3.1.2 用二分法求方程的近似解 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条指挥部的电话线路发生了故障这是一条10km10km长的长的线路，如何迅速查出故障所在？线路，如何迅速查出故障所在？ 如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测试吗？想一想，怎样工作最合理？试吗？想一想，怎样工作最合理？想一想想一想两线杆之间的距离大约是两线杆之间的距离大约是30-5030-50米米设闸房和指挥部的所在处为点设闸房和指挥部的所在处为点A,B,A,B, A A( (闸房闸房) ) 这样每查一次这样每查一次, ,就可以把待查的线路长度就可以把待查的线路长度缩减一半缩减一半C C B B（指挥部）（指挥部）D DE E 要把故障可能发生的范围缩小到要把故障可能发生的范围缩小到5050100m100m左右，左右，即两三根电杆附近，最多查几次就可以了？即两三根电杆附近，最多查几次就可以了？ 7 7次次取中点取中点这种解决问题的方法，就是这种解决问题的方法，就是二分法二分法. .1.1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解 的一般步骤的一般步骤. .（重点）（重点）2.2.明确精确度明确精确度与近似值的区别与近似值的区别. .3.3.会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助 求解求解. .( (难点）难点）4.4.会用二分法思想解决其他的实际问题会用二分法思想解决其他的实际问题. .已知函数已知函数f(x)=lnf(x)=ln x+2x-6 x+2x-6在区间（在区间（2 2，3 3）内有零点）内有零点. . 你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？ 列出下表：列出下表：（2 2，3 3）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.562 52.562 5f(2.562 5)0f(2.562 5)0f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，2.562 52.562 5）f(2.531 25)0f(2.531 25)02.531 25 2.531 25 想一想维修工人的维修方法想一想维修工人的维修方法问题：问题：如若要求精确度为如若要求精确度为0.010.01，怎么找零点？，怎么找零点？怎样才算达怎样才算达到精确度了到精确度了呢？呢？根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值符号中点函数值符号（2 2，3 3）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.562 52.562 5f(2.562 5)0f(2.562 5)0（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）f(2.5)0f(2.5)0f(2.562 5)0（2.52.5，2.562 52.562 5）f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.562 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.539 062 5)0f(2.531 25)0f(2.531 25)0f(2.546 875)0（2.531 252.531 25，2.539 062 52.539 062 5）f(2.546 875)0f(2.546 875)0f(2.531 25)0,f(2.531 25)0f(2.539 062 5)0列出下表：列出下表：由于由于所以，可以将所以，可以将作为函数作为函数零点的近似值，也即方程零点的近似值，也即方程的近似根的近似根. .注意精确度注意精确度 像上面这种求方程近似解的方法称为像上面这种求方程近似解的方法称为二分法二分法，它是求一元它是求一元方程近似解方程近似解的常用方法的常用方法. .二分法的定义：二分法的定义： 对于在区间对于在区间a,ba,b 上上_且且f(a)f(a)f(bf(b)0)0的函数的函数y=f(xy=f(x),),通过不断地把函数通过不断地把函数f(xf(x) )的零点所在的零点所在的区间的区间_，使区间的两个端点逐步逼近，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法（bisectionbisection）. .连续不断连续不断一分为二一分为二零点零点前提条件前提条件1.1.确定区间确定区间 ，验证，验证 ，给定精确度，给定精确度 .2.2.求区间（求区间（a,ba,b）的中点）的中点c.c.3.3.计算计算（1 1）若）若 ，则，则c c就是函数的零点就是函数的零点. .（2 2）若）若 , ,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0(a,c).(a,c).（3 3）若）若 , ,则令则令a=ca=c（此时零点（此时零点x x0 0(c,b).(c,b).即若即若 ，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(a(或或b b）；）；4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：否则重复步骤否则重复步骤2 24 4给定精确度给定精确度 , ,二分法求函数二分法求函数f(xf(x) )的零点近似值的步骤：的零点近似值的步骤： 用二分法求方程用二分法求方程 f(xf(x)=0)=0（或（或g(x)=h(xg(x)=h(x) )）近似解）近似解寻找解所在区间的方法：寻找解所在区间的方法：（1 1）图象法）图象法: :先画出先画出y = f(xy = f(x) )的图象，观察图象与的图象，观察图象与x x轴轴的交点横坐标所处的范围；或画出的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(xy=g(x) )和和y=h(xy=h(x) )的的图象图象, ,观察两图象的交点横坐标所处的范围观察两图象的交点横坐标所处的范围. .（2 2）函数法）函数法: :把方程均转换为把方程均转换为 f(xf(x)=0)=0的形式，再利用的形式，再利用函数函数y=f(xy=f(x) )的有关性质（如单调性）来判断解所在的的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间区间. .【提升总结【提升总结】某同学在借助计算器求某同学在借助计算器求“方程方程lgxlgx=2-x=2-x的近似解的近似解（精确度（精确度0.10.1）”时，设时，设f(xf(x)=lgx+x-2, )=lgx+x-2, 算得算得f(1)0;f(1)0;在以下过程中，他用在以下过程中，他用“二分法二分法”又又取了取了4 4个个x x的值，计算了其函数值的正负，并得出判的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是断：方程的近似解是x=1.8.x=1.8.那么他所取的那么他所取的x x的的4 4个值个值中最后一个值是中最后一个值是_._.1.812 51.812 5【即时训练【即时训练】例例1.1.借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2 2x x+3x=7+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.10.1）. .本题已给出函数表达式和规定的区间求零点，可本题已给出函数表达式和规定的区间求零点，可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值的近似值. .【解题关键【解题关键】【解析【解析】原方程即原方程即2 2x x+3x-7=0+3x-7=0，令，令f(xf(x)=2)=2x x+3x-7+3x-7，用，用计算器或计算机作出函数计算器或计算机作出函数f(xf(x)=2)=2x x+3x-7+3x-7的对应值的对应值表和图象如下：表和图象如下： 273 273142 142 75754040212110103 3-2-2-6-6f(xf(x) ) 8 8 7 76 65 54 43 32 21 10 0x x因为因为f(1)f(1)f(2)0f(2)0，所以所以 f(xf(x)=2)=2x x+3x-7+3x-7在区间（在区间（1 1，2 2）内有零点内有零点x x0 0, ,取区间（取区间（1 1，2 2）的中点）的中点x x1 1=1.5=1.5，f(1.5)f(1.5) 0.33 0.33，因为，因为f(1)f(1)f(1.5)0f(1.5)0，所以所以x x0 0 （1 1，1.51.5）取区间（取区间（1 1，1.51.5）的中点）的中点x x2 2=1.25 ,=1.25 ,f(1.25)-0.87f(1.25)-0.87，因为，因为f(1.25)f(1.25)f(1.5)0f(1.5)0，所以所以x x0 0（1.251.25，1.51.5）同理可得，同理可得，x x0 0（1.3751.375，1.51.5），），x x0 0（1.3751.375，1.437 51.437 5），），由于由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1|1.375-1.437 5|=0.062 50.1所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.437 5.1.437 5.利用计算器，求方程利用计算器，求方程lglg x=3-x x=3-x的近似解的近似解. .（精确度（精确度0.10.1）. .解：解：画出画出y=lgxy=lgx及及y=3-xy=3-x的图象，观察图象得，的图象，观察图象得，方程方程lgxlgx=3-x=3-x有唯一解，记为有唯一解，记为x x1 1，且这个解在区间（且这个解在区间（2 2，3 3）内）内. .设设 f(xf(x)=lgx+x-3)=lgx+x-3y y1 13 33 3x xo o【变式练习【变式练习】因为因为|2.625-2.562 5|=0.062 50.1|2.625-2.562 5|=0.062 50.1，所以可以将，所以可以将x=2.625x=2.625作为原方程的一个近似解作为原方程的一个近似解. .根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值符号中点函数值符号（2 2，3 3）f(2)0f(2)0f(3)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)0f(2.625)0 2.562 52.562 5f(2.562 5)0f(2.562 5)0（2.562 52.562 5，2.6252.625）f(2.562 5)0f(2.562 5)0f(2.625)0列出下表：列出下表：请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.1.函数函数y=f(xy=f(x) )在在a,ba,b 上连续不断上连续不断. .2.y=f(x2.y=f(x) )满足满足f(a)f(a)f(bf(b)0)0，则在，则在(a,b(a,b) )内必有零内必有零点点. .不是所有的情况不是所有的情况都能用二分法哦都能用二分法哦1.1.下列函数中能用二分法求零点的是下列函数中能用二分法求零点的是_._. (1)(4)(1)(4)1.56251.56253.3.用二分法求函数用二分法求函数在区间（在区间（0 0，1 1）内的零点（精确度）内的零点（精确度0.10.1）. .解解: : 由题设可知：由题设可知：所以，函数所以，函数f(xf(x) )在区间（在区间（0 0，1 1）内有零点）内有零点. .下面用二分法求函数在区间（下面用二分法求函数在区间（0 0，1 1）内的零）内的零点点x x0 0, ,取区间取区间(0,1)(0,1)的中点的中点所以近似零点可取为所以近似零点可取为0.6875.0.6875.再取区间再取区间(0.5,1)(0.5,1)的中点的中点二分法二分法定义定义求函数零点近求函数零点近似值的步骤似值的步骤三种思想三种思想逼近思想逼近思想 函数思想函数思想 算法思想算法思想定区间，找中点，中值计算两边看定区间，找中点，中值计算两边看. .同号去，异号算，零点落在异号间同号去，异号算，零点落在异号间. .周而复始怎么办周而复始怎么办? ? 精确度上来判断精确度上来判断. .口口 诀诀世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。