第一节 聚点、内点、边界点第二章 n 维空间中的点集度量空间定义：设X为一非空集合，d : XXR为一映射，且满足 d(x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） d(x,y)=d(y,x) （对称性）则称(X,d)为度量空间. d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）例： Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体), 其中欧氏空间欧氏空间（R R n n , d, d）, ,其中其中离散空间离散空间(X , d)(X , d)，其其中中欧氏空间中各类点的定义接触点、聚点接触点、聚点不一定属于不一定属于E E孤立点一定属于孤立点一定属于E E点P0的邻域：P0为 E的接触点：P0为 E的聚点：P0为 E的孤立点：记 为 E的闭包（接触点全体）记 为 E的导集（聚点全体）欧氏空间中各类点的定义边界点不一定属于边界点不一定属于E E内点一定属于内点一定属于E EP0为 Ec的内点: P0为 E的内点： P0为 E的外点：P0为 E的边界点：记 为 E的内部（内点全体）记 为 E的边界（边界点全体）注：接触点、聚点、边界点不一定属于E， 内点、孤立点一定属于E。例（1）令 E = Q ， 则（2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,则 对一切1/k (k=1,2,3, )均为E的孤立点。接触点、聚点表示它与集合紧挨接触点、聚点表示它与集合紧挨内点表示它周围的点都在集合内内点表示它周围的点都在集合内由定义可知例1 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.证明：由条件知P0 Pn这与（*）矛盾，所以 为无限集。 例2. E中的孤立点集或为有限集或为可数集。 这与（*）式矛盾， 所以是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。证明：设A为孤立点集， ，由孤立点的定义知聚点的等价描述证明： 显然，下证P0 Pn定义：称点列pn 收敛于p0 , 记为：定理1：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得 (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列pn使则上述取出的点列Pn是互异点列,且证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：注：聚点的等价条件的证明中 ，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能保证点列两两互异。P0 Pnp p0 0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得证明定理 4 （Bolzano-Weierstrass）下证P是E的一个聚点.注:1. 凡孤立集合都是有限集合或可数集合.2. 离散集合都是孤立集合；孤立集合不一定是离散集合.