第四章第四章 线性控制系统的稳定性线性控制系统的稳定性 4.1 4.1 线性系统稳定性的基本概念线性系统稳定性的基本概念 4.2 4.2 传递函数表示的系统稳定性判传递函数表示的系统稳定性判定定 4.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判状态空间表示的系统稳定性判定定 4.4 4.4 本章小结本章小结7/23/20241北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系稳定是控制系统能够正常运行的首要条件 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的 前提下进行。自动控制理论的基本任务(之一) 分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施 一、稳定性分析的重要性一、稳定性分析的重要性 4.14.1线性系统稳定性的基本概念线性系统稳定性的基本概念 7/23/20242北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系二、线性系统稳定性分析的理论框架二、线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一方法方法第二第二方法方法稳定性分析稳定性分析18921892年俄国数学年俄国数学家李雅普诺夫家李雅普诺夫SISOSISO的代数的代数分析方法分析方法解析解析方法方法RouthRouth判据判据HouwitzHouwitz判据判据根据根据SISOSISO闭环特闭环特征方程的系数判征方程的系数判定定系统的系统的稳定性稳定性根据状态方程根据状态方程A A阵阵判定系统的稳定性判定系统的稳定性7/23/20243北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系A.Lyapunov(1857-1918)A.Lyapunov(1857-1918)，俄国数学家（俄国数学家（ChebyshevChebyshev 的学生，的学生，MarkovMarkov的同学），的同学），在他的博士论文中，在他的博士论文中，LyapunovLyapunov系统地研究了由系统地研究了由微分方程描述的一般运动微分方程描述的一般运动的稳定性问题，建立了著的稳定性问题，建立了著名的名的LaypunovLaypunov方法，他的方法，他的工作为现代控制及非线性工作为现代控制及非线性控制奠定科基础。控制奠定科基础。三、线性系统稳定性分析的划时代人物三、线性系统稳定性分析的划时代人物 7/23/20244北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2 4.2 传递函数表示的系统稳定性判定传递函数表示的系统稳定性判定本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性问题线性定常系统的稳定性问题4.2.2 4.2.2 RouthRouth稳定判据稳定判据4.2.3 4.2.3 RouthRouth判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况4.2.4 4.2.4 RouthRouth判据的推广判据的推广4.2.5 4.2.5 RouthRouth判据的应用判据的应用7/23/20245北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系7/23/20246北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系7/23/20247北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系一、稳定性基本概念一、稳定性基本概念 1 1、稳定性稳定性 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，产生任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。初始偏差。 所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。恢复到原平衡状态的性能。 4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性2 2、平衡状态平衡状态系统所受的作用力达到平衡，系统所受的作用力达到平衡，使系统处于稳定（不运动）的状态。使系统处于稳定（不运动）的状态。称为平衡状态。称为平衡状态。7/23/20248北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性7/23/20249北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性7/23/202410北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性7/23/202411北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性临界稳定临界稳定7/23/202412北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳定。反之，若初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！7/23/202413北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性由稳定性定义可知：1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。7/23/202414北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性对于脉冲响应，我们有：对于脉冲响应，我们有：显然，系统是否稳定取决于显然，系统是否稳定取决于G(sG(s) )极点在极点在S S平面中的位置。平面中的位置。推论推论1 1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲脉冲响应函数趋于零响应函数趋于零，则该线性定常系统稳定。，则该线性定常系统稳定。系统是稳定的。系统是稳定的。系统仍能回到原有的平衡状态系统仍能回到原有的平衡状态简证：简证：7/23/202415北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部 位于S左半平面，则系统稳定。则脉冲响应为：则脉冲响应为： 简证：简证：简证：简证：令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有q q个实数极点和个实数极点和r r对复数对复数 极点：极点：)2()()()()(22111+P+P+P=nknkkrkjqjimissPsZsKssGwwxf=-=-+-+=rkrkknktkknktkqjtpjteCteBeAtgnkknkkj112211cos1sin)(xwxwwxwx显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于S S左左半平面时，半平面时，g(t)|g(t)|t t 0 0 成立，即系统才稳定。成立，即系统才稳定。 7/23/202416北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系j0j0j0j0j04.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性7/23/202417北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性推论推论3 3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的统的阶跃响应函数趋于某一个常数阶跃响应函数趋于某一个常数，则该，则该线性线性定常系统稳定。定常系统稳定。 这个推论的证明请同学们自行完成。这个推论的证明请同学们自行完成。 7/23/202418北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系二、二、SISOSISO系统阶跃响应的稳定问题系统阶跃响应的稳定问题实根情况：实根情况：7/23/202419北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系虚根情况：虚根情况：7/23/202420北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.1 SISO4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性临界稳定：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。稳定裕度的概念：S S平面平面7/23/202421北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系三、三、SISOSISO线性定常系统的稳定性分析方法：线性定常系统的稳定性分析方法： 求脉冲响应求脉冲响应 求阶跃响应求阶跃响应 求系统的闭环特征根求系统的闭环特征根不易求不易求其它简单的判定方法其它简单的判定方法? ?7/23/202422北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.2 4.2.2 RouthRouth稳定判据稳定判据( (RouthRouths s stability stability criterion) criterion) RouthRouth表表将闭环特征方程将闭环特征方程的各项系数，按的各项系数，按右面的格式排成右面的格式排成RouthRouth表。表。000122110 = =+ + + + + +- - - -aaSaSaSaSannnnn系统闭环特征方程系统闭环特征方程7/23/202423北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系系统渐进稳定的必要条件是系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数特征方程的系数均大于零均大于零。如果劳斯表中如果劳斯表中第一列的系数第一列的系数均为均为正值正值，则其特征方程式，则其特征方程式的根都在的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中如果劳斯表中第一列系数的符号有变化第一列系数的符号有变化，则符号的变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在次数等于该特征方程式的根在S S的右半平面上的个数，相的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。应的系统为不稳定。劳劳斯斯稳稳定定判判据据表中表中这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =- -= =7/23/202424北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系例例4.2-14.2-1试用劳斯判据判别系统的稳定性试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：解：解：解： 列劳斯表列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在二个根在S S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。已知某一调速系统的闭环特征方程式为：已知某一调速系统的闭环特征方程式为：7/23/202425北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系 4.2.3 4.2.3 RouthRouth判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况劳斯表某一行中的第一项元素等于劳斯表某一行中的第一项元素等于0 0，而该行的其余各项不，而该行的其余各项不等于等于0 0或没有其余项。或没有其余项。 以一个很小的正数以一个很小的正数 来代替为来代替为0 0的这项，据此算出其的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。余的各项，完成劳斯表的排列。解决的办法解决的办法若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在就等于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为系统为系统为系统为不稳定不稳定不稳定不稳定。 如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定。结结论论7/23/202426北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系已知系统的闭环特征方程式为已知系统的闭环特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。由于表中第一列由于表中第一列 上面元素的符号与其下面元素的符号上面元素的符号与其下面元素的符号相同，所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的相同，所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定系统系统为临界稳定系统( (这在工业上属于不稳定的系统这在工业上属于不稳定的系统) )。例4.2-2解：解：解：解： 列劳斯表列劳斯表7/23/202427北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系劳斯表某一行元素全为劳斯表某一行元素全为0 0。这表示相应方程中含有一些大小。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根相等符号相反的实根或共轭虚根( (关于原点对称的根关于原点对称的根) )。 利用系数全为利用系数全为0 0行的上一行系数构造一个辅助行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全数为全0 0的行。从而完成劳斯表的排列。的行。从而完成劳斯表的排列。解决解决办法办法关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。且其根的数目总是偶数的。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在于该方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为系统为系统为系统为不稳定不稳定不稳定不稳定。如果第一列如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定。结结论论4.2.3 4.2.3 RouthRouth判据的两种特殊情况判据的两种特殊情况7/23/202428北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系由于第一列的系数均由于第一列的系数均为正值，表明该方程为正值，表明该方程在在S S右半平面上没有右半平面上没有特征根。特征根。该系统处于临界该系统处于临界稳定状态稳定状态。 已知系统的闭环特征方程式为已知系统的闭环特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。例4.2-3解：解：解：解： 列劳斯表列劳斯表令令F(sF(s)=0)=0，求得：，求得：sssF16122)(24+=7/23/202429北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.4 4.2.4 RouthRouth判据的推广判据的推广实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。参数发生一定变化时仍能保持稳定。 此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定的定的“程度程度”稳定裕度。稳定裕度。 令令s=ss=s1 1-a-a，代入原系统的闭环特征方程中，得，代入原系统的闭环特征方程中，得到以到以s s1 1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线别该方程中是否有根位于垂线s s1 1=-a=-a右侧。右侧。7/23/202430北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程例例4.2-44.2-4解：解：解：解：列劳斯表列劳斯表是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在的右半平面上，并检验有几个根在 的右方。的右方。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。s s1 1s s-1-10 0j j7/23/202431北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系令令S=Z-1S=Z-1代入特征方程：代入特征方程：式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在的右方的右方。列劳斯表列劳斯表第一列的系数符号变第一列的系数符号变化了一次，表示原方化了一次，表示原方程有一个根在垂直直程有一个根在垂直直线线 的的右方。右方。7/23/202432北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.2.5 4.2.5 RouthRouth判据的应用判据的应用例例4.2-54.2-51 1 系统参数稳定范围的确定系统参数稳定范围的确定已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为 求该系统稳定的求该系统稳定的K K值范围。值范围。由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：必须全为正值：解：解：解：解：列劳斯表列劳斯表7/23/202433北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系第一列均为正值，第一列均为正值，S S全部位全部位于左半平面，故系统稳定。于左半平面，故系统稳定。已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答：已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答： 时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统是否稳定？ 时，闭环系统的稳定条件是什么？时，闭环系统的稳定条件是什么？例4.2-6时，闭环系统时，闭环系统的的特征方程为特征方程为: :解：解：解：解：020501523=+SSS7/23/202434北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系闭环特征方程为：闭环特征方程为： 开环传递函数：开环传递函数： 列列劳劳斯斯表表7/23/202435北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系 因此，利用劳斯稳定判据可确定系因此，利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。 欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 7/23/202436北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系+系统闭环特征方程为：系统闭环特征方程为：为为稳定条件稳定条件例4.2-7解：解：解：解：系统结构图如下所示，确定系统参数稳定的条件。系统结构图如下所示，确定系统参数稳定的条件。 S3 T1T2 1S2 T1+T2 kS1 0S0 k 0劳斯表劳斯表劳斯表劳斯表7/23/202437北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系当当K=2K=2时，时，RouthRouth表的第三、五行表的第三、五行元素全为元素全为0 0。系统。系统将有对称于原点将有对称于原点的闭环特征根。的闭环特征根。2 2 求特殊情况下系统的闭环特征根求特殊情况下系统的闭环特征根例例4.2-84.2-8已知某系统的闭环特征方程为：已知某系统的闭环特征方程为： 试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K K值，并求出此时值，并求出此时系统的所有闭环特征根系统的所有闭环特征根。，进而得，进而得解：解：解：解：列劳斯表列劳斯表7/23/202438北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.3 4.3 状态空间表示的系统稳定性判定状态空间表示的系统稳定性判定定理定理5.1:5.1: 线性定常系统线性定常系统 平衡状态平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵渐近稳定的充要条件是矩阵A A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部. . 证明：证明：充分性充分性充分性充分性，由其齐次解，由其齐次解 可知：若可知：若A A的的特征特征则当则当 有界，有界， 0(t)0(t)。值均具有负实部。值均具有负实部。 必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。系统状态系统状态系统状态系统状态( ( ( (内部内部内部内部) ) ) )稳稳稳稳定条件定条件定条件定条件系统输出稳定：系统输出稳定：如果系统对于有界输入如果系统对于有界输入u u 所引起的输出所引起的输出y y是有是有 界的界的. .则称系统为输出稳定则称系统为输出稳定. .定理定理5.25.2：线性定常系统线性定常系统 输出稳定的充要输出稳定的充要条件是传条件是传 函函 的极的极点全部位于点全部位于s s的左半平面的左半平面. . 7/23/202439北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系 设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为: :试分析系统的状态稳定性与输出稳定性试分析系统的状态稳定性与输出稳定性. . 1)1)有有A A的特征方程的特征方程: : 可知系统的状态是不稳定的可知系统的状态是不稳定的. . 2)2)由系统的传递函数由系统的传递函数: : 故系统输出稳定故系统输出稳定. .这是因为具有正实部的特征值这是因为具有正实部的特征值 被系统的零点被系统的零点s=+1 s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。对消了，不稳定部分被掩盖。 例4.3-1解：解：解：解：7/23/202440北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系说明说明: :1)1)这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统这种系统在实际应用时是极不可靠的。若系统 参数发生变化参数发生变化, ,则零、极点就无法实现对消。则零、极点就无法实现对消。 这样输出就能表现出不稳定特性。这样输出就能表现出不稳定特性。2)2)只有当只有当 不出现不稳定的零、极点对消不出现不稳定的零、极点对消( (可以可以 有稳定的零、极点对消有稳定的零、极点对消) )， 的稳定性才与的稳定性才与 的稳定性是一致的的稳定性是一致的. . 7/23/202441北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4.4 4.4 小结小结线性系统稳定性分析的理论框架与方法线性系统稳定性分析的理论框架与方法 李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法第一方法第一方法稳定性分析稳定性分析SISOSISO代数方法代数方法解析方法解析方法RouthRouth判据判据根据根据SISOSISO闭环特闭环特征方程的系数判征方程的系数判定定系统的系统的稳定性稳定性 的的特征根特征根求阶跃响求阶跃响应、求闭应、求闭环特征根环特征根7/23/202442北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系稳定性的概念和定义稳定性的概念和定义 平衡点；稳定；大范围稳定；渐近稳平衡点；稳定；大范围稳定；渐近稳定；定； 一致稳定；渐近一致稳定一致稳定；渐近一致稳定RouthRouth判据判据 适用于适用于SISOSISO系统，利用特征方程的系系统，利用特征方程的系数数RouthRouth判据的应用判据的应用 判定稳定性；确定系统稳定是参数的判定稳定性；确定系统稳定是参数的取值取值 范围；特殊情况下求系统的闭环特征范围；特殊情况下求系统的闭环特征根根状态空间表示的系统的稳定性的判定状态空间表示的系统的稳定性的判定注意系统内部稳定和输入输出稳定的不同与注意系统内部稳定和输入输出稳定的不同与 联系。联系。7/23/202443北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系