第六章第六章 单因素方差分析单因素方差分析陈细香陈细香 2007-12-102007-12-101教学内容第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析第三节第三节 多重比较多重比较第四节第四节 方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件3教学内容第一节 方差分析的基本原理一、方差分析的概念二、方差分析的意义三、方差分析的基本原理4方差分析的概念方差分析（ Analysis Of Variance， ANOVA）又称变量分析或F检验，比比较较组组间间方方差差是是否否可可以以用用组组内内方方差差来来进进行行解解释释，从从而而判判断断若干组样本是否来自同一总体的检验方法。若干组样本是否来自同一总体的检验方法。方方 差差 分分 析析 是 由 英 国 著 名 统 计 学 家R.A.Fisher于1923年提出的。 方差分析的基本原理方差分析的基本原理5 方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。F F分布分布 F分布是英国统计学家Fisher和Snedecor提出的。 为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。 方差分析也主要是由Fisher推导出来的，也叫F检验。6优：可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。缺：只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。方差分析优缺点方差分析的基本原理方差分析的基本原理7方差分析的意义其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。 方差分析的基本原理方差分析的基本原理8方差分析中的术语1.因素2.水平3.主效应4.交互效应1.处理2.固定因素3.随机因素4.误差方差分析的基本原理方差分析的基本原理9方差分析中的术语1.因素：可能影响试验结果，且在试验中被考查的原因或原因组合。有时也可称为因子。例如温度、湿度、药物种类等。2.水平：因素在试验或观测中所处的状态。例如温度的不同值，药物的不同浓度等。方差分析的基本原理方差分析的基本原理10方差分析中的术语3.主效应：反映一个因素各水平的平均数之差异的一种度量。一个因子第i水平上所有数据的平均与全部数据的平均之差，称为该因子第i水平的主效应。4.交互效应：由两个或更多因素之间水平搭配而产生的差异的一种度量。方差分析的基本原理方差分析的基本原理11方差分析中的术语5.处理：实验中实施的因子水平的一个组合。6.固定因素：该因素的水平可准确控制，且水平固定后，其效应也固定。例如温度，化学药物的浓度，动植物的品系，等等。7.随机因素：该因素的水平不能严格控制，或虽水平能控制，但其效应仍为随机变量。例如动物的窝别（遗传因素的组合），农家肥的效果等等。方差分析的基本原理方差分析的基本原理12方差分析中的术语8.误差：除了实验中所考虑的因素之外，其他原因所引起的实验结果的变化。它可分为系统误差和随机误差：方差分析的基本原理方差分析的基本原理系统误差：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它保持不变或按某种规律变化。它的原因可为已知，也可为未知，但均应尽量消除。随机误差：误差的组成部分，在对同一被测量的多次测试中，它受偶然因素的影响而以不可预知的方式变化。它无法消除或修正。 13计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。方差分析的基本原理方差分析的基本原理方差分析的基本原理14教学内容第二节 单因素方差分析一、不同处理效应与不同模型二、平方和及自由度的分解三、简化计算四、单因素方差分析的步骤五、单因素方差分析的应用实例15X1X2X3XiXa1x11x21x31xi1xa12x12x22x32xi2xa23x13x23x33xi3xa3jx1jx2jx3jxijxajnx1nx2nx3nxinxan平均数平均数单因素方差分析单因素方差分析xij表表6-1 每组具每组具n个观测值的个观测值的a组样本符号表组样本符号表16平方和及自由度的分解方差分析的基本思想，就是将总变差分解为各构成部分之和，然后对它们作统计检验。 单因素方差分析单因素方差分析18平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。在方差分析中是用样样本本方方差差即均均方方(mean squares)来度量资料的变异程度的。表6-1中全部观察值的总总变变异异可以用总均方来度量，处处理理间间变变异异和处处理理内内变变异异分别用处处理理间间均均方方和处处理理内内均均方方来度量。19平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。这种分解是通过将总均方式中的分子 称为总离均差平方和，简称为总总平平方方和和，分解成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方式中的分母称为总总自自由由度度，分解成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。20 总平方和的分解总平方和的分解 在表6-1中，反映全部观察值总变异的总总平平方方和和是各观察值与总平均数的离均差平方和，记为SST。即21平方和及自由度的分解单因素方差分析单因素方差分析22平方和及自由度的分解单因素方差分析单因素方差分析由于23平方和及自由度的分解单因素方差分析单因素方差分析24其中称为处理间平方和处理间平方和，记为SSA，即而称为处处理理内内平平方方和和或或误误差差平平方方和和，记为SSe，即25平方和及自由度的分解单因素方差分析单因素方差分析用符号表示，上式可写成：SST = SSA + SSe其中符号的意义为：SST：总平方和；SSA：处理间平方和；SSe：误差平方和，或处理内平方和。26( (二二) )总自由度的分解总自由度的分解 在在计计算算总总平平方方和和时时，资料中的各个观察值要受 这一条件约束，总自由度等于资料中观察值的总个数减一，即an-1。 总自由度记为dfT，则 dfT =an-1 。 在计算处理间平方和时在计算处理间平方和时，各处理均数要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即a-1。 处理间自由度记为dfA ，则dfA=a-1。 27在在计计算算处处理理内内平平方方和和时时，要受a个条件的约束，即，i=1,2,.a。故处理内自由度为资料中观察值的总个数减a，即an-a。处理内自由度记为dfe，则dfe=an-a=a(n-1)。因为 an-1=(a-1)+(an-a)=(a-1)+a(n-1)所以dfT= dfA+ dfe综合以上各式得：28平方和及自由度的分解它们的自由度分别为an1,a1和a(n1)，即自由度也作了相应分解：an 1 = a 1 + a(n 1) 单因素方差分析单因素方差分析dfTdfAdfe29平方和及自由度的分解令 称为误差均方 称为处理间均方 单因素方差分析单因素方差分析30简化计算单因素方差分析单因素方差分析31简化计算单因素方差分析单因素方差分析其中 通常称为校正项（correction），用C表示32单因素方差分析的步骤单因素方差分析单因素方差分析33建立原假设建立原假设“H0：各组平均数相等各组平均数相等”构造统计量构造统计量“F组间均方组内均方组间均方组内均方” 在在计计算算组组间间均均方方时时，使使用用自自由由度度为为（a-1），计计算算组组内内均均方时，使用自由度为方时，使用自由度为a（n-1）。）。F满足第一自由度为（满足第一自由度为（a-1），），第二自由度为第二自由度为a（n-1）的）的F分布。查表。分布。查表。推断：若推断：若F值大于值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。组平均数存在差异。结论。结论。单因素方差分析单因素方差分析34单因素方差分析的应用实例单因素方差分析单因素方差分析35例6.1p104例8.1单因素方差分析单因素方差分析36单因素方差分析单因素方差分析序号序号品系品系IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5表表6-2 5个小麦品系株高（个小麦品系株高（cm）调查结果）调查结果37单因素方差分析单因素方差分析序号序号品系品系IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5总和总和xi.1.5-3.011.529.018.057.0x2i.2.259.00132.25 841.00324.001308.50 x2ij1.933.429.43174.4668.06277.28382.计算SST、SSA 、 SSe单因素方差分析单因素方差分析39单因素方差分析单因素方差分析40单因素方差分析单因素方差分析41单因素方差分析单因素方差分析423.将将以上结果列成方差分析表以上结果列成方差分析表变差来源变差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F品系间品系间131.74432.9442.23*误误 差差15.58200.78总总 和和147.3224单因素方差分析单因素方差分析43作业10/12p1178.244第六章第六章 单因素方差分析单因素方差分析陈细香陈细香 2007-12-172007-12-1745Spss操作品系品系IIIIIIIVV64.664.567.871.869.265.365.366.372.168.264.864.667.170.069.866.063.766.869.168.365.863.968.571.067.5株高464748Excel操作品系品系IIIIIIIVV64.664.567.871.869.265.365.366.372.168.264.864.667.170.069.866.063.766.869.168.365.863.968.571.067.5株高495051525354Excel操作将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。右表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性水平a=0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态分布，且方差相同。 青霉素青霉素 四环素四环素 链霉素链霉素 红霉素红霉素 氯霉素氯霉素29.627.35.821.629.224.332.66.217.432.828.530.811.018.325.032.034.88.319.024.255565758教学内容第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析第三节第三节 多重比较多重比较第四节第四节 方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件60第三节 多重比较拒绝H0时，并不意味着所有处理间均存在差异。为弄清哪些处理间有差异，需对所有水平作一对一的比较，即多重比较。常用的多重比较方法有以下几种：61方差分析的基本原理方差分析的基本原理X1X2X3XiXa1x11x21x31xi1xa12x12x22x32xi2xa23x13x23x33xi3xa3jx1jx2jx3jxijxajnx1nx2nx3nxinxan平均数平均数62多重比较一、LSD法二、Duncan检验多重比较多重比较63LSD法最小显著差数(LSD)法：实际就是用t检验对所有平均数作一对一对的检验。一般情况下各水平重复数n相等，用MSe作为2的估计量，可得：多重比较多重比较64LSD法多重比较多重比较65LSD法统计量为：多重比较多重比较66LSD法因此当时，差异显著。t分位数的自由度df=a(n-1)。多重比较多重比较67LSD法多重比较多重比较即为最小显著差数，记为LSD。68LSD法所有比较仅需计算一个LSD，应用很方便。但由于又回到了多次重复使用t检验的方法，会大大增加犯第一类错误的概率。为了克服这一缺点，人们提出了多重范围检验的思想：即把平均数按大小排列后，对离得远的平均数采用较大的临界值R。这一类的方法主要有Duncan法和Newman-Keul法。后者又称为q法。现介绍如下：多重比较多重比较69Duncan检验1把需比较的a个平均数从大到小排好：2求出各对差值，并列成表：3求临界值：4对差值表采用适当的R进行比较。多重比较多重比较70表 a个均值间的差值表 71多重比较临界值表 多重比较多重比较K0.05R0.050.01R0.0120.05(2,df)R2,0.050.01(2,df)R2,0.0130.05(3,df)R3,0.050.01(3,df)R3,0.01a0.05(a,df)Ra,0.050.01(a,df)Ra,0.0172Duncan检验差值表中每条对角线上的k值是相同的，可使用同一个临界值R。差 值 大 于 R0.05， 标 以“*”； 大 于 R0.01则 标“*”。多重比较多重比较73例6.2p104例8.1单因素方差分析单因素方差分析74方差分析表方差分析表变差来源变差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F品系间品系间131.74432.9442.23*误误 差差15.58200.78总总 和和147.3224单因素方差分析单因素方差分析75Duncan检验多重比较多重比较品系号IVVIIIIII平均数70.868.667.365.364.4顺序号1234576表 5个均值间的差值表 多重比较多重比较77多重比较临界值表 多重比较多重比较dfK0.05R0.050.01R0.012020.05(2,20)=2.95R2,0.05 =1.1650.01(2,20)=4.02R2,0.01=1.58830.05(3,20)=3.10R3,0.05 =1.2250.01(3,20)=4.22R3,0.01 =1.66740.05(4,20)=3.18R4,0.05 =1.2560.01(4,20)=4.33R4,0.01 =1.71050.05(5,20)=3.25R5,0.05 =1.2840.01(5,20)=4.40Ra,0.01=1.738查表查表查表查表78表 5个均值间的差值表 多重比较多重比较54321234*79808182838485例6.3单因素方差分析下表为某职业病防治院对 31名石棉矿工中的石棉肺患者、可疑患者和非患者进行了肺活量（L)测定的数据，问三组石棉矿工的肺活量有无差别？石棉肺患者1.8 1.4 1.5 2.1 1.9 1.7 1.8 1.9 1.8 1.8 2.0可疑患者2.3 2.1 2.1 2.1 2.6 2.5 2.3 2.4 2.4非患者2.9 3.2 2.7 2.8 2.7 3.0 3.4 3.0 3.4 3.3 3.5肺活量868788899091上 述 基 本 结 果 表 明 ： F=84.544, P=0.0000.001, 说明三组矿工的用力肺活量有极其显著的差异。929394959697多重比较结果表明：各组之间（1与2，1与3，2与3组之间）均存在极其显著的差异（P=0.0000.001）。 98教学内容第四节 方差分析应具备的条件一、方差分析应满足三个条件二、多个方差齐性检验 方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件99方差分析应满足三个条件可加性正态性方差齐性方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件100多个方差齐性检验方差齐性。即要求所有处理随机误差的方差都要相等，换句话说不同处理不能影响随机误差的方差。巴勒特（Bartlett）检验方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件101作业17/12p1178.3102OK!103