5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程15.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构小结小结 思考题思考题 作业作业 二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程举例线性线性(higher-order linear ordinary differential equation)第第5 5章章 微分方程微分方程常数变易法常数变易法 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程2当物体处于静止状态时当物体处于静止状态时, 例例 设有一个设有一个弹簧弹簧, 它的上端固定它的上端固定, 下端挂一个下端挂一个并在平衡位置附近上下并在平衡位置附近上下物体的位置物体的位置x随时间随时间试建立物体位移满试建立物体位移满一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例质量为质量为m的物体的物体.作用在物作用在物方向相反方向相反.体上的重力与弹性力大小相等、体上的重力与弹性力大小相等、这个位置这个位置 就是物体的平衡位置就是物体的平衡位置. 如图所示如图所示.物体具有一个初始速度物体具有一个初始速度如果使如果使那么物体那么物体 便离开平衡位置便离开平衡位置, 振动振动.在振动过程中在振动过程中,t变化变化, 即即x是是 t 的函数的函数. 足的微分方程足的微分方程, 即即x = x(t).解解 (1) 自由振动情况自由振动情况. 物体所受的力为物体所受的力为建建立立坐坐标标系系弹性恢复力弹性恢复力虎克定律虎克定律 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程3据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得则则阻尼自由振动方程阻尼自由振动方程为为阻力阻力(2) 强迫振动情况强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受若物体在运动过程中还受则则铅直外力铅直外力强迫振动方程强迫振动方程为为 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程4求电容器两两极板间电压求电容器两两极板间电压uc所满足的微分方程所满足的微分方程 .例例 联组成的电路联组成的电路, 其中其中R, L, C 为常数为常数 ,电容器电容器由电学知由电学知由回路电压定律由回路电压定律, 得得设有一个电阻设有一个电阻 R, 自感自感L,电容电容 C 和电源和电源 E 串串在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0自感电动势为自感电动势为EL. 设电路中电流为设电路中电流为 i(t),极板上的电荷量为极板上的电荷量为 q(t),两极板间两极板间的电压为的电压为uC , 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程5串联电路的振荡方程为串联电路的振荡方程为如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ), 则得则得故有故有 化为关于化为关于uC的微分方程的微分方程: 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程6二阶二阶二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程微分方程微分方程线性线性微分方程微分方程n阶阶线性线性以上两例方程的以上两例方程的共性共性 可归结为可归结为同一形式同一形式: 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程7定理定理5.15.1证证叠叠加加原原理理一定是通解一定是通解(1)二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构解解1. 二阶二阶齐次线性齐次线性方程解的结构方程解的结构齐次齐次 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程8说明说明不一定不一定是所给二阶齐次是所给二阶齐次如如,是某二阶线性齐次方程的解是某二阶线性齐次方程的解,也是二阶线性齐次方程的解也是二阶线性齐次方程的解 并不是二阶线性齐次方程通解并不是二阶线性齐次方程通解但是但是则则为解决为解决通解通解的判别问题的判别问题, 下面引入函数的线性下面引入函数的线性相关与线性无关概念相关与线性无关概念. 线性方程的通解线性方程的通解.一个任意常数一个任意常数C 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程9线性无关线性无关线性相关线性相关. .否则称否则称 线性无关线性无关. .如如线性相关线性相关内恒等式成立内恒等式成立如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数, 使得当使得当x在该区间在该区间那末称这那末称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数个函数. 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程10如如线性无关线性无关.定理定理5.25.2通解通解为了求为了求只要求它的两个线性无关的特解只要求它的两个线性无关的特解.两个两个线性无关线性无关的特解的特解, 那末那末也是也是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,若在若在I上有上有通解通解.则函数则函数y1(x)与与y2(x)在在I上上如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程(1)的的 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程11推论推论是是n 阶阶齐次线性方程齐次线性方程的的n 个线性无关的解个线性无关的解, 那么那么, 此方程的通解为此方程的通解为其中其中为任意常数为任意常数.定理定理2可推广到可推广到n阶齐次线性方程阶齐次线性方程. 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程122. 二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构定理定理5.35.3 的一个的一个特解特解, 为了求为了求非齐次线性方程的一个特解非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程和对应齐次线性方程只要求得只要求得:的通解的通解.非齐次非齐次(2)非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解, Y 是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解, 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的的通解通解. 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程13已知已知的通解的通解. 又容易验证又容易验证是所给方程的一个特解是所给方程的一个特解.是是非齐次非齐次方程的通解方程的通解.如如是二阶是二阶非齐次非齐次线性方程线性方程.是对应齐次方程是对应齐次方程所以所以 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程14解的叠加原理解的叠加原理定理定理5.45.4函数之和函数之和,的特解的特解, 那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理5.35.3和和定理定理5.45.4也可推广到也可推广到 n 阶非齐次阶非齐次设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端f (x)是几个是几个线性方程线性方程. 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程15 求解求解解解的通解是的通解是再考虑两个方程再考虑两个方程分别是原方程的特解分别是原方程的特解.所以原方程的通解为所以原方程的通解为例例 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程16常数变易法常数变易法 对应对应齐次方程齐次方程的通解的通解 设设非齐次方程非齐次方程的解为的解为 代入原方程确定代入原方程确定u(x). 三、常数变易法三、常数变易法一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程17对二阶线性非齐次方程对二阶线性非齐次方程 情形情形1 1 设设(3)的解为的解为 由于有两个待定函数由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程所以要建立两个方程:(3)(4)已知对应齐次方程通解为已知对应齐次方程通解为 (v1(x), v2(x)待定待定) 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程令令于是于是将以上结果代入方程将以上结果代入方程 (3), 得得(6)故故(5), (6)的系数行列式的系数行列式, y1, y2是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解18(5) 因因y1, y2线性无关线性无关, 可解得可解得, 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程19积分积分, 得得 代入代入(3)的解设中的解设中,说明说明 将将(3)的解设为的解设为 只有一个必须满足的条件即方程只有一个必须满足的条件即方程(3), 因此必需再附因此必需再附 加一加一个条件个条件, 方程方程(5)的引入是为了简化计算的引入是为了简化计算.设设(3)的解为的解为 即得即得非齐次方程的通解非齐次方程的通解 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程20情形情形2 2 仅知仅知(3)的齐次方程的一个非零特解的齐次方程的一个非零特解y1(x). 代入代入 (3)并化简并化简, 得得设其通解为设其通解为 积分得积分得一阶线性方程一阶线性方程由此得原方程由此得原方程(3)的通解为的通解为 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程21例例的通解为的通解为解解 已知齐次方程已知齐次方程积分得积分得故所求通解为故所求通解为将所给方程化为将所给方程化为 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程22例例解解 令令代入非齐次方程并化简代入非齐次方程并化简, 得得将上式两边积分将上式两边积分, 得得于是所求通解为于是所求通解为 两边再积分两边再积分, 得得 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程23线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构四、小结四、小结线性微分方程的概念线性微分方程的概念常数变易法常数变易法 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程24 思考题思考题都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解, 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程25证证齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应结论结论所以所以设设y1, y2是是非齐次非齐次线性方程的两个特解线性方程的两个特解, 则则是是齐次齐次方程的解方程的解. 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程26方程的通解为方程的通解为或或或或因而因而,齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解解解都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,线性无关线性无关.所以所以,因为因为, 5.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程27作作 业业习题习题5.6(1775.6(177页）页）