5.5数列模型的应用数列模型的应用1.数列在实际生活中有着广泛的应用数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤其解题的基本步骤,可用图表示可用图表示如下如下:2.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n4910元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天【解析】由第n天的维修保养费为 元（nN*），可知每天的维修保养费构成以 =5为首项， 为公差的等差数列.设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时取得最小值，此时n800. 【答案】B4.(2014成都一模)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n.【解析】设每节竹竿的长度对应的数列为an，公差为d(d0).由题意知a110，anan1an2114，a26a1an.由anan1an2114，得3an1114，解得an138，(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，所以an1a1(n2)d38，即102(n2)38，解得n16.【答案】165.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 米.等差数列模型的应用等差数列模型的应用 解等差数列应用题,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差数列知识求解,这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力. 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始该台商获利？(2)若干年后，该台商为开发新项目， 有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？【解析】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f(n)50n 722n240n72.(1)获取纯利润就是要求f(n)0，故有2n240n720，解得2n32 500，即2n132，得n6， 该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32 500万元递推数列模型的应用递推数列模型的应用 在求解与自然数相关的实际问题时，如果不能或不容易直接找出数列中通项的关系式时，往往可以从项与项之间的关系出发，找到数列的一个递推关系，并以此为突破口，利用递推数列的知识与方法解决问题.某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n1年销售收入an与an1(单位：万元)满足关系式：(1)设今年为第1年，求第n年的销售收入an；(2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大.【解析】(1)由题意可知anan1 100(n2)，an1an2 100，a3a2 100，a2a1 100，a1250 以上各式相加得，an500 (2)要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和.an500 100(n1)，要使an0，即500 100(n1)0，也就是 1.令bn 则bnbn1 显然，当n3时，bnbn1，而b51，a50，a60.该企业前5年的销售收入总和最大.用数列模型解决实际应用问题的高考命题在前几年较为普遍，近两年较少出现，但随着经济活动在社会生活中越来越频繁的发生以及它越来越重要的地位，不可避免地会有越来越多的与之相关的实际问题产生，因此不能排除重新出现高考命题的可能.对于这一块知识的复习不可掉以轻心.(2012湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)【全解全析】(1)由题意，得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)d a1d4 500 d，an1an(150%)d and.(2)由(1)，得an an1d d an2 dd 整理，得an .由题意，得am4 000，即 解得d故该企业每年上缴资金d的值为 时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.【解析】方法一设an的公比为q.f(an)a2n， f(an)是等比数列.排除B、D.f(an) f(an)是等比数列.排除A.方法二不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n. 显然f(an)是首项为4，公比为4的等比数列.因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以 所以f(an)不是等比数列.因为f(x) ，所以f(an) 显然f(an)是首项为 ，公比为 的等比数列.因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列. 【答案】C