二次函数的图像和性质衡水市景县连镇王克义衡水市景县连镇王克义衡水市景县连镇王克义衡水市景县连镇王克义创设情境，导入新课 上上面面的的图图片片都都是是二二次次函函数数的的图图片片，与我们生活密切相关与我们生活密切相关 你你们们喜喜欢欢篮篮球球吗吗？：投投篮篮时时，篮篮球球运运动动的的路路线线是是什什么么曲曲线线？怎怎样样计计算算篮篮球球达达到到最最高高点点时的高度？时的高度？今天让我们来研究一下二次函数的图像和性质吧一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)的函的函数数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x是自变量是自变量,a,b,c分别是函数分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数二次函数: : 下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1) y=3x-l (2) y=2x (3) y=x+6 (4) y=-3x-2x+4（1）一次函数的图象是一条）一次函数的图象是一条_，(2) 通常怎样画一个函数的图象？通常怎样画一个函数的图象？直线直线列表、描点、连线列表、描点、连线(3) 二次函数的图象是什么形二次函数的图象是什么形 状呢状呢？从最简单的二从最简单的二次函数开始！次函数开始！ 2 224644822.1.222.1.2二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点( (x,yx,y),),再用平滑曲线再用平滑曲线顺次连接各点顺次连接各点, ,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像. .y=xy=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=-xy=-x2 2请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解:(1) :(1) 列表列表 -9-9 -4-4 -1-10 0-1-1 -4-4-9-9 (2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺次连接再用平滑曲线顺次连接各点各点, ,就得到就得到y=-xy=-x2 2的图的图像像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像都的图像都是一条曲线是一条曲线, ,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线在空中所经过的路线. .这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线. .y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2. . 实际上实际上, ,二次函数二次函数的图像都是抛物线的图像都是抛物线. .它们的它们的开口向上开口向上或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 还可以看出还可以看出, ,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像的图像都是轴对称图形都是轴对称图形,y,y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴. .抛物线与对称轴的交点抛物线与对称轴的交点(0,0)(0,0)叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点. .抛物线抛物线y=xy=x2 2的顶点的顶点(0,0)(0,0)是它的最低点是它的最低点. .抛物线抛物线y=y=x x2 2的顶点的顶点(0,0)(0,0)是它的最高点是它的最高点. .y=xy=x2 2y=y=x x2 2对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴、顶点、最低点、最高点这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称，轴对称，y轴就轴就 是它的是它的对称轴对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的抛物线的顶点顶点. 抛物线抛物线 y=x2在在x轴上方轴上方(除顶点外除顶点外)，顶点是它的，顶点是它的最最低点低点，开口向上，并且向上，开口向上，并且向上无限伸展无限伸展; 当当x=0时时,函数函数 y的值最小，的值最小，最小值是最小值是0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . y抛物线抛物线 y= -x2在在x轴下方轴下方(除顶点外除顶点外)，顶点，顶点是它的是它的最高点最高点，开口向下，并且向下无限伸展，开口向下，并且向下无限伸展，当当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 例例3. .在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的图象，的图象，有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?探究探究22246448相同点：相同点：开口都向下，顶开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是最高点，对称轴是 y 轴轴.相同点相同点不同点不同点不同点不同点：|a|越大，抛物越大，抛物线的开口越小线的开口越小1 1、函数、函数y=2xy=2x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴 , ,顶点是顶点是 ; ; 2 2、函数、函数y=y=3x3x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴 , ,顶点是顶点是 ; ;向上向上向下向下y轴轴y轴轴(0,0)(0,0) 3 3、已知抛物线已知抛物线y yaxax2 2经过点经过点A(-2A(-2，-8). -8). (1) (1) 求此抛物线的函数解析式求此抛物线的函数解析式（2 2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向； （3 3）判断点（）判断点（-1-1，-4-4）是否在此抛物线上；）是否在此抛物线上；解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析式为所求函数解析式为y= -2x2.（2）对称轴：）对称轴：y轴，顶点坐标：（轴，顶点坐标：（0,0），开口向下），开口向下.（3）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。1. 1. 二次函数的图像都是什么图形？二次函数的图像都是什么图形？2. 2. 抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质: : (2)(2)当当a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 xyo（3 3）抛物线的增减性抛物线的增减性结束寄语生活是数学的源泉生活是数学的源泉. .下课了!探索是数学的生命线探索是数学的生命线. .