第四篇三角函数、解三角形第四篇三角函数、解三角形( (必修必修4 4、必修必修5)5)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布高考考点、示例分布图命命题特点特点1.1.从高考从高考题型、型、题量来看量来看, ,一般有两种方式一般有两种方式: :三个小三个小题或一个小或一个小题另加一个解答另加一个解答题, ,分分值上大上大约占占1717分左右分左右. .2.2.客客观题主要考主要考查: :三角函数的定三角函数的定义, ,图象象与性与性质, ,同角三角函数关系同角三角函数关系, ,诱导公式公式, ,和、和、差、倍角公式差、倍角公式, ,正、余弦定理等知正、余弦定理等知识. .3.3.难度度较大的客大的客观题, ,主要在知主要在知识点的交点的交汇处命制命制, ,如向量与三角的如向量与三角的结合、正、余弦定合、正、余弦定理与三角恒等理与三角恒等变换的的结合等合等, ,主要考主要考查数形数形结合、合、转化与化化与化归思想思想. .4.4.解答解答题涉及知涉及知识点点较为综合合. .在一个解答在一个解答题中涉及三角函数中涉及三角函数图象与性象与性质、三角恒等、三角恒等变换与解三角形知与解三角形知识较为常常见. .第第1 1节任意角和弧度制及任意角的三节任意角和弧度制及任意角的三角函数角函数知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.相等角的终边一定相同相等角的终边一定相同, ,终边相同的角一定相等吗终边相同的角一定相等吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,因为终边相同的角有无数个因为终边相同的角有无数个, ,它们之间相差它们之间相差360360的整数倍的整数倍. .2.2.若已知角若已知角终边上任意一点终边上任意一点P(x,y)(P(x,y)(原点除外原点除外),),你能用你能用x,yx,y表示角表示角的的正弦、余弦、正切吗正弦、余弦、正切吗? ?知识梳理知识梳理 1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)角的形成角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置到另一个位置所成的所成的 . .旋转旋转图形图形(3)(3)所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内在内, ,可构成一个集合可构成一个集合:S=:S=|= |= 或或|=+2k,k|=+2k,kZ Z.+k+k360,k360,kZ Z2.2.弧度制弧度制(1)(1)定义定义长度等于长度等于 的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. .弧度记作弧度记作rad.rad.(2)(2)公式公式半径长半径长(3)(3)规定规定正角的弧度数是一个正角的弧度数是一个 , ,负角的弧度数是一个负角的弧度数是一个 , ,零角的弧度数是零角的弧度数是0.0.正数正数负数负数(2)(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正一全正, ,二正弦二正弦, ,三正切三正切, ,四余弦四余弦. .(3)(3)几何表示几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正弦线的起点都在正弦线的起点都在x x轴上轴上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点都是正切线的起点都是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图中有向线段MPMP、OMOM、ATAT分别叫做角分别叫做角的的 、余弦线、余弦线、 . .正弦线正弦线正切线正切线(4)(4)终边相同的角的三角函数终边相同的角的三角函数: :sin(+ksin(+k2)=2)= , ,cos(+kcos(+k2)=2)= , ,tan(+ktan(+k2)=2)= ( (其中其中kkZ Z),),即终边相同的角的同一三角函数的值相等即终边相同的角的同一三角函数的值相等. .sin sin cos cos tan tan 夯基自测夯基自测B B D D 3.3.若若sin 0,sin 0,tan 0,则则是是( ( ) )(A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角解析解析: :由由sin 0sin 0tan 0知知的终边在第一或第三象限的终边在第一或第三象限, ,故故是第三象限角是第三象限角. .C C 4.4.若若与与的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称, ,则有则有( ( ) )(A)+=90(A)+=90(B)+=90+k(B)+=90+k360,k360,kZ Z(C)+=2k(C)+=2k180,k180,kZ Z(D)+=180+k(D)+=180+k360,k360,kZ Z解析解析: :因为因为与与的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称, ,所以所以=2k=2k180-,k180-,kZ Z. .C C 5.5.弧长为弧长为3,3,圆心角为圆心角为135135的扇形半径为的扇形半径为, ,面积为面积为. .答案答案: :4 466考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角答案答案: :(1)B(1)B答案答案: : (2) (2)一、三、四一、三、四反思归纳反思归纳 (1)(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, ,方法方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合, ,然后通过对集合中的参数然后通过对集合中的参数k k赋值来求得所需的角赋值来求得所需的角. .(2)(2)利用终边相同的角的集合利用终边相同的角的集合S=|=2k+,kS=|=2k+,kZ Z 判断一个角判断一个角所在所在的象限时的象限时, ,只需把这个角写成只需把这个角写成0,2)0,2)范围内的一个角范围内的一个角与与22的整数倍的的整数倍的和和, ,然后判断角然后判断角的象限的象限. .考点二考点二弧度制及扇形面积公式的应用弧度制及扇形面积公式的应用【例例2 2】 已知一扇形的圆心角为已知一扇形的圆心角为(0),(0),所在圆的半径为所在圆的半径为R.R.(1)(1)若若=60,R=10 cm,=60,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; ;(2)(2)若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C(C0),C(C0),当当为多少弧度时为多少弧度时, ,该扇形有最大面积该扇形有最大面积? ?反思归纳反思归纳 【即时训练即时训练】 (2015 (2015莆田模拟莆田模拟) )已知扇形的面积为已知扇形的面积为2,2,扇形圆心角的弧度扇形圆心角的弧度数是数是4,4,则扇形的周长为则扇形的周长为( () )(A)2(A)2(B)4(B)4(C)6(C)6(D)8(D)8三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用考点三考点三 【例例3 3】 (1)(2016 (1)(2016汉中模拟汉中模拟) )已知角已知角的终边经过点的终边经过点(3a-9,a+2),(3a-9,a+2),且且coscos0,sin 0,0,sin 0,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )(A)(-2,3 (B)(-2,3)(A)(-2,3 (B)(-2,3) (C)-2,3) (C)-2,3) (D)-2,3 (D)-2,3答案答案: :(1)A(1)A(2)(2015(2)(2015济南质检济南质检) )已知角已知角终边经过点终边经过点P(2sin 2,-2cos 2),P(2sin 2,-2cos 2),则则sin =sin = . .答案答案: : (2)-cos 2 (2)-cos 2反思归纳反思归纳 (1) (1)三角函数定义中的关键是求三角函数定义中的关键是求r,r,若终边上的点同时若终边上的点同时在单位圆上在单位圆上, ,则则r=1.r=1.(2)(2)根据三角函数定义中根据三角函数定义中x,yx,y的符号来确定各象限三角函数的符号的符号来确定各象限三角函数的符号, ,理理解并记忆解并记忆: :“一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦”. . sin 2cos 3tan 4 sin 2cos 3tan 4的的值( () )(A)(A)小于小于0 0(B)(B)大于大于0 0(C)(C)等于等于0 0(D)(D)不存在不存在解析解析: :因为因为sin 20,cos 30,sin 20,cos 30,所以所以sin 2sin 2cos 3cos 3tan 40.tan 40.故选故选A.A.【即时训练即时训练】备选例题备选例题 【例例1 1】 已知锐角已知锐角的终边上一点的终边上一点P(sin 40,1+cos 40),P(sin 40,1+cos 40),则锐角则锐角等于等于( () )(A)80(A)80(B)70(B)70(C)20(C)20(D)10(D)10答案答案: : 【例例4 4】 (2015 (2015临沂模拟临沂模拟) )顶点在原点顶点在原点, ,始边在始边在x x轴的正半轴上的角轴的正半轴上的角,的终边与圆心在原点的单位圆交于的终边与圆心在原点的单位圆交于A,BA,B两点两点, ,若若=30,=60,=30,=60,则弦则弦ABAB的长为的长为. .易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼利用定义求三角函数值的误区利用定义求三角函数值的误区【典例典例】 (2015(2015杭州模拟杭州模拟) )已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上上, ,则则5sin 5sin +5cos +4tan =+5cos +4tan =. .答案答案: :-2-2或或-4-4易错提醒易错提醒: : (1)(1)本题在求解时容易忽略本题在求解时容易忽略r=5|t|,r=5|t|,直接写成直接写成5t,5t,导致丢失导致丢失答案答案. .(2)(2)利用三角函数的定义求角的三角函数值的关键点是确定出终边上利用三角函数的定义求角的三角函数值的关键点是确定出终边上点点P P的横、纵坐标及的横、纵坐标及P P点到原点的距离点到原点的距离. .(3)(3)角的终边是射线而直线是向两边延伸角的终边是射线而直线是向两边延伸, ,所以角的终边落在直线上所以角的终边落在直线上, ,位置应有两种位置应有两种. .解题中易误认为一种情况而出错解题中易误认为一种情况而出错. .