数学物理方程数学物理方程陈有亮陈有亮上海理工大学环境与建筑学院上海理工大学环境与建筑学院东楔资接读屏癸欣揩屠窥诅哈荤惭役僚答捉斧晚债翰宇疮判惺坛储摇坟眠齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题第第2 2章章 分离变量法和积分变换法分离变量法和积分变换法1 1 齐次波动方程的第齐次波动方程的第边值问题边值问题2 2 齐次热传导方程的定解问题齐次热传导方程的定解问题3 3 二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程4 4 非齐次定解问题的解法非齐次定解问题的解法5 5 积分变换法积分变换法习题二习题二鸣责旺建暂侵榜扭程甚桌旋述妄麓寨交士亥嘲惺缺耶饭妙凿肿爽跌额该肉齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1 1 齐次波动方程的第齐次波动方程的第边值问题边值问题1.1 1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动1.2 1.2 解的物理意义解的物理意义躺瑰反桅就秤诬狄掏能淮锋纫防液账婿氯运不柴疚卯拘陷虫引姥剐颠吧珐齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动考虑长为考虑长为l，两端固定的有界弦的自由振动问题，其，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归结为如下定解问题可归结为如下定解问题u|x=0=0, u|x=l=0, t 0 (1.2)u|t=0=(x), u/ t|t=0= (x), 0 x l (1.3)其中其中 (x), (x)均为已知函数。均为已知函数。妮甜朵珊蓝巧雁固夺哦洞秋您菲狡痕使竹酪建邦杰傈恃哼木欲跃搀降哦铡齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动考虑长为考虑长为l l，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归结，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归结为如下定解问题为如下定解问题此定解问题的方程和边值条件都是齐次的，而初值条件是此定解问题的方程和边值条件都是齐次的，而初值条件是非齐次的。非齐次的。先对有界弦振动过程中的波形进行分析。先对有界弦振动过程中的波形进行分析。波形表示波在传播过程中的真实形状波形表示波在传播过程中的真实形状( (瞬间瞬间) ) ，即若选定一，即若选定一个坐标轴轴的话，它表示某时刻各点处的位移分布。试验个坐标轴轴的话，它表示某时刻各点处的位移分布。试验表明，驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增减。表明，驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增减。助巫团避舅噶寅烈贿颠愈弯睫性番齐永耸辅务润稚巫联另振郴础弗供窍练齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动设设u(x,t)为驻波的位移函数为驻波的位移函数, 在时刻在时刻t0的波形为的波形为 u(x,t0) =X(x)， 在时刻在时刻 t1的波形为的波形为u(x,t1)，则，则其中其中T1为常数为常数 。再设在时刻再设在时刻 t2的波形为的波形为u(x,t2)，则，则其中其中T2为另一常数为另一常数 。忧掠湖汲踊雹谆骤搞茨封腾灌拱厌画铃帕钓咽缅蛛供镑澄芋咖背损钾委敬齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动设在时刻设在时刻t的波形为的波形为 u(x,t)，则，则其中其中Tt是一个与是一个与x无关的量，它只随时间无关的量，它只随时间t的变化而的变化而变化，即变化，即T应该是时间应该是时间t的函数。的函数。由由(1.4) 得得u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t)下面介绍用分离变量法求解方程下面介绍用分离变量法求解方程 (1.1) 的全过程的全过程 。蚌枪乌杉舆铀枉井式裁掀温肆驶确死胯侠苗段沿奏坟玛冒仗楚磊刀侨致溯齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动在求解之前我们首先要声明，我们所求的解为非零。在求解之前我们首先要声明，我们所求的解为非零。求解过程大体分为三步。求解过程大体分为三步。第一步，变量分离第一步，变量分离设设 u(x,t)= X(x)T(t) (1.5)将将(1.5)代入方程代入方程(1.1)，可得，可得 X(x)T(t)= a2X(x)T(t) 籽滁丹肾敦拇骏订因惺嫉号奖泛锋畔勇洼南适蘑枷麓斧参浓聘借烩生夷腿齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动或或仔细分析方程仔细分析方程(1.6)，左边仅是，左边仅是x的函数，右边仅是的函数，右边仅是t的的函数，若要两边相等，只有两边都等于同一常数时才函数，若要两边相等，只有两边都等于同一常数时才有可能。设此常数为有可能。设此常数为- ，则，则玻激家桥嘎占早原吱羔肥辙丙卷意钱霍潦颖弦园页迹矣舷族顶观尺奥堕难齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动由由(1.7) 可以得到如下两个常微分方程可以得到如下两个常微分方程由由u(x,t)=X(x)T(t)和边界条件和边界条件 (1.2)可得可得 X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10)由于要求的解为非零解，故由于要求的解为非零解，故 u(x,t) 0, 则则T(t) 0, (1.10) 变为变为侮埃纪闺会希晴健错懊填锥薯径妒经闪劣邦妇共猛撼绷健姑童喧祥拘储瑞齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 X(0) = X(l) =0 (1.11)先通过解如下方程解出先通过解如下方程解出X(x)方程方程(1.12)中含有待定常数中含有待定常数 , 且且 的值对问题的解有很大影响。的值对问题的解有很大影响。对对 (1.12)这样要讨论问题的非零解必须先讨论这样要讨论问题的非零解必须先讨论 的值的问题，的值的问题，称为固有值称为固有值(或特征值或特征值)问题，使问题问题，使问题 (1.12)有非零解的有非零解的 称为该称为该问题的固有值问题的固有值(或特征值或特征值), 相应的非零解相应的非零解X(x)称为它的固有称为它的固有(或或特征特征) 函数。函数。 睫糠茧缀倾匆窖痔稀影服课磐透落贩栖第徐痹胞韦焙然萧太此世忽损辨畜齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动第二步，求解固有值问题。对第二步，求解固有值问题。对 分三种情况来讨论分三种情况来讨论:(1) 0(2) 0(3) 0捏肘久数桌刀沽梁姨磷专但组锦床幕遏虐槛陨圭佃既带氯自欢由勿陶辩译齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动(1) 0, 此时方程此时方程X+ X=0的通解为的通解为由条件由条件X(0) = X(l) =0, 可得可得 A*1+B*1=0由于由于因忱泻柱脾椒彰姓唐玲各左砖捞噶课恿允借创拢昂虞媚悲臆奖区爷戒蚁痛齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动故故A=B=0，即，即X(x) 0, 不符合非零解的要求，因此不符合非零解的要求，因此 不能不能小于零。小于零。(2) 0, 此时方程此时方程X+ X=0的通解为的通解为 X(x)=Ax+B由条件由条件X(0) = X(l) =0仍然得到仍然得到A=B=0, 即即X(x) 0, 所以所以 也也不能等于零。不能等于零。(3) 0, 此时方程此时方程X+ X=0的通解为的通解为闰举侣根欢贡愉擦趣捆瞄垛吸遣榔近豁省货葬征姜智碑逮搭册甜踢严希聂齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动由条件由条件X(0) = X(l) =0, 可得可得则则为使为使 X(x)不恒为零不恒为零, 应有应有B 0, 则只有则只有 , 即即满足这个等式的满足这个等式的 值就是固有值值就是固有值, 记为记为 n, 即即庸萤菠层村粗昆吐丈橙阂淤稠悔踩怎浪糕您肠涨汤漂吝瘴屏诈嚷净追退赦齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动相应的固有函数为相应的固有函数为其中其中Bn为任意常数。为任意常数。第三步第三步, 求特解求特解, 并叠加特解并叠加特解, 求出叠加系数。求出叠加系数。 对应于每一个固有值对应于每一个固有值 n, 方程方程的解是的解是讯尔啸瑶荆民姓兵寇俗艺志羊椒疹嘉牺睦资洋芍昨辱烹恭椰围压厚碟特币齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动其中其中Cn, Dn为待定常数。为待定常数。这样就得到满足方程这样就得到满足方程(1.1)和边界条件和边界条件(1.2)的可分离变量的一的可分离变量的一系列特解为系列特解为对应于每一个正整数对应于每一个正整数n都有一个形如都有一个形如(1.13)的特解的特解, 所以所以, 满足满足 方程方程(1.1)和边界条件和边界条件(1.2)的解有无穷多个的解有无穷多个, 但形如但形如(1.13)的特的特解不一定满足初值条件解不一定满足初值条件(1.3), 为了得到满足初值条件为了得到满足初值条件(1.3)的解的解, 我们把形如我们把形如(1.13)的特解叠加起来的特解叠加起来, 记其和为记其和为u(x,t), 则则挞愁便征响占匹台皆绑植题陡箔紧伐奶坟抒鸵碟禁涤说顶券前怯计熟身酋齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动下面的问题是如何选取待定系数下面的问题是如何选取待定系数En,Fn, 以使整个级数满足初以使整个级数满足初值条件值条件(1.3), 将初值条件代入将初值条件代入 (1.14), 可得可得等式右边两个级数恰好分别代表函数等式右边两个级数恰好分别代表函数(x), (x)的傅里叶正弦的傅里叶正弦级数展开。由函数展开成傅里叶级数的唯一性级数展开。由函数展开成傅里叶级数的唯一性, 可得可得En和和Fn的的值为值为婶为椰儡型牺溢欺篷缀孩侣愚缓冰泳旧礁钨荆升精雷嗽靴洪鸭哨燎复旬邱齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动这样这样, 具有上述系数的级数具有上述系数的级数 (1.14) 在形式上既满足方程在形式上既满足方程(1.1), 又满足边界条件又满足边界条件(1.2)和初值条件和初值条件(1.3), 因此因此, 它就是有界弦的它就是有界弦的自由振动问题的形式解。自由振动问题的形式解。我们之所以说得到的是形式解，是因为有两个问题还没有解我们之所以说得到的是形式解，是因为有两个问题还没有解决决:(1) 级数级数(1.14)是否收敛是否收敛;(2)u(x,t)对对x,t必须两次连续可微，必须两次连续可微，方程方程 (1.1) 才有意义，这两点必须解决，解才有意义，这两点必须解决，解u(x,t)才有意义。才有意义。巧热谰漾您杉柿站租笼爽猫绣新刊废啃劈止笛附后衫炸迈俯腾短沼柔孟坡齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动为了解决这两个问题为了解决这两个问题, 只需给只需给(x)和和 (x)加一些约束条件即可。加一些约束条件即可。对于这里讨论的有界弦的自由振动问题对于这里讨论的有界弦的自由振动问题, 我们假设我们假设(x)三次连三次连续可微续可微, (x)二次连续可微二次连续可微, 且且(0)=(l) =(0) =(l)= (0)= (l) =0。可以证明，给出上述约束条件后，问。可以证明，给出上述约束条件后，问题题(1.1)-(1.3)的解存在的解存在,且可以用且可以用(1.14)的形式给出的形式给出, 系数系数En,Fn由由 (1.15) 确定。证明过程此处不再赘述。确定。证明过程此处不再赘述。在本课程的教学中在本课程的教学中, 只要求出形式解即认为问题已经最后解决。只要求出形式解即认为问题已经最后解决。委园悬戒趋吓亿撂湘酉摘祥建比伤般枉迪陵合菩藐嘘壤疮予颧凛经彦狰钞齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动根据以上求解过程可以得到用分离变量法求解方程的一般步骤根据以上求解过程可以得到用分离变量法求解方程的一般步骤:第一步，分离变量。设第一步，分离变量。设u(x,t)=T(t)X(x), 代入方程代入方程, 分别得到两个关于分别得到两个关于T(t)和和X(x)的常微分方程的常微分方程, 并由齐边值条件可得固有值问题。并由齐边值条件可得固有值问题。第二步，求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数。第二步，求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数。第三步，确定系数。由选定的固有值来求第三步，确定系数。由选定的固有值来求T(t), 进而得到一系列特解，然进而得到一系列特解，然后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级数解的系数。数解的系数。在处理工程问题时，为了更贴近工程实际，减小误差，我们一般都是在三在处理工程问题时，为了更贴近工程实际，减小误差，我们一般都是在三维空间中考虑问题。上述求解过程可以推广到三维情况。维空间中考虑问题。上述求解过程可以推广到三维情况。渊渗鸣薄缕杖娶终箩嘉乒瘁梦到钟袍缆渔掂野歹淮础绷泛汗荣禽柞窿绣谗齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.2 解的物理意义解的物理意义下面来分析解的物理意义。下面来分析解的物理意义。最终的解是一个无穷级数最终的解是一个无穷级数, 我们来分析其中的任意项我们来分析其中的任意项un(x,t)。 若固定取一点若固定取一点x=x0, 则则它表示横坐标为它表示横坐标为x=x0的点的简谐振动，振幅为的点的简谐振动，振幅为Bn, 角频率为角频率为 n, 初位相为初位相为 n。若固定一个时刻若固定一个时刻t=t0, 则则它表示一条正弦曲线。它表示一条正弦曲线。 铱案荡离旬具瞩莆陵瘁患组畏尾跪酒涯眷诅更淹廖锅栓葵疲让烧匠悯炼汽齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题1.2 解的物理意义解的物理意义un(x,t)=Tn(t)Xn(x) 表示的就是一个振动波表示的就是一个振动波, 弦上各点以相同的弦上各点以相同的角频率和初位相作简谐振动。角频率和初位相作简谐振动。该振动波还有一个特点该振动波还有一个特点, 就是在就是在0,l范围内还有范围内还有n+1个点个点(包括包括端点端点) 永远保持不动永远保持不动, 这是因为在这是因为在 的那些点的那些点上上, 的缘故的缘故, 这些点称为节点。这说明这些点称为节点。这说明 un(x,t)的的振动是振动是0,l上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波叫上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波叫驻波。我们用分离变量法得到的解是一系列驻波的叠加驻波。我们用分离变量法得到的解是一系列驻波的叠加, 分离分离变量法又称驻波法变量法又称驻波法 。消胸盆幂飘鸯倚骑漆虾祭贤碗蚂伎袍蕴袒穿跑脉峦硼填奢界良适妨溢烩礁齐次波动方程的第一齐边值问题齐次波动方程的第一齐边值问题