷载在上、下弦注：强调荷载在上、下弦移动时影响不完全相同。移动时影响不完全相同。1RA1RB1例例8-15：PAB16543287N15下下1111-6 桁架的影响线桁架的影响线47结构力学中南大学中南大学11-7 影响线的应用影响线的应用一、利用影响线求某一量值一、利用影响线求某一量值1.集中荷载作用集中荷载作用MCy1y2QCP1P2CABDQD48结构力学中南大学中南大学2.均布荷载作用均布荷载作用CDEq11-7 影响线的应用影响线的应用49结构力学中南大学中南大学例例816：P1P2CABab/2b/2lb/la/l11-7 影响线的应用影响线的应用50结构力学中南大学中南大学例例8-17：BDAq=10kN/mP=20kNC1.21.21.21.21.2解：解：0.40.20.60.40.211-7 影响线的应用影响线的应用51结构力学中南大学中南大学二、判断最不利荷载的位置二、判断最不利荷载的位置1.可动均布荷载作用：可以任意断续地布置可动均布荷载作用：可以任意断续地布置CqqqqMC11-7 影响线的应用影响线的应用52结构力学中南大学中南大学2.移动集中荷载：一组互相平行而且间距保持不变的荷载移动集中荷载：一组互相平行而且间距保持不变的荷载P2PiPnPi+1P1y1y2yiyi+1ynShab53结构力学中南大学中南大学只有当一个荷载通过影响线只有当一个荷载通过影响线 顶点时，顶点时，S才有可能变号才有可能变号令令PK通过影响线顶点时，使通过影响线顶点时，使S变号，且使变号，且使S取得极大值。取得极大值。即：即：PK位于影响线顶点时；位于影响线顶点时；S=0左移荷载时：左移荷载时：S0右移荷载时：右移荷载时：S0用式子表示：用式子表示：11-7 影响线的应用影响线的应用54结构力学中南大学中南大学当当PK满足上式时，将满足上式时，将PK置于影响线顶点时，置于影响线顶点时，S取得极大值。取得极大值。SS考虑到：考虑到：11-7 影响线的应用影响线的应用55结构力学中南大学中南大学例例8-18：P1P2P3P43.5m1.5m3.5m215/6P2P3P41.521/3P3P2P4已知：已知：P1=P2=P3=P4=P求：求：QKMax，QKMin，MKMax解：令解：令P2=PK令令P3=PK3m6mK11-7 影响线的应用影响线的应用56结构力学中南大学中南大学P4P3P26/93/92.5/91.5/9P2P3P46/91/94.5/93/9P46/93/9P2作用在作用在K截面右侧截面右侧P4作用在作用在K截面左侧截面左侧11-7 影响线的应用影响线的应用57结构力学中南大学中南大学BAC6m6mP1P2P3P41.45m5.25m4.8mP310.7580.125P2P10.20P310.758P2P4例例8-19：已知：已知：P1=P2=478.5kN，P3=P4=324.5kN求：求：RBmax解：令解：令P2=PK令令P3=PK11-7 影响线的应用影响线的应用58结构力学中南大学中南大学例例8-20：10m30mP2P1P3P4P5P6单位：单位：m5441547.56.255.254.5P1=50P2=100P3=30P4=70P5=30P6=70单位：单位：kN11-7 影响线的应用影响线的应用59结构力学中南大学中南大学已知：已知：P1=50kN，P2=100kN，P3=P5=30kN，P4=P6=70kN求截面求截面K在图示移动荷载作用下的最大弯矩。在图示移动荷载作用下的最大弯矩。解：根据荷载大小和影响线的具体情况解：根据荷载大小和影响线的具体情况P1、P5、P6不可能是不可能是PK令令P2=PK：此时，此时，11-7 影响线的应用影响线的应用60结构力学中南大学中南大学同理可以判定同理可以判定P4不是不是PK令令P2=PK：11-7 影响线的应用影响线的应用61结构力学中南大学中南大学11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩定义：在移动荷载作用下，简支梁各截面最大弯矩值定义：在移动荷载作用下，简支梁各截面最大弯矩值中的最大值。中的最大值。间接荷载作用：间接荷载作用：将各截面最大弯矩值按前将各截面最大弯矩值按前 述方法求出然后进行比较述方法求出然后进行比较。直接荷载作用：直接荷载作用：根据绝对最大弯矩的定义，根据绝对最大弯矩的定义，可知：可知：取最大值得取最大值得Mmax即绝对最大弯矩。即绝对最大弯矩。62结构力学中南大学中南大学设设Pi作用在截面作用在截面i 时产生时产生Mmax。Pi的特点：的特点： 当移动到其他位置时，在其作用处产生的弯矩总是当移动到其他位置时，在其作用处产生的弯矩总是小于其移动到小于其移动到i i截面时截面时, ,在在i i截面产生的弯矩截面产生的弯矩Mi。若已知若已知Pi，则可通过求极值的方法确定，则可通过求极值的方法确定i截面进而求得其截面进而求得其对应的对应的Mi，则，则Mi=Mmax。推导：推导：P1P2PiRPn-1Pnl/2l/2a/2 a/2xal-a-xR梁上梁上所有荷载的合力；所有荷载的合力；aR与与Pi之间的距离；之间的距离；11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩63结构力学中南大学中南大学M：表示：表示Pi以左所有荷载对以左所有荷载对Pi 作用点的力矩代数和，作用点的力矩代数和， 对一组荷载对一组荷载M是常数。是常数。则则Pi距右端的距离距右端的距离 l-x-a=(l-a)/2即即Pi与与R对称位于梁中点的两侧。对称位于梁中点的两侧。若若Pi在在R的右侧，则的右侧，则RPi对于每个荷载都重复上述计算过程，取其中最大的对于每个荷载都重复上述计算过程，取其中最大的Mi，即为绝对最大弯矩，即为绝对最大弯矩Mmax。11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩64结构力学中南大学中南大学但是，由于但是，由于重复计算比较麻烦；重复计算比较麻烦；绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近。绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近。故，故，设想设想，使梁中点发生最大弯矩的荷载就是使梁产生绝对，使梁中点发生最大弯矩的荷载就是使梁产生绝对 最大弯矩的荷载最大弯矩的荷载 。（一般情况下，与实际情况一致）（一般情况下，与实际情况一致）所以，实际步骤如下：所以，实际步骤如下：1.判断使梁中点发生最大弯矩的临界荷载判断使梁中点发生最大弯矩的临界荷载PK；2.移动荷载组，使移动荷载组，使PK与梁上全部荷载的合力与梁上全部荷载的合力R对对 称于梁的中点，再算出此时称于梁的中点，再算出此时PK所在截面的弯矩，所在截面的弯矩，即为绝对最大弯矩。即为绝对最大弯矩。11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩65结构力学中南大学中南大学例例8-21： 试求图示简支梁所给移动荷载作用下的试求图示简支梁所给移动荷载作用下的绝对最大弯矩。绝对最大弯矩。10m10m1 2 3 4 530 20 10 1030单位：单位：KN（间距（间距2m）5解解：(1)令令P2=PK(2)求合力求合力R令令R距距P5为为x，则则x=5.2m11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩66结构力学中南大学中南大学x=9.6mRA=48KNRP1P2P3P4P50.4m0.4m（绝对最大弯矩）（绝对最大弯矩）11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩67结构力学中南大学中南大学RA=46KN4P1P2P3P4P5R（跨中最大弯矩）（跨中最大弯矩）若将若将P2放在跨中，则：放在跨中，则：11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩68结构力学中南大学中南大学例8-22：试求图示吊车梁的绝对最大弯矩，已知，吊车轮试求图示吊车梁的绝对最大弯矩，已知，吊车轮压为压为P1=P2=P3=P4=280kNP1P2P3P44.81.444.830.62.28MCP1P2P3P4RRA5.640.36解解：很明显：很明显P2或或P3为临界为临界荷载荷载PK 故只考虑故只考虑P2 （1）四种荷载全都在梁上）四种荷载全都在梁上11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩69结构力学中南大学中南大学6.56P1RP3P2（2）三种荷载在梁上）三种荷载在梁上11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩70结构力学中南大学中南大学例8-23：解解：很明显：很明显P1为临界荷载为临界荷载，若考若考虑三个力虑三个力 , 则合力为则合力为 ： 6m6mP1P2P34m4m合力合力R距距P1的距离为的距离为a P1P3R=1800.6670.6672.667 将合力将合力R与与P1对称布置对称布置于跨中截面于跨中截面C，则，则P3在梁外，在梁外，故需重算故需重算R和和a，此时只考，此时只考虑虑P1，P2作用在梁上作用在梁上11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩71结构力学中南大学中南大学，将R与P1对称布置在梁上。得： 11-8 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩72