高二数学高二数学 选修选修 2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明2024/7/24孝高 蒋志方12.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :在数学证明中，我们经常从已知条件和某些在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。理导出所要的结论。2.分析法分析法探索求知探索求知从证明的结论出发从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直直至最后至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已知已知,定理定理,定义定义,公理等公理等).这种证明的方法叫做分析法这种证明的方法叫做分析法. （又称倒推证法）（又称倒推证法）执果索因执果索因 注：用注：用Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则分析法可用框图表示为则分析法可用框图表示为: :得到一个明显成立的条件Q P1P1 P2P2 P3证法证法1 1: :对于正数对于正数a, ,b, , 有有证法证法2 2: :要证要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成因为最后一个不等式成立，故结论成立。立，故结论成立。综合法综合法分析法分析法表达简洁表达简洁!目的性强目的性强,易于探索易于探索!【分析法分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式解解: :要证要证只需证只需证展开展开, ,只需证只需证只需证只需证 21252125因为因为 21252125成立成立, ,所以所以 成立成立. .综合法综合法由因导果由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立明的结论成立. (又称顺推证法又称顺推证法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知条件表示已知条件, ,已有的定义已有的定义, ,定理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则综合法可用框图表示为则综合法可用框图表示为: :P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2