第二章第二章梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的塑性极限分析塑性极限分析2.1 2.1 2.1 2.1 矩形载面梁的弹塑性纯弯曲矩形载面梁的弹塑性纯弯曲矩形载面梁的弹塑性纯弯曲矩形载面梁的弹塑性纯弯曲2.2 2.2 2.2 2.2 横向载荷作用下梁的弹塑性分析横向载荷作用下梁的弹塑性分析横向载荷作用下梁的弹塑性分析横向载荷作用下梁的弹塑性分析2.3 2.3 2.3 2.3 强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲强化材料矩形载面梁弹塑性纯弯曲2.4 2.4 2.4 2.4 超静定梁的塑性极限载荷超静定梁的塑性极限载荷超静定梁的塑性极限载荷超静定梁的塑性极限载荷2.5 2.5 2.5 2.5 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷2.6 2.6 2.6 2.6 极限分析中的上下限定理极限分析中的上下限定理极限分析中的上下限定理极限分析中的上下限定理2.7 2.7 2.7 2.7 最轻结构的极限设计最轻结构的极限设计最轻结构的极限设计最轻结构的极限设计2.8 2.8 2.8 2.8 弯矩和轴向力同时作用的情形弯矩和轴向力同时作用的情形弯矩和轴向力同时作用的情形弯矩和轴向力同时作用的情形2.1 2.1 矩形截面梁的弹塑性纯弯曲矩形截面梁的弹塑性纯弯曲关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学） ：平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力和正应变和正应变和正应变和正应变之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。一、基本关系一、基本关系一、基本关系一、基本关系在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取x x x x轴为中心线，轴为中心线，轴为中心线，轴为中心线，y y y y轴指向梁轴指向梁轴指向梁轴指向梁的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与x-yx-yx-yx-y平面时。平面时。平面时。平面时。由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为其中其中其中其中 为曲率，为曲率，为曲率，为曲率， 和和和和 都是都是都是都是 的函数。的函数。的函数。的函数。小变形情形下小变形情形下小变形情形下小变形情形下式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯矩为式中式中式中式中b b b b和和和和h h h h分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（3 3 3 3）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，N=0N=0N=0N=0，而（而（而（而（4 4 4 4）式的弯矩）式的弯矩）式的弯矩）式的弯矩 M M M M 与与与与 x x x x 无关。无关。无关。无关。 二、二、二、二、弹弹性性性性阶阶段段段段由由由由得得得得将将将将代入代入代入代入（3 3）、（）、（）、（）、（4 4）截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩说明弯矩和曲率之间有线性关系说明弯矩和曲率之间有线性关系代入式（代入式（代入式（代入式（5 5）说明应力分布与说明应力分布与y y成比例成比例在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为弹性极限弯矩弹性极限弯矩弹性极限弯矩弹性极限弯矩弹性极限曲率弹性极限曲率弹性极限曲率弹性极限曲率则（则（则（则（6 6 6 6）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为三、三、三、三、弹弹塑性塑性塑性塑性阶阶段段段段考虑考虑考虑考虑 的情形的情形的情形的情形设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的 值值值值为为为为有有有有截面上的弯矩：截面上的弯矩：截面上的弯矩：截面上的弯矩：或或或或（1010）式中，对应于）式中，对应于）式中，对应于）式中，对应于y=yy=y0 0的应力为的应力为的应力为的应力为=s s，故故故故 考虑考虑考虑考虑 的情形的情形的情形的情形（1111）式也可写为）式也可写为）式也可写为）式也可写为对比弹性解对比弹性解对比弹性解对比弹性解1 1、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，“ “平截面平截面平截面平截面” ”的变形特性限制了外层的变形特性限制了外层的变形特性限制了外层的变形特性限制了外层纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。，塑性极限载荷，塑性极限载荷，在在y=0处上下纤维的正应力从处上下纤维的正应力从+s跳到跳到-s，出现了正应出现了正应力的强间断。力的强间断。2 2、3 3、当变形限制在弹性变形的量级时，当变形限制在弹性变形的量级时，材料的塑性变形可以使梁的抗弯材料的塑性变形可以使梁的抗弯能力得到提高。能力得到提高。矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁圆形截面圆形截面圆形截面圆形截面薄圆管薄圆管薄圆管薄圆管工字梁工字梁工字梁工字梁 三、卸三、卸三、卸三、卸载时载时的残余曲率和残余的残余曲率和残余的残余曲率和残余的残余曲率和残余应应力力力力 1 1、卸、卸、卸、卸载规载规律律律律在卸在卸在卸在卸载时载时MKMK之之之之间应间应服从服从服从服从弹弹性性性性规规律律律律弯矩的改弯矩的改弯矩的改弯矩的改变变量和曲率的改量和曲率的改量和曲率的改量和曲率的改变变量之量之量之量之间间的关系：的关系：的关系：的关系：应应力的改力的改力的改力的改变变量：量：量：量：2 2、残余曲率、残余曲率、残余曲率、残余曲率若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即残余曲率的表达式残余曲率的表达式残余曲率的表达式残余曲率的表达式卸卸卸卸载载后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸载时载时的曲率之比：的曲率之比：的曲率之比：的曲率之比：或：或：或：或：适用：适用：适用：适用：或：或：或：或：当当当当时时，显显然有然有然有然有3 3、残余、残余、残余、残余应应力力力力其中其中其中其中 与与与与 之之之之间间的关系有式（的关系有式（的关系有式（的关系有式（13131313）和（）和（）和（）和（14141414）给给出出出出说说明：明：明：明：1.1.1.1.在在在在弹弹性区的残余性区的残余性区的残余性区的残余应应力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。2.2.2.2.卸卸卸卸载时载时，应应力力力力变变化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外层层 由由由由和和和和3.3.3.3.当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩值值不不不不超超超超过过M*M*M*M*时时，梁将呈，梁将呈，梁将呈，梁将呈弹弹性响性响性响性响应应。得得得得外外外外层层的正的正的正的正应应力改力改力改力改变变了符号但未出了符号但未出了符号但未出了符号但未出现现反向屈服反向屈服反向屈服反向屈服4.4.4.4.如卸如卸如卸如卸载载到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，则则开始开始开始开始时时的的的的响响响响应应仍是仍是仍是仍是弹弹性的，当性的，当性的，当性的，当M M M M满满足足足足外外外外层纤维层纤维开始反向屈服开始反向屈服开始反向屈服开始反向屈服, , , ,即弯矩的即弯矩的即弯矩的即弯矩的变变化范化范化范化范围围不大于不大于不大于不大于2 2 2 2MeMeMeMe时时，结结构将是安定的。构将是安定的。构将是安定的。构将是安定的。 2.2 2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析横向载荷作用下梁的弹塑性分析一、梁的一、梁的一、梁的一、梁的弹弹性极限性极限性极限性极限载载荷荷荷荷研究矩形截面的理想研究矩形截面的理想研究矩形截面的理想研究矩形截面的理想弹弹塑性塑性塑性塑性悬悬臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用梁的弯矩：梁的弯矩：梁的弯矩：梁的弯矩：当当当当P P P P增至增至增至增至根部的弯矩根部的弯矩根部的弯矩根部的弯矩X=0X=0X=0X=0截面的最外截面的最外截面的最外截面的最外层纤维层纤维开始屈服开始屈服开始屈服开始屈服称称称称为弹为弹性极限性极限性极限性极限载载荷荷荷荷二、塑性状二、塑性状二、塑性状二、塑性状态态时时，梁的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（19191919）式。）式。）式。）式。设设开始开始开始开始进进入塑性状入塑性状入塑性状入塑性状态态的截面在的截面在的截面在的截面在 处处，则则有有有有位于位于位于位于的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域进进入屈服状入屈服状入屈服状入屈服状态态，其其其其弹弹塑性交界位置塑性交界位置塑性交界位置塑性交界位置1 1 1 1、塑性极限、塑性极限、塑性极限、塑性极限载载荷荷荷荷在在在在 处处，当当当当 时时，即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都进进入塑性流入塑性流入塑性流入塑性流动阶动阶段段段段称称称称为为塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷与与与与 相相相相应应的的的的 值值可由可由可由可由2 2 2 2、塑性、塑性、塑性、塑性铰铰塑性铰塑性铰塑性铰塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个铰那样。与通常的铰有两点区别与通常的铰有两点区别与通常的铰有两点区别与通常的铰有两点区别：1. 1.通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩 ；2. 2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。卸载。卸载。卸载。 三、梁的三、梁的三、梁的三、梁的挠挠度度度度1 1、梁、梁、梁、梁处处于于于于弹弹性状性状性状性状态态以及端条件以及端条件以及端条件以及端条件可得可得可得可得特特特特别别地地地地1 1、梁、梁、梁、梁处处于于于于弹弹塑性状塑性状塑性状塑性状态态弹弹塑性梁段塑性梁段塑性梁段塑性梁段弹弹性梁段性梁段性梁段性梁段当当当当区区区区间间中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给出：出：出：出：利用端条件，得利用端条件，得利用端条件，得利用端条件，得区区区区间间中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给出：出：出：出：利用利用利用利用x=3/Lx=3/Lx=3/Lx=3/L处处的的的的连连接条件，得接条件，得接条件，得接条件，得其中其中其中其中自由端的自由端的自由端的自由端的挠挠度度度度为为：可可可可见见，弹弹塑性塑性塑性塑性变变形与形与形与形与弹弹性性性性变变形是同数量形是同数量形是同数量形是同数量级级的。的。的。的。当载荷当载荷当载荷当载荷P P P P先加到先加到先加到先加到P P P P，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端的残余挠度？的残余挠度？的残余挠度？的残余挠度？2.3 2.3 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲一般一般一般一般强强强强化材料化材料化材料化材料: : : :在在在在纯纯弯曲条件下，弯曲条件下，弯曲条件下，弯曲条件下，单调单调加加加加载时载时，弯矩表达式，弯矩表达式，弯矩表达式，弯矩表达式为为：作作作作变变量替量替量替量替换换 后，上式可写后，上式可写后，上式可写后，上式可写为为：可得到可得到可得到可得到 M M M MK K K K 关系。关系。关系。关系。仅仅当当当当 时时，上式中的，上式中的，上式中的，上式中的 才不才不才不才不为为零零零零 如已知如已知如已知如已知K K K K 0 0 0 0，则则由（由（由（由（9 9 9 9）和（）和（）和（）和（12121212）式：）式：）式：）式： 可直接求得可直接求得可直接求得可直接求得M M M M 值值。 如已知如已知如已知如已知M M M M 0 0 0 0，则则需用叠代法求出相需用叠代法求出相需用叠代法求出相需用叠代法求出相应应的的的的K K K K 值值和和和和应应力分布。力分布。力分布。力分布。为为此，可利用此，可利用此，可利用此，可利用 将（将（将（将（24242424）式改写）式改写）式改写）式改写为为：上式右端的第一上式右端的第一上式右端的第一上式右端的第一项为纯弹项为纯弹性部分，第二性部分，第二性部分，第二性部分，第二项项是由于梁的塑性是由于梁的塑性是由于梁的塑性是由于梁的塑性变变形而形而形而形而对对曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到 ，有，有，有，有在令：在令：在令：在令：则对则对任意两个曲率任意两个曲率任意两个曲率任意两个曲率 和和和和 ，由中，由中，由中，由中值值定理可得定理可得定理可得定理可得- - - - - - -现现定定定定义义算子算子算子算子T T T T：而将（而将（而将（而将（27272727）式写成）式写成）式写成）式写成采用迭代法：采用迭代法：采用迭代法：采用迭代法：先令先令先令先令则则第一次迭代第一次迭代第一次迭代第一次迭代为为：由于由于由于由于可可可可见见T T T T 是一个是一个是一个是一个压缩压缩映象，以上迭代映象，以上迭代映象，以上迭代映象，以上迭代过过程是收程是收程是收程是收敛敛的。的。的。的。- - - - - - -则则第第第第 次迭代次迭代次迭代次迭代为为：2.2.4 4 超静定梁的塑性极限载荷超静定梁的塑性极限载荷以以以以图图示示示示的的的的一一一一次次次次超超超超静静静静定定定定梁梁梁梁为为例例例例设设其其其其 M KM KM KM K 曲曲曲曲线线可由可由可由可由图图7 7 7 7中的理想中的理想中的理想中的理想弹弹塑性模型表示，塑性模型表示，塑性模型表示，塑性模型表示，即即即即当当当当 时时设载设载荷荷荷荷P P从零开始增从零开始增从零开始增从零开始增长长。ABAB段和段和段和段和BCBC段弯矩是段弯矩是段弯矩是段弯矩是线线性分布的性分布的性分布的性分布的其中其中其中其中在根部在根部在根部在根部A A截面截面截面截面当当当当 时时，对应对应的的的的载载荷荷荷荷为为：当当当当 时时（1 1 1 1）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的约束。约束。约束。约束。（2 2 2 2）A A点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。由平衡条件得由平衡条件得由平衡条件得由平衡条件得当当当当 时时，B B点的弯矩点的弯矩点的弯矩点的弯矩为为梁成梁成梁成梁成为为一个机构而不能一个机构而不能一个机构而不能一个机构而不能进进一步承一步承一步承一步承载载。称称称称为为塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷分析：分析：分析：分析：1.1.1.1.塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷并不依荷并不依荷并不依荷并不依赖赖于于于于弹弹模模模模 E E E E，其其其其值仅值仅与与与与结结构本身和构本身和构本身和构本身和载载荷有关，而与荷有关，而与荷有关，而与荷有关，而与结结构的残余构的残余构的残余构的残余应应力状力状力状力状态态和加和加和加和加载历载历史无关。史无关。史无关。史无关。弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的2.2.2.2.若若若若仅计仅计算极限算极限算极限算极限载载荷，无荷，无荷，无荷，无须须分析分析分析分析弹弹塑性塑性塑性塑性变变形形形形过过程，可采用程，可采用程，可采用程，可采用刚刚塑性模型，用更塑性模型，用更塑性模型，用更塑性模型，用更为简单为简单的方法的方法的方法的方法进进行行行行计计算。算。算。算。常用的方法：常用的方法：常用的方法：常用的方法：静力法：以应力作为基本未知量静力法：以应力作为基本未知量静力法：以应力作为基本未知量静力法：以应力作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量静力法：静力法：静力法：静力法：是通是通是通是通过过与外与外与外与外载载荷相平衡且在荷相平衡且在荷相平衡且在荷相平衡且在结结构内构内构内构内处处处处不不不不违违反屈服条件的广反屈服条件的广反屈服条件的广反屈服条件的广义应义应力力力力场场来来来来寻寻求所求所求所求所对应对应外外外外载载荷的最大荷的最大荷的最大荷的最大值值的一种方法。的一种方法。的一种方法。的一种方法。以以以以图图6 6 6 6所示的梁所示的梁所示的梁所示的梁为为例例例例弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最大值只可能在在在在A A点和点和点和点和B B点。点。点。点。以以以以C C点的支座反力为参数点的支座反力为参数点的支座反力为参数点的支座反力为参数梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷机机机机动动法：法：法：法：是当是当是当是当结结构的构的构的构的变变形可能成形可能成形可能成形可能成为为一个塑性流一个塑性流一个塑性流一个塑性流动动（或破（或破（或破（或破损损）机构）机构）机构）机构时时，通，通，通，通过过外外外外载载荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来寻寻求所求所求所求所对应对应外外外外载载荷的荷的荷的荷的最小最小最小最小值值的一种方法。的一种方法。的一种方法。的一种方法。对于图对于图对于图对于图6 6 6 6所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破损机构只有一种，即根部损机构只有一种，即根部损机构只有一种，即根部损机构只有一种，即根部A A和中和中和中和中点点点点B B都成为塑性铰。都成为塑性铰。都成为塑性铰。都成为塑性铰。令令令令B B点向下移动的距离为点向下移动的距离为点向下移动的距离为点向下移动的距离为，A A A A点处梁的转角为点处梁的转角为点处梁的转角为点处梁的转角为 B B B B点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为则力则力则力则力P P所作的功为：所作的功为：所作的功为：所作的功为：塑性铰上所作的耗散功为：塑性铰上所作的耗散功为：塑性铰上所作的耗散功为：塑性铰上所作的耗散功为：由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷或或或或注：注：注：注：对对于于于于较为较为复复复复杂杂的的的的结结构，可能的破构，可能的破构，可能的破构，可能的破损损机构一般有好几种。机构一般有好几种。机构一般有好几种。机构一般有好几种。对对应应于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个载载荷荷荷荷值值。真。真。真。真实实的极限的极限的极限的极限载载荷是所荷是所荷是所荷是所有有有有这这些些些些载载荷中的最小荷中的最小荷中的最小荷中的最小值值。2.5 2.5 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷一、几个概念一、几个概念一、几个概念一、几个概念静力场静力场静力场静力场 ：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布现考虑一个现考虑一个现考虑一个现考虑一个n n n n次超静定刚架，它有次超静定刚架，它有次超静定刚架，它有次超静定刚架，它有n n n n个多余反力个多余反力个多余反力个多余反力设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为mm。mm个节点处的弯矩个节点处的弯矩个节点处的弯矩个节点处的弯矩外力外力外力外力多余反力多余反力多余反力多余反力消去消去消去消去 得到的得到的得到的得到的m-nm-n个方程反映了结构的平衡条件个方程反映了结构的平衡条件个方程反映了结构的平衡条件个方程反映了结构的平衡条件即即即即构成一个平衡体系构成一个平衡体系构成一个平衡体系构成一个平衡体系称称称称为为静力静力静力静力场场静力许可静力许可静力许可静力许可场场 ：结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件称称称称为为静力静力静力静力许许可可可可场场静力法静力法静力法静力法：就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力许许可可可可场场中中中中寻寻求取求取求取求取值值最最最最大的外大的外大的外大的外载载荷。荷。荷。荷。 二、例子二、例子二、例子二、例子图 8我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图8 8 8 8所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为MMS S。在水平力在水平力在水平力在水平力3 3P P和竖直力和竖直力和竖直力和竖直力2 2P P的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷P P。解：解：解：解：该结构的超静定次数该结构的超静定次数该结构的超静定次数该结构的超静定次数n=2n=2n=2n=2 节点节点节点节点，处可能出现塑性铰处可能出现塑性铰处可能出现塑性铰处可能出现塑性铰, , , ,故故故故m=4m=4m=4m=4取节点取节点取节点取节点处的支座反力处的支座反力处的支座反力处的支座反力R R R R和和和和N N N N为多余反力，并规定弯矩的符号以为多余反力，并规定弯矩的符号以为多余反力，并规定弯矩的符号以为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧拉为正，刚架内侧拉为正，刚架内侧拉为正，刚架内侧拉为正，则则相相相相应应的平衡方程的平衡方程的平衡方程的平衡方程为为 静力法静力法静力法静力法 消去消去消去消去R R、N N，得到，得到，得到，得到m-n=2m-n=2个独立的平衡方程个独立的平衡方程个独立的平衡方程个独立的平衡方程即即即即如果如果如果如果mmj j还满足屈服条件还满足屈服条件还满足屈服条件还满足屈服条件则则就构成一个静力就构成一个静力就构成一个静力就构成一个静力许许可可可可场场(29)利用（利用（利用（利用（30303030）式，条件（）式，条件（）式，条件（）式，条件（31313131）式可等价地写）式可等价地写）式可等价地写）式可等价地写为为 或或或或消去消去消去消去消去消去消去消去(32)(33)(34)而而而而 （负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：当当当当(34)(34)(34)(34)式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。为为存在存在存在存在静力静力静力静力许许可可可可场场的条件的条件的条件的条件(36)1.1.1.1.对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定：塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷说明：说明：说明：说明：2.2.2.2.二次超静定结构中有三个节点二次超静定结构中有三个节点二次超静定结构中有三个节点二次超静定结构中有三个节点，成为塑性铰，成为塑性铰，成为塑性铰，成为塑性铰，结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（36363636）式的的）式的的）式的的）式的的确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。 机动机动机动机动法法法法 说明：说明：说明：说明：1.1.1.1.对于对于对于对于n n n n次超静定刚架，当出现（次超静定刚架，当出现（次超静定刚架，当出现（次超静定刚架，当出现（n+1)n+1)n+1)n+1)个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会 变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为mm，则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数不少于不少于不少于不少于m m m m2.2.2.2.对于对于对于对于n n n n次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为mm，可列出可列出可列出可列出的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为m-nm-n。这这这这m-nm-n个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理与结构的与结构的与结构的与结构的m-nm-n个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为基本机构基本机构其它的破损机构可通过基本机构组合而得到其它的破损机构可通过基本机构组合而得到其它的破损机构可通过基本机构组合而得到其它的破损机构可通过基本机构组合而得到3.3.3.3.每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。设在塑性铰设在塑性铰设在塑性铰设在塑性铰 点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为可表示为可表示为可表示为可表示为许可机动场许可机动场使外载荷在使外载荷在使外载荷在使外载荷在 上所作的总功取正值的机动场上所作的总功取正值的机动场上所作的总功取正值的机动场上所作的总功取正值的机动场对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。机动法就是要在一切可能的运动许可场中寻求取值最小的外载荷机动法就是要在一切可能的运动许可场中寻求取值最小的外载荷图 8我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图8 8 8 8所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为MMS S。在水平力在水平力在水平力在水平力3 3P P和竖直力和竖直力和竖直力和竖直力2 2P P的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷P P。解：解：解：解：可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为基本机构的个数为基本机构的个数为基本机构的个数为基本机构的个数为例如，取图例如，取图例如，取图例如，取图9 9 9 9中的（中的（中的（中的（a)a)a)a)和（和（和（和（b b b b）为基本机构。为基本机构。为基本机构。为基本机构。则（则（则（则（a)a)a)a)和（和（和（和（b b b b）这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：消去消去消去消去 处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（c c c c）。）。）。）。消去消去消去消去 处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（d d d d）。）。）。）。(d)成铰 (c)成铰(b)成铰(a)成铰用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值(a)成铰(b)成铰(c)成铰(d)成铰 以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构( ( ( (b),b),b),b),最先形成塑性最先形成塑性最先形成塑性最先形成塑性铰的节点为铰的节点为铰的节点为铰的节点为,。结构的结构的结构的结构的塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的“ “上限载荷上限载荷上限载荷上限载荷” ”。进而考察这些。进而考察这些。进而考察这些。进而考察这些“ “上限上限上限上限载荷载荷载荷载荷” ”中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么我们就找到了一个静力许可场，因为它同时对应于某个运动我们就找到了一个静力许可场，因为它同时对应于某个运动我们就找到了一个静力许可场，因为它同时对应于某个运动我们就找到了一个静力许可场，因为它同时对应于某个运动机动场，所以以上所求得的载荷值就是真实的极限载荷，否则机动场，所以以上所求得的载荷值就是真实的极限载荷，否则机动场，所以以上所求得的载荷值就是真实的极限载荷，否则机动场，所以以上所求得的载荷值就是真实的极限载荷，否则以上的载荷只能是真实极限载荷的上限，而需要对其它的塑性以上的载荷只能是真实极限载荷的上限，而需要对其它的塑性以上的载荷只能是真实极限载荷的上限，而需要对其它的塑性以上的载荷只能是真实极限载荷的上限，而需要对其它的塑性流动机构再重新进行计算。流动机构再重新进行计算。流动机构再重新进行计算。流动机构再重新进行计算。(a)成铰我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图8 8 8 8所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。先选取使节点先选取使节点先选取使节点先选取使节点 成铰的机构为塑性成铰的机构为塑性成铰的机构为塑性成铰的机构为塑性流动机构。流动机构。流动机构。流动机构。 (29)由由由由由柱由柱由柱由柱45454545的平衡条件，可知节点的平衡条件，可知节点的平衡条件，可知节点的平衡条件，可知节点 处的水平力处的水平力处的水平力处的水平力可知节点可知节点可知节点可知节点 处的水平力处的水平力处的水平力处的水平力由柱由柱由柱由柱12121212的平衡条件，的平衡条件，的平衡条件，的平衡条件，可知节点可知节点可知节点可知节点 处的垂直力处的垂直力处的垂直力处的垂直力即节点即节点即节点即节点1 1 1 1处已违反屈服条件，以上的机构并不是真实处已违反屈服条件，以上的机构并不是真实处已违反屈服条件，以上的机构并不是真实处已违反屈服条件，以上的机构并不是真实的塑性流动机构。的塑性流动机构。的塑性流动机构。的塑性流动机构。再选取使节点再选取使节点再选取使节点再选取使节点 成铰的机构为塑性流动机构。成铰的机构为塑性流动机构。成铰的机构为塑性流动机构。成铰的机构为塑性流动机构。 (29)由由由由由柱由柱由柱由柱45454545的平衡条件的平衡条件的平衡条件的平衡条件可知节点可知节点可知节点可知节点 处的水平力处的水平力处的水平力处的水平力以及以及以及以及结构真实的结构真实的结构真实的结构真实的塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载荷荷荷荷2.6 2.6 极限分析中的上下限定理极限分析中的上下限定理在上节中，我们没有追踪结构的实际加载过程去逐步地进行在上节中，我们没有追踪结构的实际加载过程去逐步地进行在上节中，我们没有追踪结构的实际加载过程去逐步地进行在上节中，我们没有追踪结构的实际加载过程去逐步地进行结构的弹塑性计算，而是设法直接求出结构的塑性极限载荷结构的弹塑性计算，而是设法直接求出结构的塑性极限载荷结构的弹塑性计算，而是设法直接求出结构的塑性极限载荷结构的弹塑性计算，而是设法直接求出结构的塑性极限载荷及其相应的塑性流动机构。这样的分析方法通常称为及其相应的塑性流动机构。这样的分析方法通常称为及其相应的塑性流动机构。这样的分析方法通常称为及其相应的塑性流动机构。这样的分析方法通常称为极限分极限分极限分极限分析析析析。在极限分析中，最常用的方法就是。在极限分析中，最常用的方法就是。在极限分析中，最常用的方法就是。在极限分析中，最常用的方法就是静力法静力法静力法静力法和和和和机动法机动法机动法机动法。 这两种方法是以本节将要讨论的上、下限定理为理论依据的这两种方法是以本节将要讨论的上、下限定理为理论依据的这两种方法是以本节将要讨论的上、下限定理为理论依据的这两种方法是以本节将要讨论的上、下限定理为理论依据的 回顾：回顾：回顾：回顾：二、二、二、二、上、下限定理上、下限定理上、下限定理上、下限定理假定作用在结构上的各个外载荷假定作用在结构上的各个外载荷假定作用在结构上的各个外载荷假定作用在结构上的各个外载荷 为集中力，为集中力，为集中力，为集中力，它们以共同的比例因子它们以共同的比例因子它们以共同的比例因子它们以共同的比例因子 逐渐增长。逐渐增长。逐渐增长。逐渐增长。当当当当 时，外载荷对应于真实的塑性极限载荷时，外载荷对应于真实的塑性极限载荷时，外载荷对应于真实的塑性极限载荷时，外载荷对应于真实的塑性极限载荷其中其中其中其中 表示表示表示表示给给定的关于各定的关于各定的关于各定的关于各载载荷荷荷荷间间的相的相的相的相对对比比比比值值与真实的塑性流动机构相对应的运动许可场可写为与真实的塑性流动机构相对应的运动许可场可写为与真实的塑性流动机构相对应的运动许可场可写为与真实的塑性流动机构相对应的运动许可场可写为其中其中其中其中 是在实际出现塑性铰点是在实际出现塑性铰点是在实际出现塑性铰点是在实际出现塑性铰点 两侧梁两侧梁两侧梁两侧梁段的相对转角。段的相对转角。段的相对转角。段的相对转角。 1. 1.几个概念几个概念几个概念几个概念n n静力法要求构造某个静力许可场静力法要求构造某个静力许可场静力法要求构造某个静力许可场静力法要求构造某个静力许可场 由此可得到一个载荷乘子由此可得到一个载荷乘子由此可得到一个载荷乘子由此可得到一个载荷乘子n n机机机机动动法要求构造某个静力法要求构造某个静力法要求构造某个静力法要求构造某个静力许许可可可可场场然后通然后通然后通然后通过计过计算外算外算外算外载载荷荷荷荷值值：其中其中其中其中 满满足足足足根据运根据运根据运根据运动许动许可可可可场场的定的定的定的定义义，上式中，上式中，上式中，上式中 2. 2.定理定理定理定理上、下限定理上、下限定理上、下限定理上、下限定理：由静力法得到的载荷乘子由静力法得到的载荷乘子由静力法得到的载荷乘子由静力法得到的载荷乘子 小于或等小于或等小于或等小于或等于真实的载荷乘子于真实的载荷乘子于真实的载荷乘子于真实的载荷乘子 ，由机动法得到的载荷乘子，由机动法得到的载荷乘子，由机动法得到的载荷乘子，由机动法得到的载荷乘子 大大大大于或等于真实的载荷乘子于或等于真实的载荷乘子于或等于真实的载荷乘子于或等于真实的载荷乘子 ，即有：，即有：，即有：，即有：3. 3.定理定理定理定理证明证明证明证明虚功原理虚功原理虚功原理虚功原理：当任意一个静力许可场当任意一个静力许可场当任意一个静力许可场当任意一个静力许可场 在任意一个在任意一个在任意一个在任意一个 运动许可场运动许可场运动许可场运动许可场 上作功时，外载荷的虚功上作功时，外载荷的虚功上作功时，外载荷的虚功上作功时，外载荷的虚功 应等于内力的虚功。应等于内力的虚功。应等于内力的虚功。应等于内力的虚功。由于真实场由于真实场由于真实场由于真实场 是静力许可场的一种，而真实场是静力许可场的一种，而真实场是静力许可场的一种，而真实场是静力许可场的一种，而真实场 是运动许可场的一种，因此根据不同的组合，可得到虚是运动许可场的一种，因此根据不同的组合，可得到虚是运动许可场的一种，因此根据不同的组合，可得到虚是运动许可场的一种，因此根据不同的组合，可得到虚功方程的几种具体表达式功方程的几种具体表达式功方程的几种具体表达式功方程的几种具体表达式 ： 显然有：显然有：显然有：显然有：此外，（此外，（此外，（此外，（43434343）式大于零的条件可写为）式大于零的条件可写为）式大于零的条件可写为）式大于零的条件可写为于是，从（于是，从（于是，从（于是，从（43434343）式减去（）式减去（）式减去（）式减去（41414141）式并利用条件：）式并利用条件：）式并利用条件：）式并利用条件：可得可得可得可得即即即即类似地，从（类似地，从（类似地，从（类似地，从（39393939）式减去（）式减去（）式减去（）式减去（42424242）式并利用）式并利用）式并利用）式并利用可得可得可得可得即即即即这便证明了上、下限定理。这便证明了上、下限定理。这便证明了上、下限定理。这便证明了上、下限定理。n n以以以以上上上上定定定定理理理理说说说说明明明明，由由由由静静静静力力力力许许许许可可可可场场场场可可可可得得得得到到到到极极极极限限限限载载载载荷荷荷荷的的的的下下下下限限限限，由由由由运运运运动动动动许许许许可可可可场场场场可可可可得得得得到到到到极极极极限限限限载载载载荷荷荷荷的的的的上上上上限限限限。如如如如果果果果能能能能同同同同时时时时找找找找到到到到一一一一个个个个既既既既是是是是静静静静力力力力许许许许可可可可场场场场又又又又是是是是运运运运动动动动许许许许可可可可场场场场的的的的体体体体系系系系，那那那那么么么么相相相相应应应应的的的的载载载载荷荷荷荷就就就就必必必必然然然然是是是是结结结结构构构构的的的的塑塑塑塑性性性性极极极极限限限限载载载载荷荷荷荷。如如如如果果果果不不不不能能能能精精精精确确确确地地地地求求求求出出出出极极极极限限限限载载载载荷荷荷荷，那那那那么么么么也也也也可可可可分分分分别别别别由由由由静静静静力力力力许许许许可可可可场场场场和和和和运运运运动动动动许许许许可可可可场场场场求求求求得得得得极极极极限限限限载载载载荷荷荷荷的的的的下下下下限限限限和和和和上上上上限限限限，并并并并由由由由上上上上限限限限与与与与下下下下限限限限之之之之差差差差来来来来估估估估计计计计极极极极限载荷近似值的精确度。限载荷近似值的精确度。限载荷近似值的精确度。限载荷近似值的精确度。2.7 2.7 最轻结构的极限设计最轻结构的极限设计问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出：在给定外载和某些其它条件下，如何来设计一种在给定外载和某些其它条件下，如何来设计一种在给定外载和某些其它条件下，如何来设计一种在给定外载和某些其它条件下，如何来设计一种最优的结构。这样的问题称之为极限（或优化）设计。最优的结构。这样的问题称之为极限（或优化）设计。最优的结构。这样的问题称之为极限（或优化）设计。最优的结构。这样的问题称之为极限（或优化）设计。最最最最优优的的的的标标准可以有多种。准可以有多种。准可以有多种。准可以有多种。这这里的里的里的里的讨论讨论将将将将以重量最以重量最以重量最以重量最轻为轻为准准准准则则，故又称，故又称，故又称，故又称为为最最最最轻结轻结构的极限构的极限构的极限构的极限设计设计。 问题问题问题问题 给定载荷及结构的形状，求结构中各截面上的塑性极给定载荷及结构的形状，求结构中各截面上的塑性极给定载荷及结构的形状，求结构中各截面上的塑性极给定载荷及结构的形状，求结构中各截面上的塑性极限弯矩。限弯矩。限弯矩。限弯矩。由于极限弯矩由于极限弯矩由于极限弯矩由于极限弯矩MMS S与截面的尺寸与截面的尺寸与截面的尺寸与截面的尺寸（或（或（或（或单单位位位位长长度构件的重度构件的重度构件的重度构件的重量量量量）有关。有关。有关。有关。 分析分析分析分析 故一般可有关系式故一般可有关系式故一般可有关系式故一般可有关系式当当当当 f f 为线为线性函数性函数性函数性函数时时对于同一类型的构件，式中的对于同一类型的构件，式中的对于同一类型的构件，式中的对于同一类型的构件，式中的a a a a和和和和b b b b可取为常数可取为常数可取为常数可取为常数整个结构的重量整个结构的重量整个结构的重量整个结构的重量: : : :上式中上式中上式中上式中 表示第表示第表示第表示第 个构件的塑性极限弯矩个构件的塑性极限弯矩个构件的塑性极限弯矩个构件的塑性极限弯矩如何来如何来如何来如何来选选取各个构件的取各个构件的取各个构件的取各个构件的 ，使得在保，使得在保，使得在保，使得在保证结证结构安全的前提下，构安全的前提下，构安全的前提下，构安全的前提下，为最小。为最小。为最小。为最小。 求求求求解方法解方法解方法解方法 设想结构出现了第设想结构出现了第设想结构出现了第设想结构出现了第q q q q种破损机构而产和塑性流动，相应种破损机构而产和塑性流动，相应种破损机构而产和塑性流动，相应种破损机构而产和塑性流动，相应的运动许可场的运动许可场的运动许可场的运动许可场表示第表示第表示第表示第 个构件上位于个构件上位于个构件上位于个构件上位于 点处两侧梁段的相对转角点处两侧梁段的相对转角点处两侧梁段的相对转角点处两侧梁段的相对转角有有有有为为保保保保证结证结构安全就要求构安全就要求构安全就要求构安全就要求对对一切可能的一切可能的一切可能的一切可能的q q q q，都有都有都有都有最轻结构的极限设计问题便归结为在满足（最轻结构的极限设计问题便归结为在满足（最轻结构的极限设计问题便归结为在满足（最轻结构的极限设计问题便归结为在满足（46464646）式的）式的）式的）式的条件下选取条件下选取条件下选取条件下选取 使（使（使（使（45454545）式中的）式中的）式中的）式中的X X X X为最小的问题。为最小的问题。为最小的问题。为最小的问题。这这这这在数学上是一个线性规划问题。在数学上是一个线性规划问题。在数学上是一个线性规划问题。在数学上是一个线性规划问题。例例例例：图图10101010表示了一个双跨表示了一个双跨表示了一个双跨表示了一个双跨连续连续梁。梁。梁。梁。设两段梁的极限弯矩分别为设两段梁的极限弯矩分别为设两段梁的极限弯矩分别为设两段梁的极限弯矩分别为M M M MS1S1S1S1和和和和M M M MS2S2S2S2，在外载在外载在外载在外载P P P P1 1 1 1和和和和P P P P2 2 2 2 （= 3P= 3P= 3P= 3P1 1 1 1 ）的的的的作用下有四处可能出现塑性铰（作用下有四处可能出现塑性铰（作用下有四处可能出现塑性铰（作用下有四处可能出现塑性铰（如图中的如图中的如图中的如图中的，）因为因为因为因为M M M MS1S1S1S1和和和和M M M MS2S2S2S2可以不相等，可以不相等，可以不相等，可以不相等，B B B B处将处将处将处将在薄弱的一侧形成铰，所以在薄弱的一侧形成铰，所以在薄弱的一侧形成铰，所以在薄弱的一侧形成铰，所以B B B B点点点点有两个可能成铰的截面，即在其有两个可能成铰的截面，即在其有两个可能成铰的截面，即在其有两个可能成铰的截面，即在其左侧或在其右侧。左侧或在其右侧。左侧或在其右侧。左侧或在其右侧。于是，在外于是，在外于是，在外于是，在外载载的作用下，就可能出的作用下，就可能出的作用下，就可能出的作用下，就可能出现图现图（10101010）中（）中（）中（）中（a a a a），（），（），（），（b b b b），），），），（c c c c），（），（），（），（d d d d）所示的四种机构所示的四种机构所示的四种机构所示的四种机构。或是以上机构的组合，（。或是以上机构的组合，（。或是以上机构的组合，（。或是以上机构的组合，（e)e)e)e)就就就就是（是（是（是（a a a a）和（和（和（和（d d d d）的组合。的组合。的组合。的组合。相应的（相应的（相应的（相应的（46464646）式可分别写为：）式可分别写为：）式可分别写为：）式可分别写为：引进无量纲量引进无量纲量引进无量纲量引进无量纲量 下来确定下来确定下来确定下来确定 和和和和 使得使得使得使得 取最小值。取最小值。取最小值。取最小值。 问题就化为：问题就化为：问题就化为：问题就化为： 解析法解析法解析法解析法 将（将（将（将（49494949）式改为）式改为）式改为）式改为在条件在条件在条件在条件并代入（并代入（并代入（并代入（48484848）式后，有）式后，有）式后，有）式后，有 消去消去消去消去 当结构安全时，当结构安全时，当结构安全时，当结构安全时，x x x x的最小值应取为的最小值应取为的最小值应取为的最小值应取为5 5 5 5 （48484848）再以代再以代再以代再以代 回以上各个不等式，便有回以上各个不等式，便有回以上各个不等式，便有回以上各个不等式，便有 或或或或 在给定载荷下的最轻设计在给定载荷下的最轻设计在给定载荷下的最轻设计在给定载荷下的最轻设计 说明：说明：说明：说明：将极限弯矩值将极限弯矩值将极限弯矩值将极限弯矩值 和和和和 代到（代到（代到（代到（47474747）中，可知（）中，可知（）中，可知（）中，可知（a a a a），（），（），（），（b b b b）式）式）式）式中的等号成立。这说明在这种设计时破损机构是（中的等号成立。这说明在这种设计时破损机构是（中的等号成立。这说明在这种设计时破损机构是（中的等号成立。这说明在这种设计时破损机构是（a a a a），（），（），（），（b b b b）的组合（的组合（的组合（的组合（e e e e）。）。）。）。从直观上讲，最优设计应该要求当机构破损时，能同时出现从直观上讲，最优设计应该要求当机构破损时，能同时出现从直观上讲，最优设计应该要求当机构破损时，能同时出现从直观上讲，最优设计应该要求当机构破损时，能同时出现更多的机构，这才能够最充分地发挥所有材料的潜力。更多的机构，这才能够最充分地发挥所有材料的潜力。更多的机构，这才能够最充分地发挥所有材料的潜力。更多的机构，这才能够最充分地发挥所有材料的潜力。 几何法几何法几何法几何法 若以若以若以若以 、 为坐标，则（为坐标，则（为坐标，则（为坐标，则（48484848）各）各）各）各式表示了在一些直线右方的半平面，式表示了在一些直线右方的半平面，式表示了在一些直线右方的半平面，式表示了在一些直线右方的半平面，同时满足（同时满足（同时满足（同时满足（48484848）各式的区域）各式的区域）各式的区域）各式的区域ABCDABCDABCDABCD为为为为结构的安全区。结构的安全区。结构的安全区。结构的安全区。（49494949）式可看作是以）式可看作是以）式可看作是以）式可看作是以 为参数的直为参数的直为参数的直为参数的直线族，其斜率等于线族，其斜率等于线族，其斜率等于线族，其斜率等于-2-2-2-2，称为，称为，称为，称为重量线重量线重量线重量线。 愈大，直线愈向右移，结构也愈重。愈大，直线愈向右移，结构也愈重。愈大，直线愈向右移，结构也愈重。愈大，直线愈向右移，结构也愈重。因此，临界状态将对应于重量线与因此，临界状态将对应于重量线与因此，临界状态将对应于重量线与因此，临界状态将对应于重量线与安全区的切点安全区的切点安全区的切点安全区的切点B B B B。B B B B点的坐标点的坐标点的坐标点的坐标 就是所要求的就是所要求的就是所要求的就是所要求的 值。值。值。值。 2.8 2.8 弯矩和轴向力同时作用的情形弯矩和轴向力同时作用的情形本节将讨论关于广义内力（或称广义应力）的弹性极限曲线和本节将讨论关于广义内力（或称广义应力）的弹性极限曲线和本节将讨论关于广义内力（或称广义应力）的弹性极限曲线和本节将讨论关于广义内力（或称广义应力）的弹性极限曲线和塑性极限曲线。塑性极限曲线。塑性极限曲线。塑性极限曲线。问题：问题：问题：问题：考虑由理想弹塑性材料构成的矩形截面梁。该梁受到弯考虑由理想弹塑性材料构成的矩形截面梁。该梁受到弯考虑由理想弹塑性材料构成的矩形截面梁。该梁受到弯考虑由理想弹塑性材料构成的矩形截面梁。该梁受到弯矩矩矩矩M M M M和轴向力和轴向力和轴向力和轴向力N N N N的联合作用。相应的正应力分布表示在图的联合作用。相应的正应力分布表示在图的联合作用。相应的正应力分布表示在图的联合作用。相应的正应力分布表示在图12121212中。中。中。中。梁中应变为零的纤维称为中性层，中性层的梁中应变为零的纤维称为中性层，中性层的梁中应变为零的纤维称为中性层，中性层的梁中应变为零的纤维称为中性层，中性层的y y y y坐标为坐标为坐标为坐标为1.1.1.1.梁处于弹性阶段：梁处于弹性阶段：梁处于弹性阶段：梁处于弹性阶段：应力分布：应力分布：应力分布：应力分布：分析：分析：分析：分析：在纯拉伸情况下，最大轴向力为在纯拉伸情况下，最大轴向力为在纯拉伸情况下，最大轴向力为在纯拉伸情况下，最大轴向力为 因此，（因此，（因此，（因此，（52525252）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为式中式中式中式中 由（由（由（由（9 9 9 9）式给出。）式给出。）式给出。）式给出。2.2.2.2.弹性极限曲线弹性极限曲线弹性极限曲线弹性极限曲线若和都不为零，而且若和都不为零，而且若和都不为零，而且若和都不为零，而且截面上最大正应力将出现在截面上最大正应力将出现在截面上最大正应力将出现在截面上最大正应力将出现在 处，其值为处，其值为处，其值为处，其值为 当该处应力达到屈服应力时，就有当该处应力达到屈服应力时，就有当该处应力达到屈服应力时，就有当该处应力达到屈服应力时，就有 截面上开始出现屈服状态的条件可由（截面上开始出现屈服状态的条件可由（截面上开始出现屈服状态的条件可由（截面上开始出现屈服状态的条件可由（53535353）式写为）式写为）式写为）式写为消去消去消去消去 后便有后便有后便有后便有在的条件在的条件在的条件在的条件 下的弹性极限曲线。下的弹性极限曲线。下的弹性极限曲线。下的弹性极限曲线。. . . .塑性极限曲线塑性极限曲线塑性极限曲线塑性极限曲线假定梁的整个截面都处于屈服阶段，中性屈层（实际上已成假定梁的整个截面都处于屈服阶段，中性屈层（实际上已成假定梁的整个截面都处于屈服阶段，中性屈层（实际上已成假定梁的整个截面都处于屈服阶段，中性屈层（实际上已成为应力间断线）的位置为为应力间断线）的位置为为应力间断线）的位置为为应力间断线）的位置为则由图则由图则由图则由图12121212（d d d d）便不难计算出（便不难计算出（便不难计算出（便不难计算出（3 3 3 3）式和（）式和（）式和（）式和（4 4 4 4）式中）式中）式中）式中其无量纲形式为其无量纲形式为其无量纲形式为其无量纲形式为因此有因此有因此有因此有称为在弯曲和拉伸同时作用下的交互曲线称为在弯曲和拉伸同时作用下的交互曲线称为在弯曲和拉伸同时作用下的交互曲线称为在弯曲和拉伸同时作用下的交互曲线它是一种广义应力表示的屈服条件。在对梁、板、壳等它是一种广义应力表示的屈服条件。在对梁、板、壳等结构进行塑性极限分析时，会经常用到这类屈服条件。结构进行塑性极限分析时，会经常用到这类屈服条件。 说明：说明：说明：说明：