9.2两条直线的位置关系第九章平面解析几何基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.两条直线的位置关系两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2 .()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2 .()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.知识梳理k1k2k1k21(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| .(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d .(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是 .【知识拓展】A1B2A2B103.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是 .4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.A1A2B1B20题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()基础自测123456(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.()123456题组二教材改编题组二教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于 解析答案1234563.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m .解析123456答案1所以m42m，所以m1.题组三易错自纠题组三易错自纠4.(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3解析解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，解析123456答案5.直线2x2y10，xy20之间的距离是 .解析答案1234566.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a .解析0或1答案解解析析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.123456题型分类深度剖析典典例例 (2018青岛模拟)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的位置关系师生共研师生共研解答(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解答(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；解答(2)当l1l2时，求a的值.解答解解方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，解析答案题型二两直线的交点与距离问题自主演练自主演练2.若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为 .解析x3y50或x1答案(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.思维升华思维升华解析题型三对称问题多维探究多维探究解析解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点命题点1点关于点中心对称点关于点中心对称典典例例 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .x4y40答案命题点命题点2点关于直线对称点关于直线对称典典例例 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 解析答案解解析析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，命题点命题点3直线关于直线的对称问题直线关于直线的对称问题典典例例 已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.解答解决对称问题的方法(1)中心对称思维升华思维升华直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练跟踪训练 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；解答(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；解答解解用分别代换xy20中的x，y，化简得7xy220.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解答解解在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程思想方法思想方法思想方法指导规范解答一、平行直线系一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例典例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.思思想想方方法法指指导导 因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).思想方法指导规范解答二、垂直直线系二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.典例典例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.思想方法指导思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.思想方法指导三、过直线交点的直线系三、过直线交点的直线系典典例例3 (2017湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为 . 思思想想方方法法指指导导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.解析答案4x3y90课时作业1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是 A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定基础保分练12345678910111213141516解析解析直线2xym0的斜率k12，解析答案则k1k2，且k1k21. 故选C.2.(2018邢台模拟)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析答案12345678910111213141516解得a1，故选C.3.从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 A.x2y40 B.2xy10C.x6y160 D.6xy80答案12345678910111213141516解析其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确.4.(2017兰州模拟)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是 A. B.2 C.3 D.4解析答案12345678910111213141516解析解析点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)，5.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为 解析答案解析解析l1l2，a2且a0，123456789101112131415166.若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 A.(0,4) B.(0,2)C.(2,4) D.(4，2)答案12345678910111213141516解析解析解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).解析答案123456789101112131415167.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为 .9点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案12345678910111213141516解析8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn .解解析析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，解解析析直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，解析答案123456789101112131415169.已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a ，此时点P的坐标为 .1(3,3)易得x3，y3，P(3,3).10.已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为 ，则a ；若l1l2，则a ；若l1l2，则两平行直线间的距离为 .故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；解析123456789101112131415161答案1若l1l2，11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2).(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；解解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解答12345678910111213141516故直线经过的定点为M(2，2).(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4 .证证明明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，证明1234567891011121314151612.已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是 .(1)求a的值；解答12345678910111213141516又a0，解得a3.(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的 ；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.解答12345678910111213141516技能提升练答案12345678910111213141516解析13.(2017湖北孝感五校联考)已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为 A.(2,4) B.(2，4)C.(2,4) D.(2，4)解析12345678910111213141516答案15.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为 .拓展冲刺练解析12345678910111213141516答案616.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是 .答案123456789101112131415166x8y10解析本课结束