梳理抛物线焦点弦的有关结论梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点知识点 1 1：若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。设Ax1, y1,p2Bx2, y2，则（1）x1x2； （2）y1y2 p24证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，p2p依题意x1 x2,x1x242yxoFABp 若AB的斜率存在时，设为k,则AB : y kx ，与y2 2px联立，得2pk2p22222k x 2px k x k 2 px 0242p2p2x1x2.综上：x1x2.44yy22（2）x11,x22， y1y2 p4 y1y2 p2,2p2p但y1y2 0, y1y2 p2（2）另证：设AB : x my p与y2 2px联立，得222y2 2pmy p2 0, y1y2 p2知识点知识点 2 2：若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。设Ax1, y1,Bx2, y2， 则 （1）AB x1 x2 p（设直线AB的倾斜角为， 则AB ;2）证明： （1）由抛物线的定义知ppAF x1, BF x2,222p。sin2yoFA AB AF BF x1 x2 p（2）若 900,则x1 x2p2p,由（1）知AB 2p 2sin2Bp 若 900,设AB : y kx ,与y2 2px联立，得21pk2p2222k x 2px k x k 2 px 02422p k2 22p k21x1 x2, AB x1 x2 p ，而k tan，k2k22p1 tan22p AB 22tansin知识点知识点 3 3： 若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦， 则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。y证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为AA1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,设以AB为直径的圆的半径为r,2r AB AF BF AA1 BB1 2MN MN r.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。oFB知识点知识点 4 4： 若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦。 过点A、B分别yA0向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,则A1FB1 90。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明oFB知识点知识点 5 5：若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则AKF BKF.y证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1.A AA1/ KF / BB1A KAF1而AF A1A,BF B1BB1KFBKoFBA1KA1AA KB K11，而AA1K BB1K 900B1KB1BA1AB1BAA1KBB1KA1KA B1KB2AKF BKF知识点知识点 6 6：若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC/OF.y证明：设Ax1, y1, Bx2, y2，则Apy1pyAB: y 1x,C,x122x1y1py1pp2 yC 22x1y1y212poFCBp2 y2BC/OF由知识点 1 知y1y2 p yC 2py22逆定理： 若AB是过抛物线y2 2pxp 0的焦点F的弦， 过点B作BC/OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。证明略知知 识识 点点 7 7 ： 若AB是 过 抛 物 线y2 2pxp 0的 焦 点F的 弦 ， 设yAAF m, BF n,则112.mnpoF证法： （1）若AB x轴，则AB为通径，而AB 2p,m n p112.mnpB（2）若AB与x轴不垂直，设Ax1, y1, Bx2, y2，AB的斜率为k，则p l : y kx 222与y2 2px联立，得pk2p2222k x 2px k x k 2 px 0243p k2 2p2x1 x2,x1x2.24k由抛物线的定义知m AF x1pp,n BF x22211m nmnmnx1 x2 p2ppp2x1x2x1 x224知知 识识 点点 8 8 ： 已 知 抛 物 线y2 2pxp 0中 ，AB为 其 过 焦 点F的 弦 ，AF m, BF n,则SAOBp24nmmnyAF证明：设AFx ,则SAOB SAOF SBOFoB1p1pmsinsin2222pm nsin4ppp2p2而m ,n ,mn ,sin21cos1cosmnsinSAOBpp2p2nm.m n4mn4mn逆定理：逆定理：已知抛物线y2 2pxp 0中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若AM m, BM n,且SAOBp24nm,则弦AB过焦点。mn证明：设Ax1, y1, Bx2, y2，AMx ,Mt,0，则111SAOB SAOM SBOM=tmsintnsinm ntsin222而siny1m,siny2n,sin2 y1y2mn4sin y1y2mnSAOB1m nt y1y21m nt y1y22mn2mnnp2m1m np2mn2mn2t y1y22而SAOBp24l : x ay t2又可设2 y 2pay 2pt 0y1y2 2pty 2px由得t p2 p AB恒过焦点,02例 1、过抛物线y2 4x的焦点做直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2, y2)两点，如果x1 x2 6，那么AB 8变式：变式：过抛物线y2 4x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB 8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是 2例 2、直线l经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果AB a，Q为AB的中点，则QF a（用a表示）2变式：变式：直线l经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果AR a, BF b，Q为AB的中点，a2b2则QF （用a,b表示）2例 3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y2 4x于A,B两点，OAOB -35例 4、过抛物线y2 ax(a 0)的焦点F作一直线AAy(x(x1 1,y ,y1 1) )交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别114是p,q，则pqa(x(x2 2,y ,y2 2) )xBB小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.6