1.2 1.2 1 1、了解能带的产生原因、了解能带的产生原因2 2、理解导体、半导体、绝缘体导电性差、理解导体、半导体、绝缘体导电性差别的原因别的原因能带理论1.2 能带理论能带理论 材料中原子、分子、离子的不同排列方式材料中原子、分子、离子的不同排列方式, 材料的内部材料的内部出出现不同形式的不同形式的势场，使不同材料中，使不同材料中电子表子表现出不同的出不同的运运动状状态。能能带理理论: 关于材料中关于材料中电子运子运动规律的一种量子力学理律的一种量子力学理论。能能带理理论是在量子力学研究金属是在量子力学研究金属导电理理论的基的基础上上发展起来的，基于展起来的，基于晶体晶体结构的平移构的平移对称性称性，考，考虑离子离子实势场对电子的影响而建立。它的成功之子的影响而建立。它的成功之处在于定性地在于定性地阐明了明了晶体中的晶体中的电子运子运动的的规律律。能带理论一、能带理论的一般性介绍一、能带理论的一般性介绍在在固固体体中中存存在在着着大大量量的的电子子，它它们的的运运动都都是是互互相相关关联的的，每每个个电子子运运动都都要要受受到到其其他他电子子运运动的的牵连，因因此此要要想想严格格求求解解多多电子子系系统（NZ个个)几几乎乎不不可可能能。所所以以能能带理理论是是一一个个近近似似理理论，它它采采用用单电子子近近似似的方法来的方法来处理复理复杂的多的多电子子问题。1、单电子近似子近似 把每个把每个电子的运子的运动看成是独立的在一个看成是独立的在一个等效等效势场中运中运动。2、等效等效势场(equivalent potential field) 在在原原子子结合合成成固固体体的的过程程中中，变化化最最大大的的是是价价电子子，而而内内电子子的的变化化较小小，所所以以可可以以把把原原子子核核和和内内层电子子看看成成是是一一个个离离子子实（固固定定在在瞬瞬时位位置）置）与与价价电子子构成的等效构成的等效势场。 把把电子的运子的运动和离子和离子实的运的运动分开分开能带理论3、周期性势场、周期性势场 (periodicity potential field) 晶体中原子排列具有周期性，那么晶体中的势晶体中原子排列具有周期性，那么晶体中的势场也具有周期性，称为场也具有周期性，称为周期性势场周期性势场 周期性势场的特点周期性势场的特点：1)能带理论的出发点是固体中的电子不在束缚于个别的原子能带理论的出发点是固体中的电子不在束缚于个别的原子,而是在整个固体内运动而是在整个固体内运动,称为称为共有化电子共有化电子。2)在讨论共有化电子的运动状态时在讨论共有化电子的运动状态时,假定原子实处在平衡位置假定原子实处在平衡位置,而把原子实偏离平衡位置的影响看成而把原子实偏离平衡位置的影响看成微微 扰扰 perturbation能带理论根据对周期势的不同处理方法，能带理论主要有根据对周期势的不同处理方法，能带理论主要有3种种理论：理论：1）近自由电子近似）近自由电子近似 考虑电子与晶格的正离子作用相当微弱，将势场考虑电子与晶格的正离子作用相当微弱，将势场对电子的作用视为对电子的作用视为微扰微扰。2）赝势法）赝势法 造一个有效势造一个有效势3）紧束缚近似）紧束缚近似 原子轨道线性组合法原子轨道线性组合法能带理论二、二、 近自由电子近似的一维模型近自由电子近似的一维模型电子子在在周周期期性性点点阵中中运运动，受受到到弱弱的的原原子子实势场的的散散射射，这个个模模型型称称为近近自自由由电子子模模型型。近近自自由由电子子模模型型是是当当晶晶格格周周期期性性势场起起伏伏很很小小，从从而而使使电子子的的行行为很很接接近近自自由由电子子时，可可以以采采取取微微扰处理理方方法法。一一些些简单金金属属 NaNa、K K、Al Al 等等可可用用此模型。此模型。一、一一、一维周期周期势场中中电子运子运动的近自由的近自由电子近似子近似晶晶体体势场 V V ( (x x) ) 具具有有周周期期性性，那那么么它它的的平平面面波波也也具具有有周周期性期性。能带理论一一维周期周期势场 考察由考察由N个间距个间距a的正离子的正离子周期性排列所形成的一维晶体周期性排列所形成的一维晶体点阵，其势能如图所示，看到晶体点阵具有相同的周期性。点阵，其势能如图所示，看到晶体点阵具有相同的周期性。 图1 1 一一维周期周期势场 能带理论E2E3E5E4E6E7E10E图图 2 E k 曲线的表达图式曲线的表达图式能带理论l在在弱弱周周期期势场的的作作用用下下，原原来来简并并的的能能级，一一个个升升高高 Vn ，一一个个降降低低了了 Vn ，二二者者之之间能能量量差差为 ，Vn 是周期是周期势场的傅里叶展开式中的第的傅里叶展开式中的第 n 个分量。个分量。l原原来来自自由由电子子的的连续能能谱，在在晶晶格格的的周周期期势场的的作作用用下下，分分裂裂成成为被被能能隙隙分分开开的的许多多能能带（产生生了了能能级分分裂裂），能能隙隙的的大大小小等等于于周周期期势场的的傅傅里里叶叶分分量量 Vn 的的 2 倍倍；中中间断断开开 Eg称称为禁禁带 (Forbidden band)在在 Eg 能能量量范范围内内，没没有有容容许的的能能量量状状态。这是是在在晶晶体体弱弱周周期期势场中运中运动的的电子子产生的新生的新现象。象。能带理论能能带及其一般性及其一般性质1）在零）在零级近似（近似（无周期无周期势场的作用的作用），能），能谱 E (k) k 是一是一个个连续的抛物的抛物线；2）考）考虑晶体的弱周期晶体的弱周期势场微微扰（近自由（近自由电子能子能谱），在布），在布里渊区里渊区边界界 ( k = /a , 2 /a, ) 处发生跳生跳变，产生生带隙（禁隙（禁带），它的），它的宽度度为 2 V1 ，2V2 ， 3）在接近布里渊区在接近布里渊区边界界 E+、E 随随 变化，化，产生向上和向下生向上和向下的弯曲化；的弯曲化； 4）在）在远离布里渊区离布里渊区边界，近自由界，近自由电子能子能谱与在零与在零级近似抛近似抛物物线相同；相同； 能带理论 各各带之之间间隙隙对应于于 k = n /a , k 的的取取值范范围是是一一个个倒倒易易点点阵原胞的原胞的长度；度；5）周期）周期势场变化愈激烈，各付里叶系数愈大，禁化愈激烈，各付里叶系数愈大，禁带越越宽； 理理想想晶晶体体中中, 禁禁带内内不不存存在在能能级。周周期期场中中运运动的的电子子其其能能量量状状态形形成成一一系系列列被被禁禁带隔隔开开的的能能带，这是是能能带理理论中中最最重重要的要的结论。它提供了。它提供了导体和非体和非导体的理体的理论说明。明。能带理论由于周期势场的存由于周期势场的存在，自由电子的能在，自由电子的能级发生分裂，出现级发生分裂，出现允带允带和和禁带禁带。周期场中电周期场中电子运动的子运动的E-K曲线及能带曲线及能带能带理论为什么会什么会产生禁生禁带？ 由于我们把电子看成是近自由的，它的零级近似波函数就是平面波，它在晶体中的传播就像X-射线通过晶体一样，当波矢 k 不满足布拉格条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当 时，波长正好满足布拉格反射条件，受到晶格的全反射。反射波与入射波的干涉形成驻波。 能带理论三三 、紧束缚近似、紧束缚近似n前面 电子完全自由近自由电子n完全被原子核束缚近似束缚亚能级彼此非常接近，故称能带亚能级彼此非常接近，故称能带电电子子数数量量增增加加时时能能级级扩扩展展成成能能带带能带理论能带理论1s2p2sEo原子间距原子间距禁带禁带禁带禁带能带能带能带存在的实验验证：能带存在的实验验证：1、核磁共振磁致伸缩技术、核磁共振磁致伸缩技术2、晶体软、晶体软X射线谱技术射线谱技术3、用高能电子束射入晶体，晶体中的电子从晶体中、用高能电子束射入晶体，晶体中的电子从晶体中打出来后，电子从高能级向下跃迁而产生的辐射能量打出来后，电子从高能级向下跃迁而产生的辐射能量范围在十几范围在十几ev，这正是能带的宽度。，这正是能带的宽度。能带理论能能带术语能带包括允带和禁带能带包括允带和禁带允带（allowed band）：允许电子能量存在的范围禁带(forbidden band): 不允许电子能量存在的范围，价带最高能级与导带最低能级之间的能量间隙能带理论允带又分为空带、满带、导带、价带允带又分为空带、满带、导带、价带n空带空带（empty band）：不被电子占据的允带n满带满带（filled band）：允带中的能量状态（能级）均被电子占据n导带导带（conduction band）：电子未占满的允带（有部分电子）n价带价带（valence band）：被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满），导带下的第一个满带 (最高的满带)能带理论常温下电子填充能带有如下几种情况：常温下电子填充能带有如下几种情况：E禁带禁带禁带禁带禁带禁带禁带禁带价带价带满带满带空带空带未满带未满带满带满带满带满带E满带满带-各能级都被两个自旋相反的电子填满的能带各能级都被两个自旋相反的电子填满的能带空带空带-各能级都没有被电子填充的能带各能级都没有被电子填充的能带导带（半满带）导带（半满带）-能级没有被电子填满的能带能级没有被电子填满的能带能带理论满带满带导（半满带）导（半满带） 当电子从原来状态转移当电子从原来状态转移到另一状态时，另一电子到另一状态时，另一电子必作相反的转移。没有额必作相反的转移。没有额外的定向运动。满带中电外的定向运动。满带中电子不能形成电流。子不能形成电流。半满带的电子可在外半满带的电子可在外场作用下跃迁到高一场作用下跃迁到高一级的能级形成电流。级的能级形成电流。故又称为导带。故又称为导带。能带理论 导体导体 、半导体和绝缘体、半导体和绝缘体 （conductor 、semiconductor 、insulator） 它们的导电性能不同，它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。是因为它们的能带结构不同。晶体按导电性能的高低可以分为晶体按导电性能的高低可以分为导体导体半导体半导体绝缘体绝缘体能带理论二、判断二、判断导体、体、绝缘体、半体、半导体体 1) 晶体是否晶体是否导电，取决于，取决于电子在能子在能带中的分布情况。中的分布情况。2) 原子原子结合成晶体后，原子的能合成晶体后，原子的能级转化化为相相应的能的能带。由由于于原原子子内内层电子子的的能能级是是充充满的的，相相应的的内内层能能带就就是是满带不不导电晶晶体体是是否否导电，取取决决于于价价电子子能能级对应的的价价带是是否否被被电子子充充满。3) 由由于于每每个个能能带可可容容纳 2N 个个电子子，因因此此，价价带是是否否被被电子子充充满取决取决于每个原胞所含的于每个原胞所含的价价电子数目和能子数目和能带是否交叠是否交叠。能带理论 1. 绝缘体体(1014 1022cm) 电子恰好添子恰好添满了最低的一系列能了最低的一系列能带，能量更高的能，能量更高的能带都都是是空空的的；而而且且最最高高的的满带(价价带)与与最最低低的的空空带之之间存存在在一个很一个很宽的禁的禁带 ( Eg 5 eV)。 由由于于没没有有不不满带，在在外外电场的的作作用用下下，不不能能引引起起电流流的的流流动。而而且且满带之之间被被能能隙隙隔隔开开，每每一一个个容容许的的态都都被充被充满。电子的子的总动量无法改量无法改变，从而不能，从而不能导电。能带理论什么什么样的晶体是的晶体是绝缘体？体？ 1) 价价电子的数目是偶数子的数目是偶数 2) 没有能没有能带重叠重叠例：金例：金刚石石 每每个个原原胞胞内内有有 2 个个电子子，晶晶体体中中有有 8N 个个的的价价电子子，正正好好填填满下下面面的的 4 个个能能带，上上面面的的 4 个个价价电子子全全空空。它它的的带隙在空隙在空带和和满带之之间。 金金刚石是典型的石是典型的绝缘体。体。能带理论2、导体体 (10-2 10-10 cm) 在在导体体中中，除除了了满带和和空空带外外存存在在不不满带。一一部部分分处于于不不满带中的价中的价电子在子在电场的作用下的作用下产生运生运动导电。1）价价电子子为奇数奇数 价价电子数子数 = 不不满带中的中的电子数子数 (碱金属碱金属-特特鲁德假德假设)。 2）有偶数个价有偶数个价电子，但能子，但能带产生交叠生交叠。 由由于于能能带的的交交叠叠，导致致原原来来的的满带变成成了了不不满带，原原来来的空的空带也也 填填进电子，表子，表现出出导电性。性。二价金属二价金属 Be，Mg，Zn 等，但它等，但它们不是好的不是好的导体体 (半金属）半金属）能带理论某些碱金属，其价电子是偶数，价电子能带已有某些碱金属，其价电子是偶数，价电子能带已有2N个个电子，但仍能导电。电子，但仍能导电。2p满带满带禁带禁带原子间距原子间距Eo1s2s空带空带满带满带 这是因为这类金属结合成晶体时，能级分裂这是因为这类金属结合成晶体时，能级分裂大，价电子能带与上空带发生重叠，共同组成大，价电子能带与上空带发生重叠，共同组成不满带。不满带。共同组成不满带共同组成不满带能带理论能带理论 导体导体 conductor 碱金属碱金属 锂、钠、钾锂、钠、钾 钠钠（1S1S2 22S2S2 22P2P6 63S3S1 1） 碱土金属碱土金属 铍、镁、钙铍、镁、钙 镁（镁（1S1S2 22S2S2 22P2P6 63S3S2 2） 3S与与3P重迭重迭 贵金属贵金属 铜、银、金铜、银、金 铜（铜（1S1S2 22S2S2 22P2P6 63S3S2 23P3P6 63d3d10104S4S1 1） 过渡金属过渡金属 铁、镍、钴铁、镍、钴 （1S1S2 22S2S2 22P2P6 63S3S2 23P3P6 63d3d7 74S4S2 2）重迭重迭能带理论3. 半半导体体 (10-2 109 。cm) 在在绝对零零度度下下，大大多多数数半半导体体的的纯净完完整整晶晶体体都都是是绝缘体。它的能体。它的能带填充情况和填充情况和绝缘体相同。差体相同。差别仅在于：在于：禁禁带的的宽度度 E g 2 e V，而，而绝缘体体 Eg 3-6 eV。 ( Ge = 0.74 eV，Si = 1.17 eV)1) 半半导体体的的能能隙隙将将满带和和空空带隔隔开开，在在弱弱电场的的作作用用下下，不不导电。2) 当当温温度度升升高高时, 半半导体体中中的的电子子受受热激激发(产生生光光子子)，把把满带(价价带) 的的电子子激激发到到本本来来是是空空的的能能带，即即从从价价带跃迁到迁到导带。能带理论热激发热激发电子、空穴电子、空穴载流子载流子，具备导电能力，具备导电能力 半导体。半导体。载流子浓度多少决定了半导体的导电能力。载流子浓度多少决定了半导体的导电能力。能带理论总结1、晶体是否、晶体是否导电，取决于，取决于电子在能子在能带中的分布情况。中的分布情况。2、晶晶体体是是否否导电，取取决决于于价价电子子能能级对应的的价价带是是否被否被电子充子充满。3、价价带是是否否被被电子子充充满取取决决于于每每个个原原胞胞所所含含的的价价电子数目子数目和和能能带是否交叠是否交叠。 能带理论n导体：最高占有带（即价带）仅仅部分充满，或者能带发生重叠n绝缘体：价带全满，且与下一个能带之间被一个大的禁带隔开n半导体：价带全满，且与下一个能带之间被一个相对于绝缘体禁带隙要小的禁带隔开。（g=0.5-3eV）特征：能带理论FIGURE The various possible electron band structures in solids at 0 K.能带理论习题1 1、试述导体、半导体、绝缘体的导电性的差别产生、试述导体、半导体、绝缘体的导电性的差别产生的原因。的原因。2 2、能带产生的原因是什么？、能带产生的原因是什么？ 能带理论