数学建模讲义数学建模讲义 利用微分、差分方程建立数学模型利用微分、差分方程建立数学模型利用微分、差分方程建立数学模型利用微分、差分方程建立数学模型重庆大学数理学院重庆大学数理学院微分、差分方程简介微分、差分方程简介第一部分第一部分 1.1 现实中的微分问题现实中的微分问题 热得快还是冷得快？当一次谋杀发生之后，法热得快还是冷得快？当一次谋杀发生之后，法医可以根据尸体的温度来确定死亡时间。此法是否医可以根据尸体的温度来确定死亡时间。此法是否客观，有何科学依据？牛顿加热及冷却定律适合于客观，有何科学依据？牛顿加热及冷却定律适合于此吗？此吗？ 人口的增长有多快？公司的净资产变化有多快？人口的增长有多快？公司的净资产变化有多快？飞行员跳伞的降落速度有多快？江湖河流的污染飞行员跳伞的降落速度有多快？江湖河流的污染变化有多快？等等。这些问题都涉及一个变化的变化有多快？等等。这些问题都涉及一个变化的速度问题，并且一般不是恒速，而是变速问题。速度问题，并且一般不是恒速，而是变速问题。并且依赖于众多因素，因此难以给出简单的答案。并且依赖于众多因素，因此难以给出简单的答案。 事实上，速度就是变化率、导数或者微商，这事实上，速度就是变化率、导数或者微商，这正是所谓的微分问题分析和解决这些微分问题正是所谓的微分问题分析和解决这些微分问题的第一步就是根据物理的、非物理的原理或规的第一步就是根据物理的、非物理的原理或规律，作出适当的假设，并建立反映或近似反映律，作出适当的假设，并建立反映或近似反映该微分问题的微分方程模型。该微分问题的微分方程模型。 1.2 微分方程分类微分方程分类 常见的微分方程模型有：线性和非线性常见的微分方程模型有：线性和非线性的、常系数和变系数的、有解析表达式和无解的、常系数和变系数的、有解析表达式和无解析表达式的、方程和方程组的情形等等。析表达式的、方程和方程组的情形等等。1.3 微分方程的解析解微分方程的解析解 一般来说，微分方程的求解是十分困难的一般来说，微分方程的求解是十分困难的,只有一些特殊的微分方程可以求得解析解只有一些特殊的微分方程可以求得解析解.大大家可以参阅家可以参阅或或等教材等教材.1.4 微分方程的数值解微分方程的数值解 数值解法能够得出解在若干个点处的近似结果数值解法能够得出解在若干个点处的近似结果,即一张离散的函数表即一张离散的函数表.例如例如,考虑一阶方程考虑一阶方程: y=f(x,y), y|x=x0 =y0在一定条件下在一定条件下,其精确解存在且唯一其精确解存在且唯一,记为记为y(x). 首先首先,取一系列的点取一系列的点x0x1xnxn+1 rK/4 时, dN/dt 0, h rK/4时,方程(1)有两个平衡点N1,N2此时模型写成 dN/dt = - r(N N1)(N N2)/KN1=(K - K -4Kh/r ) 2 , N2=(K + K -4Kh/r ) 2于是当N N1时,dN/dt 0; 当N1 N 0; 当N N2时,dN/dt 0 可见,N=N2是稳定的.又由N1的表达式知,h越小,N1越小,所以要用小收获率h开发低密度的种群,反之亦然.故收获率与种群密度有关.