第一章第一章 行列式行列式本章我本章我们将将讨论：1方程个数和未知数个数相同方程个数和未知数个数相同，且，且系数系数满足特定条件足特定条件的的线性方程性方程组的求的求解，从而得到行列式解，从而得到行列式这个工具个工具.1 1. . 引言引言2. 排列排列3. n 阶行列式行列式5. 行列式的行列式的计算算6. 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7. Cramer 法法则行列式概念的形成行列式概念的形成行列式的性行列式的性质及及计算方法算方法利用行列式求解利用行列式求解线性方程性方程组4. n级行列式的性行列式的性质第一章第一章 行列式行列式2本次课的内容本次课的内容 引言引言 排列排列 n阶行列式行列式3从最从最简单的二元的二元线性方程性方程组出出发，探索其解的，探索其解的规律律 一、一、 引言引言用高斯消元法，先求用高斯消元法，先求x1：4求求 解解5再求再求 x2方程方程组有唯一解有唯一解6 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？1、分母相同，由方程、分母相同，由方程组的四个系数确定的四个系数确定.2、分子分母都是两数乘、分子分母都是两数乘积之差之差.7 由四个数排成二行二列（横排称行、由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表排称列）的数表数数称称为数表（数表（4）所）所确确定的定的二二阶行列式行列式, 记为用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差二阶行列式定义二阶行列式定义8主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二二阶行列式的行列式的计算算行列式中的相关行列式中的相关术语 行列式的元素、行、列、主行列式的元素、行、列、主对角角线、副、副对角角线 对角角线法法则 二二阶行列式是主行列式是主对角角线上两元素之上两元素之积减去副减去副对角角线上二元素之上二元素之积所得的差所得的差 9系数行列式系数行列式10于是于是方程方程组有唯一解有唯一解11例例1 1解解解解12二、三阶行列式二、三阶行列式进行高斯消元可以得到：行高斯消元可以得到：其中其中131415三阶行列式三阶行列式定定义 设有有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原原则：横行：横行竖列列引引进记号号称称为三三阶行列式行列式. .主主对角角线 副副对角角线 二二阶行列式的行列式的对角角线法法则并不适用！并不适用！16观察二阶行列式观察二阶行列式 不同行不同列不同行不同列2个元素的乘个元素的乘积； 1项为正正,1项为负。 2！项的代数和；的代数和；171.2-全排列及其逆序数全排列及其逆序数 采用先采用先选定百位数定百位数 再再选定十位数定十位数 最后最后选定个位数的步定个位数的步骤 引引例例 用用1、2、3三三个个数数字字 可可以以组成成多多少少个个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？ 解解 百位数有百位数有3种种选法法 十位十位数有数有2种种选法法 个位数有个位数有1种种选法法 因因为3 2 1 6 所以可所以可组成成6个没有重复数字的三位数个没有重复数字的三位数321 这6个三位数是个三位数是123 132 231 213 312 18定定义1 由由1, 2，n 组成的一个有序数成的一个有序数组称称 为一个一个 n 级排列。排列。 n级排列的排列的总数数 通常用通常用Pn表示表示 19例子：例子：2314是一个是一个4级排列；排列； 13245是一个是一个5级排列。排列。Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n! 20例：例： 12345、 51234、53214都是数都是数1，2，3，4，5 的排列。的排列。自然排列自然排列：按数的大小按数的大小顺序，由小到大排列。序，由小到大排列。注意：注意： n 级排列中，自然排列只有一种排列中，自然排列只有一种除此之外，任一除此之外，任一 n 元排列都一定出元排列都一定出现较大大数数码排在排在较小数小数码之前的情况。之前的情况。定定义2 在一个排列中，如果一在一个排列中，如果一对数的前后位置数的前后位置 与大小与大小顺序相反，即前面的数大于后面序相反，即前面的数大于后面 的数，那么它的数，那么它们就称就称为一个一个逆序逆序。一个排列中的所有逆序的一个排列中的所有逆序的总数数叫做叫做这个个排列的排列的逆序数逆序数.21逆序数逆序数为 95 4 2 3 1例例: 排列排列 54231排列排列的逆序数的逆序数记为 例如排列例如排列 542315后面比后面比5小的数有小的数有4个；个；4后面比后面比4小的数有小的数有3个；个；2后面比后面比2小的数有小的数有1个；个；3后面比后面比3小的数有小的数有1个；个；1后面比后面比1小的数有小的数有0个个.t=4+3+1+1+0=95 4 2 3 122逆序数的算法：逆序数的算法： 例如排列例如排列 542311前面比前面比1大的数有大的数有4个个.3前面比前面比3大的数有大的数有2个；个；2前面比前面比2大的数有大的数有2个；个；4前面比前面比4大的数有大的数有1个；个；5前面比前面比5大的数有大的数有0个；个；t=4+2+2+1+0=95 4 2 3 123另一算法：另一算法：法法1：法法2：24计算排列的逆序数的方法：算排列的逆序数的方法：25例例1： 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数。解：解： （法（法1）（法（法2）例例2： 求排列求排列 453162的逆序数。的逆序数。定定义3 逆序数逆序数为奇数的排列叫做奇数的排列叫做奇排列奇排列；逆序数逆序数为偶数的排列叫做偶数的排列叫做偶排列偶排列.26排列排列 32514 是奇排列；是奇排列；排列排列 435162的逆序数是的逆序数是8，是偶排列。，是偶排列。排列排列 12 n的逆序数是的逆序数是0，是偶排列。，是偶排列。定定义4 把一个排列中某两个数的位置互把一个排列中某两个数的位置互换，而，而 其余的数不其余的数不动，就得到另一个排列。，就得到另一个排列。这 样一个一个变换称称为一个一个对换。排列排列2431对换1, 2排列排列1432排列排列24531对换2, 3排列排列34521逆序数逆序数4逆序数逆序数3逆序数逆序数5逆序数逆序数6定理定理 1 对换改改变排列的奇偶性。排列的奇偶性。27排列排列1432逆序数逆序数0对换2, 4排列排列1234逆序数逆序数3排列排列2431对换1, 2排列排列1432排列排列25431对换1, 2排列排列15432逆序数逆序数4逆序数逆序数0逆序数逆序数7对换2, 4排列排列1234对换2, 5排列排列12435对换3,4排列排列12345逆序数逆序数3逆序数逆序数5逆序数逆序数1逆序数逆序数0定理定理2 任意一个任意一个n 级排列与排列排列与排列12n都可以都可以经过一系列一系列对换互互变，并且所做，并且所做对换的个数与的个数与这个排列有相同的奇偶性。个排列有相同的奇偶性。28观察二阶行列式观察二阶行列式 不同行不同列不同行不同列2个元素的乘个元素的乘积； 1项为正正,1项为负。 2！项的代数和；的代数和；29观察二阶行列式观察二阶行列式当行当行标调成成标准排列准排列时列列标排列排列逆序数逆序数t1 22 10+-130三三阶行列式行列式3!项代数和代数和不同行不同列三个元素的乘不同行不同列三个元素的乘积三三项为正正,三三项为负.31三三阶行列式行列式当行当行标调成成标准排列准排列时列列标排列排列逆序数逆序数t1230+2312+3122+3213-2131-1321-32所以，三所以，三阶行列式可以写成行列式可以写成 其中其中 表示表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. . 二二阶行列式有行列式有类似似规律律. .下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. . 331.3 n 阶行列式定义阶行列式定义将将n2个数排成个数排成n行行n列的数表，列的数表，341. n 阶行列式共有行列式共有 n! 项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成 （正（正负号除外），其中号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号. . 1.3 n 阶行列式定义阶行列式定义称称为n阶行列式行列式, 其中其中t为列列标排列的逆序数。排列的逆序数。即即35说明说明1 1 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要的需要而定而定义的的; ;3 一一阶行列式行列式 不要与不要与绝对值记号相混淆号相混淆.2 行列式的行列式的计算算结果是一个数果是一个数;36思考思考题： 成立成立吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成若理解成绝对值，则 ；若理解成一若理解成一阶行列式，行列式，则 . .注意：注意：当当n = 1时，一，一阶行列式行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的的记号相混淆号相混淆. 例如：一例如：一阶行列式行列式 . a14a23a31a44a14a23a31a44a14a23a31a42 a14a23a31a42例如，四例如，四阶行列式行列式a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 ( 1)ta14a23a31a42为行列式中的一行列式中的一项. 表示的代数和中有表示的代数和中有4! 24项. a14a23a31a42 取自不同行不同列取自不同行不同列, 的列的列标排列排列为4312所以它不是行列式中的一所以它不是行列式中的一项. .中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，注意注意: : 对角角线法法则只适只适用于二用于二阶与与三三阶行列式行列式( (为奇排列奇排列) )，38主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二二阶行列式的行列式的计算算行列式中的相关行列式中的相关术语 行列式的元素、行、列、主行列式的元素、行、列、主对角角线、副、副对角角线 对角角线法法则 二二阶行列式是主行列式是主对角角线上两元素之上两元素之积减去副减去副对角角线上二元素之上二元素之积所得的差所得的差 39三三阶行列式的行列式的计算算 对角角线法法则 注意：注意：对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式. . 实线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠正号，冠正号， 虚虚线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠冠负号号. .40例例2 计算行列式算行列式 解解按按对角角线法法则，有，有41例：例：写出四写出四阶行列式中含有因子行列式中含有因子 的的项. . 解：解：和和42例：例：计算行列式算行列式43解：解：其中其中 4445四个四个结论：(1) (1) 对角行列式角行列式 (2)(2)反反对角行列式角行列式 46(3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主（主对角角线下下侧元素都元素都为0 0）(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主（主对角角线上上侧元素都元素都为0 0）4749定理定理2 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定行列式也可定义为 1 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结502 排列的奇偶性定排列的奇偶性定义 对换改改变排列的奇偶性。排列的奇偶性。