第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。2.2 逆矩阵2.1 矩阵的概念及运算2.3 矩阵的分块第一节 矩阵的概念1.定义定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作一、概念：这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。 元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。2.行矩阵、列矩阵与方阵行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(1,2,n) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法矩阵的加法: 设有两个同型的 mn 阶矩阵A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为A+B，并规定 注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。矩阵加法的运算律：(1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C )设矩阵 A= (aij) ，记A= ( aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。 由矩阵加法的定义，显然有 A+ ( A) = O，由此，矩阵的减法可定义为 B =+ ( B)2.矩阵的数乘：矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或A，并规定： 由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律： 矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：矩阵的乘法：设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵B为 np 阶矩阵，A= (aij) mn 、B= (bij) np ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mp 阶矩阵C = (cij) mp，记 C = AB， 且 就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；AB = O 不一定有A= O或B= O ； A(X Y ) = O 且 A O 也不可能一定有X=Y只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子： (1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k Ak Bk4.矩阵的乘幂：矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：5.矩阵的转置：矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作AT。 如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列证明：设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB )T = AT BT6.方阵的行列式方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为| A| 或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。 方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为n 阶方阵，为实数)2.上上(下下)三角矩阵：三角矩阵：1.数量矩阵数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵3.行阶梯矩阵与行最简矩阵行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 mn 阶矩阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 ,如果当ik时,有 ji jk 时，称 A为行阶梯矩阵。若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。4.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵： 设 A为 n 阶方阵， 若AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵； 若AT = A，即 aij = aji (i,j = 1,2,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。5.正交矩阵正交矩阵： 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E称 A为正交矩阵。 6.幂等、幂零、幺幂矩阵幂等、幂零、幺幂矩阵： 若 n 阶方阵A满足： A2 = A，称 A为幂等矩阵 Ak = O，称 A为幂零矩阵 Ak = E，称 A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A第二节逆矩阵 设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1 = B 。1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断2.若| A|0，则 A可逆，且证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| 03.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明： AB = E | A| | B | =1 故 | A| 0且| B| 0，A、B均可逆， 且 A1=B1.若 A 可逆，则 | A| 0证明： A可逆 A A1 = A1 A = E故 | A| A1 |=1， 即 | A| 0 同时还有三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵： 若n方阵的行列式 | A| 0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)1(A1)T (AB)1B1A1证明： A、B均可逆 AA1=A1AE 故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T同理 (AB)(B 1 A1) (B 1 A1) (AB) E (A)1=1 A1第三节 矩阵的分块 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。三、分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵准对角矩阵（或分块对角矩阵分块对角矩阵）。 对于准对角矩阵，有以下运算性质： 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设四、准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式则： 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且五、矩阵分块的应用六、矩阵按行、列分块 如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组 可记作 如果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组 可记作对于矩阵 与矩阵 的乘积 ，若把矩阵 A 按行分成 m 块，把矩阵 B 按列分成 n 块，便有：七.方阵A的n次多项式我们经常用如下的方法来计算矩阵的多项式：