www.cec.edu.cn第三节 导数的应用三节导数应用Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望2.3.1 函数的单调性 一、引例 二、概念和公式的引出 三、 案例www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 一、引例一、引例 路程与速度的关系路程与速度的关系 若做直线运动的物体的速度 ，则路程 由此可见，函数 单调性与其导数 越来越长. 符号之间存在着必然的联系.的正负www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 函数单调性的判定方法 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， (1) 若 ，则函数 在闭区间 上单调增加； ，则函数 (2) 若 在闭区间 上单调减少.www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 三、案例三、案例 为在 案例案例1 1 石油蕴藏石油蕴藏 假设 年时地球的石油总蕴藏量 （包括未被发现的），假设没有新的石油产生，并且 以桶为 单位计量， 的单位是什么？它有何意义？它的符号为正还是负？为什么？解假设没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源， 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量 是一单调下降函数， www.cec.edu.cn第三节 导数的应用，因为 的单位是桶， t的单位是年，所以 的单位是桶/年.案例案例2 人口增长人口增长 中国的人口总数 （以10亿为单位）在 1993年1995年间可近似地用方程 来计算，其中 是以1993年为起点的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？ 解中国人口总数在19931995年间的增长率 为 因此中国人口总数在19931995年期间是增长的.2.3.2 函数的极值与最值 一、引例 二、概念和公式的引出 三、 案例www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 一、引例一、引例 易拉罐的设计易拉罐的设计如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、 雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是 多少？请你不妨去测量一下。企业常考虑用最低的成本获取最高的利润，在设计易拉罐时， 大饮料公司除考虑外包装的美观之外，还必须考虑在容积一定（一般为250ml）的情况下，所用材料最少（表面积最小）.在实际问题中，常常遇到求“产量最大”. “成本最低”和“效率最高”等www.cec.edu.cn第三节 导数的应用问题，这类问题在数学上就是求函数的最大值和最小值问题，统称为最值问题，它是数学上一类常见的优化问题. www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 1、极值与极值点在点 设函数 的某邻域内取值时有 ， 则称函数 在点 有极大值极大值(或极小值极小值) .函数的极小值统称为极值极值，使函数取得极值的点 称为函数的极值点极值点. 由此可见，极大值与极小值是一个局部概念www.cec.edu.cn第三节 导数的应用观察可以看到:在极值点处或者函数的导数为零（如 ）或者导数不存在（如 ）.今后，称使 的点为函数 的驻点. 结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法. www.cec.edu.cn第三节 导数的应用的某一去心邻域内可导，则： (1) 若当 时， ；当 时， ，那么函数 在 处有极大值； (2) 若当 时， ；当 时， ，那么函数 在 处有极小值. 设函数 在 处连续且在 函数极值的第一判别法函数极值的第一判别法www.cec.edu.cn第三节 导数的应用最大值或最小值在函数的极大（小）值点处达到，或在区上的最值的步骤如下: , ； 第一步 找出方程 的根以及使 不存在的点 从函数的图形可以看出:函数 在闭区间 上的间的端点 处取得.因此，求函数 在或第二步 比较, 的大小,最大者就是函数 在 上的最大值，最小者就是函数 在 上的最小值. www.cec.edu.cn第三节 导数的应用导数最重要的一个应用就是求函数的极值在求解实际问题时,若函数 在定义区间内部只有一个驻点 而最值又存在，则可以根据实际意义直接判定 是所求的最值 www.cec.edu.cn第三节 导数的应用解，得唯一驻点 ，因为此问题的最小值一代入 定存在，故此驻点即为最小值点，将,得 ，即：故当易拉罐的容积一定（如为250ml）时，当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少.假设体积一定（为常量），则 ，代入 ， www.cec.edu.cn第三节 导数的应用案例案例1 发动机的效率发动机的效率 一汽车厂家正在测试新开发的汽车 的发动机的效率，发动机的效率 （%）与汽车的速度 (单位：km/h)之间的关系为 问发动机的最大效率是多少？解求发动机的最大效率 ，即求函数 的最大值先求极值点. 三、案例三、案例 www.cec.edu.cn第三节 导数的应用令 ，得 (单位：km/h) .由实际问题知，此时 发动机的效率最大，最大效率为(% ) www.cec.edu.cn第三节 导数的应用案例案例2 2 油管铺设油管铺设 要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送到 石油罐装点（图2.3.5）炼油厂附近有条宽 2.5公里的河， 罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10公里处如果在水中铺设管道 的费用为6万元/公里，在河边铺设管道的费用为4万元/公里. 试在河边找一点 ，使管道铺设费最低.解设 点距炼油厂的距离为 图2.3.5管道铺设费为 由题意有ywww.cec.edu.cn第三节 导数的应用令 ，得驻点 ，舍去大于10的驻点，由实际问题知， 最小值点为 公里，最低的管道铺设费为 万元. www.cec.edu.cn第三节 导数的应用 案例案例3 最大输出功率最大输出功率 设在电路中，电源电动势为E，内阻为 r,（E，r均为常量），问负载电阻R多大时，输出功率P最大？解消耗在电阻 上的功率 ，其中 是回路中的电流， 由欧姆定律知 ，所以 要使 最大 应使 ，即www.cec.edu.cn第三节 导数的应用得此时， 由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在 内部取得，所以必在 的唯一驻点 处取得. 因此，时，输出功率最大为 当