空空 间间 角角1.异面直线所成的角异面直线所成的角(2)范围：范围：(1)定定义义：设设a、b是是异异面面直直线线，过过空间任一点空间任一点O引引 ，则，则 所所成成的的锐锐角角(或或直直角角)，叫叫做异面直线做异面直线a、b所成的角所成的角.（3）求法：）求法：平移法平移法; 设直线设直线AB和和CD所成的角为所成的角为 ，则：，则：2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(3)范围：范围：(1)(1)定定义义：平平面面的的一一条条斜斜线线和和它它在在平平面面上上的的射射影影所所成成的的锐锐角角，叫叫这这条条斜斜线线和这个平面所成的角和这个平面所成的角(2)若若直直线线l 平平面面，则则 l 与与所所成成角角为为直直角角 若若直直线线l平平面面，或或直直线线l平平面面，则则l与与所成角为所成角为0定义法的定义法的具体步骤如下：具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。把该角置于三角形中计算。 （4）求法）求法:定义法定义法向量法：向量法：设设 是平面是平面 的一个法向量，直线的一个法向量，直线AB与平面与平面 所成的角为所成的角为 ，则：，则：B BA AOO (12 (12佛山二模）如图所示四棱锥佛山二模）如图所示四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD, ,四边形四边形ABCDABCD中中, , ,BC/ADBC/AD,PA=AB=BC=2,AD=4,PA=AB=BC=2,AD=4,F F为为PCPC中点中点. .（）求证求证:（）求证）求证:BF/平面平面ACE；（）求直线）求直线PD与平面与平面PAC所成的角的正弦值所成的角的正弦值.,E为为PD的中点的中点,平面平面PAC； 例例：如如图图，在在矩矩形形ABCD中中，AB=4，AD=2，E为为CD的的中中点点，将将ADE沿沿AE折折起起，使使平平 面面 ADE平平 面面 ABCE， 得得 到到 几几 何何 体体 D-ABCE。 (1)求求证证：BE平平面面ADE，并并求求AB与与平平面面ADE所成的角的大小；所成的角的大小； (2)求求BD与平面与平面CDE所成角的正弦值所成角的正弦值. (1)在矩形在矩形ABCD中，连接中，连接BE，因为因为AB=2AD，E为为CD的中点，的中点，所以所以AD=DE，EAB=45，从而从而EBA=45，故，故AEEB.过过D作作DOAE于于O.因为平面因为平面ADE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所以BE平面平面ADE.可知可知AE为为AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，从从而而BAE为为AB与与平平面面ADE所所成成的的角角,大大小为小为45.(2)由由(1)可可知知，DO平平面面ABCE，BEAE，过过O作作OFBE，以以O为为原原点点，OA、OF、OD分分别别为为x轴轴、y轴轴、z轴轴建建立立空空间间直直角角坐坐标系标系,则则D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).设平面设平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .则则BD与平面与平面CDE所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .则则，得，得 本本例例的的求求解解策策略略说说明明，若若方方便便获获知知直直线线在在平平面面内内的的射射影影，则则可可用用传传统统的的构构造造法法求求直直线线与与平平面面所所成成的的角角；若若找找直直线线在在平平面面内内的的射射影影较较难难，则则可可用用向向量量法法求求直直线线和和平平面面所所成的角成的角.,，（2011全国）如图，四棱锥全国）如图，四棱锥S-ABCD中，中，侧面，侧面SAB为等边三为等边三（）证明：）证明：（）求）求AB与平面与平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值角形，角形，AB=BC=2,CD=SD=1.ADBCS【1212届中山市四校届中山市四校1212月联考理月联考理】18如图，四棱如图，四棱锥锥PABCD的底面的底面ABCD为矩形，且为矩形，且PA=AD=1,AB=2, , (1)求证：平面求证：平面(2)求三棱锥求三棱锥DPAC的体积；的体积； (3)求直线求直线PC与平面与平面ABCD所成角的正弦值所成角的正弦值 平面平面PAB；由（由（1）知平面）知平面 平面平面 PAB ，且，且AD/BC 平面平面PAB 图图5【20122012广州一模理广州一模理】18.如图如图5所示，在三棱锥所示，在三棱锥P-ABC中，中，平面，平面平面ABC，于点于点D，AD=1,CD=3，（1）证明）证明PBC为直角三角形；为直角三角形；（2）求直线）求直线AP与平面与平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值作作 业业二面角的定义：从二面角的定义：从一条直线一条直线出发的两个出发的两个半半平面平面组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角复习：复习： 二面角二面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O向量法向量法二面角的两个面的法向量的二面角的两个面的法向量的夹角与二面角的大小相等或互补夹角与二面角的大小相等或互补 . .（06安徽）安徽）P是边长为是边长为1的正六边形的正六边形ABCDEF所在所在平面外一点，平面外一点，PA=1，P在平面在平面ABC内的射影为内的射影为BF的中点的中点O.()证明证明PABF；()求面求面APB与面与面DPB所成二面角的大小所成二面角的大小.ABCDEFOP四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果锐角或钝角，得出问题的结果(08天津天津,3)在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形.已知已知（）证明）证明AD平面平面PAB；（）求二面角）求二面角P-BD-A的正切值的正切值（11湖南理湖南理19）如图，在圆锥）如图，在圆锥PO中，已知中，已知PO=D为为AC的中点的中点（）证明：平面）证明：平面POD（）求二面角）求二面角B-PA-C的余弦值。的余弦值。， O的直径的直径AB=2,C是是AB弧的中点，弧的中点，平面平面PAC;(10广东广东,3) 是半径为是半径为a的半圆，的半圆，AC为直径，为直径，E点为点为 的中点的中点, 点点B和点和点C为线段为线段AD的三等分点的三等分点, 平面平面AEC外一点外一点F 满足满足(1)证明：证明：EBFD;(2)已知已知Q,R为线段为线段FE,FB上的点，上的点，求平面求平面BED与平面与平面RQD所成二面角的正弦值。所成二面角的正弦值。 无棱二面角无棱二面角(05广东广东16)在四面体在四面体P-ABC中，已知中，已知PA=BC=6, PC=AB=10，AC=8， F是线段是线段PB上一上一点，点， 点点E在线段在线段AB上，且上，且EFPB（）证明：）证明：PB平面平面CEF；（）求二面角）求二面角B-CE-F的正切值的正切值ACBPFE用向量法但不用建系用向量法但不用建系!求二面角的常用方法求二面角的常用方法(几何法）几何法）1、定义法定义法AMB为二面角为二面角a a-l-b b 的平面角的平面角.M是是l上任意一点上任意一点在在a a内作射线内作射线MAl在在b b内作射线内作射线MBl(06广东广东,3)如图所示，如图所示，AF、DE分别是分别是 O、 O1的的直径直径.AD与两圆所在的平面均垂直，与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是是 O的直径，的直径，ABAC6，OE/AD.求二面角求二面角BADF的大小；的大小；求直线求直线BD与与EF所成的角的余弦值所成的角的余弦值.45M例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，中，侧面侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜边，且共的斜边，且AD，BDCD1，另一个，另一个侧面是正三角形，求二面角侧面是正三角形，求二面角BACD的余弦值的余弦值.ABCDN ，（11广东理广东理18）如图）如图5在椎体在椎体P-ABCD中，中， ABCD是边长为是边长为1的棱形，且的棱形，且DAB=600.的中点的中点（1） 证明：证明：AD ,PB=2,E,F分别是分别是BC,PC平面平面DEF;BPDAEFC（2） 求二面角求二面角P-AD-B的余弦值的余弦值 (08北京北京,2)如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABC中，中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC()求证：求证：PCAB；()求二面角求二面角B-AP-C的大小；的大小； 2、三垂线法三垂线法.ABCDOM AMO为二面角为二面角A-BC-D的平面角的平面角.若若AO平面平面BCD于于O.则作则作OMBC于于M，连结，连结AM.(08天津天津,3)在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形.已知已知（）证明）证明AD平面平面PAB；（）求二面角）求二面角P-BD-A的正切值的正切值（04广东）如图，在长方体广东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，已知已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段分别是线段AB、BC上的点，且上的点，且EB=FB=1. （）求二面角）求二面角C-DE-C1的正切值；的正切值；A AE EB BC CD DA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1F F( 06重庆重庆)四棱锥四棱锥P-ABCD中中, PA 底面底面ABCD, DAB为直角为直角, ABCD, AD=CD=2AB, E、F分别分别为为PC、CD的中点的中点.（）试证：）试证：CD平面平面BEF;（）设）设PAkAB,且二面角且二面角E-BD-C的平面角大于的平面角大于30,求求k的取值范围的取值范围.综综 合合 训训 练练（11湖北湖北18）如图，已知正三棱柱）如图，已知正三棱柱的各棱长都是的各棱长都是4，E是是BC的中点，动点的中点，动点F在侧在侧棱棱CC1上，且不与点上，且不与点C重合重合（）当）当CF1时，求证：时，求证：（）设二面角）设二面角的大小为的大小为，求，求的最小值的最小值(2009(2009 广州一模理广州一模理广州一模理广州一模理) )如下图，在三棱锥如下图，在三棱锥如下图，在三棱锥如下图，在三棱锥P PABCABC中，中，中，中，PAPA 平面平面平面平面ABCABC，ABAB ACAC，D D，E E，F F分别是棱分别是棱分别是棱分别是棱PAPA，PBPB，PCPC的中点，的中点，的中点，的中点，连接连接连接连接DEDE，DFDF，EFEF. . (1)(1)求证：平面求证：平面求证：平面求证：平面DEFDEF 平面平面平面平面ABCABC；(2)(2)若若若若PAPABCBC2 2，当当当当三三三三棱棱棱棱锥锥锥锥P PABCABC的的的的体体体体积积积积最最最最大大大大时时时时，求求求求二二二二面面面面角角角角A AEFEFD D 的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。(1)(1)(1)(1)求求求求证证：平面：平面：平面：平面DEFDEFDEFDEF平面平面平面平面ABCABCABCABC；(1)(1)(1)(1)证证明明明明 D D D D，E E E E分分分分别别是棱是棱是棱是棱PAPAPAPA，PBPBPBPB的中点，的中点，的中点，的中点，DEDEDEDE是是是是PABPABPABPAB的中位的中位的中位的中位线线DEDEDEDEABABABAB. . . .DE DE DE DE 平面平面平面平面ABCABCABCABC，ABABABAB平面平面平面平面ABCABCABCABC，DEDEDEDE平面平面平面平面ABCABCABCABC. . . .同理可证同理可证DF 平面平面ABC. DEDFD，DE 平面平面DEF，DF 平面平面DEF， 平面平面DEF 平面平面ABC(2)由已知由已知PA 平面平面ABC，AC AB，PABC2， AB2AC2BC24.(2)若若PABC2，当三棱锥，当三棱锥PABC的体积的体积最大时，求二面角最大时，求二面角AEFD的平面角的余弦值的平面角的余弦值当且仅当当且仅当ABAC时等号成立，时等号成立，V取得最大值，取得最大值，其值为其值为解法一：解法一：解法一：解法一：作作作作DGDG EFEF，垂足为，垂足为，垂足为，垂足为G G，连接，连接，连接，连接AGAG. . PAPA 平面平面平面平面ABCABC，平面，平面，平面，平面ABCABC 平面平面平面平面DEFDEF， PAPA 平面平面平面平面DEFDEF. . EFEF 平面平面平面平面DEFDEF， PAPA EFEF. . DGDG PAPAD D， EFEF 平面平面平面平面PAGPAG. . AGAG 平面平面平面平面PAGPAG， EFEF AGAG. . 解法二：解法二：解法二：解法二：分别以分别以分别以分别以ABAB，ACAC，APAP所在直线为所在直线为所在直线为所在直线为x x轴，轴，轴，轴，y y轴，轴，轴，轴，z z轴，轴，轴，轴，建立如右图的空间直角坐标系建立如右图的空间直角坐标系建立如右图的空间直角坐标系建立如右图的空间直角坐标系A Axyzxyz，则，则，则，则A A(0,0,0)(0,0,0)，D D(0,0,1)(0,0,1)， . 二面角二面角AEFD的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为由图可知，二面角由图可知，二面角A-EF-D是锐二面角是锐二面角四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果锐角或钝角，得出问题的结果【12辽宁理辽宁理18】 如图，直三棱柱如图，直三棱柱，点点M，N分别为分别为和和的中点。的中点。平面平面()若二面角若二面角为直二面角，求为直二面角，求的值。的值。 ()证明：证明： (2008山山东东卷卷)如如图图，已已知知四四棱棱锥锥P-ABCD中中，底底 面面 ABCD为为 菱菱 形形 ， PA平平 面面 ABCD，ABC=60,E、F分别是分别是BC、PC的中点的中点. （1）证明：证明：AEPD； （2）若若H为为PD上的动点，上的动点， EH与平面与平面PAD所成最大角所成最大角的正切值为的正切值为 ，求二面角，求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值. （1）证明：由四边形证明：由四边形ABCD为菱形，为菱形，ABC=60，可得，可得ABC为正三角形为正三角形.因为因为E为为BC的中点，所以的中点，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因为因为PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD.(2)设设AB=2，H为为PD上任意一点，连接上任意一点，连接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面平面PAD，则，则EHA为为EH与平面与平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以当所以当AH最短时，最短时，EHA最大，最大，即当即当AHPD时，时，EHA最大最大.此时此时tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所以，所以ADH=45，所以所以PA=2.(方法一方法一)因为因为PA平面平面ABCD,PA平面平面PAC，所以平面所以平面PAC平面平面ABCD.过过E作作EOAC于于O，则，则EO平面平面PAC.过过O作作OSAF于于S，连，连接接ES，则，则ESO为二面角为二面角E-AF-C的平面角，的平面角， 在在RtAOE中，中，EO=AEsin30= ， AO=AEcos30= . 在在RtASO中，中，SO=AOsin45= . 因为因为SE= = = , 所以在所以在RtESO中中,cosESO= = = . 即所求二面角的余弦值为即所求二面角的余弦值为 .（方方法法二二）由由（1）知知AE、AD、AP两两两两垂垂直直.以以A为为坐坐标标原原点点，建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐标系，又坐标系，又E、F分别为分别为BC、PC的中点，的中点，所所以以有有A(0，0，0),B( ，-1，0)，C( ，1，0),D(0，2，0),P(0，0，2),E( ，0，0),F( ,12,1),所以所以 =( ,0,0), =( , ,1).设平面设平面AEF的一法向量为的一法向量为m=(x1,y1,z1), m =0 x1=0 m =0 x1+ y1+z1=0.取取z1=-1，则，则m=(0,2,-1).因为因为BDAC，BDPA，PAAC=A,所以所以BD平面平面AFC，故故 为平面为平面AFC的一法向量的一法向量.又又 =(- ,3,0）,所以所以cosm, = = = .因为二面角因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的为锐角，所以所求二面角的余弦值为余弦值为 .则则,因此因此1.1.空空间间角角包包括括：两两异异面面直直线线所所成成的的角角、直直线线与与平平面面所所成成的的角角、二二面面角角. .求求空空间间角角首首先先要要把把它它转转化化为为平平面面角角，然然后后再再用用代代数数的的方方法法、三三角角的的方方法法求求解解；当当上上述述目目标标实实现现较较困困难难时时，可可考考虑虑用用向量方法求解向量方法求解. .2.2.构构造造法法求求空空间间角角的的一一般般步步骤骤是是：一一作作（找找），二二证证，三三计计算算. .作作（找找）出出所所求求的的角角是是计计算算的的基基础础. .异异面面直直线线所所成成的的角角一一般般通通过过作作平平行行线线来来作作出出，而而直直线线与与平平面面所所成成的的角角最最关关键键是是找找一一条条与与平平面面垂垂直直的的垂垂线线，二二面面角角的的平平面面角角多多采采用用定定义义法法或或线线面面垂垂直直法法等等方方法法来来寻寻找找. .最最后后，一一般般通通过过解解三三角角形形求出角的大小求出角的大小. .(08湖北湖北,3)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平中，平面面A1BC侧面侧面A1ABB1.()求证：求证：ABBC；()若直线若直线AC与平面与平面A1BC所成的角为所成的角为q q ,二面角二面角A1-BC-A的大小为的大小为j j ，试判断试判断q q与与j j 的大小关系，的大小关系，并予以证明并予以证明. 角的综合角的综合(08全国全国)四棱锥四棱锥A-BCDE中，底面中，底面BCDE为矩形，为矩形，侧面侧面ABC底面底面BCDE，BC=2， AB=AC（）证明：）证明：ADCE；（）设）设CE与平面与平面ABE所成的角为所成的角为45，求二面角，求二面角C-AD-E的余弦值的余弦值 (2011重庆重庆) 如图如图, 在四面体在四面体ABCD中中, 平面平面ABC平面平面ACD，ABBC，AD=CD，CAD=30. ()若二面角若二面角C-AB-D为为60，求异面直线，求异面直线AD与与BC所成角的余弦值所成角的余弦值 （11浙江理浙江理20） 如图，在三棱锥如图，在三棱锥P-ABC中，中，AB=AC, ，D为为BC的中点，的中点，PO平面平面ABC，垂，垂足足O落在线段落在线段AD上，已知上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：）证明：APBC； （）在线段）在线段AP上是否存在点上是否存在点M，使得二面角，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出为直二面角？若存在，求出AM的长；若不的长；若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。方法一：（方法一：（I）证明：如图，以）证明：如图，以O为原点，以射线为原点，以射线OP为为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz,则则，由此可得，由此可得，所以，所以，即，即（II）解：设）解：设设平面设平面BMC的法向量的法向量平面平面APC的法向量的法向量由由得得即即由由即即得得由由解得解得，故，故AM=3。综上所述，存在点综上所述，存在点M符合题意，符合题意，AM=3。方法二：方法二：（II）解：如图，在平面）解：如图，在平面PAB内作内作于于M，连，连CM，由（，由（I）中知）中知，得，得平面平面BMC，又，又平面平面APC，平面平面APC在在在在在在所以所以所以平面所以平面BMC在在又又从而从而PM，所以，所以AM=PA-PM=3。综上所述，存在点综上所述，存在点M符合题意，符合题意，AM=3。