二 次 型第第1节节 二次型的概念二次型的概念第第2节节 二次型的矩阵处理二次型的矩阵处理第第3节节 二次型的化简二次型的化简第第4节节 正定二次型正定二次型一一 二次型的函数性质二次型的函数性质 二次型本质上是包含 n 个未知数的实二次齐次函数。设二次型 f(x) = xTAx (AT=A) f(x) 的定义域为： Rn f(x) 的值域有如下性质：性质1：若存在x使得 f(x)=xTAx0,则对任意给定的正数0，必存在 y,使得 f(y) = yTAy = 。性质2：若存在 x 使得 f(x)=xTAx0,则对任意给定的负数0，负惯性指数=0，则f的值域为0,+); 若f的正惯性指数=0，负惯性指数0,则 f 的值域为(- ,0.三 正定与负定二次型定义：设有二次型 f(x)=xTAx，如果对任何 x0，都有f(x)0，则称 f 为正定二次型正定二次型，并称对称阵A是正定的正定的；反之如果对任何 x0都有f(x)0。推论：对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全0。定理定理：对称阵A为正定的充分必要条件是 A的所有顺序主子式都为正，即有对称阵A为负定的充分必要条件是 A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即有例：例：四 半正定与半负定二次型定义：设有二次型 f(x)=xTAx，如果对任何x，都有f(x)0，则称 f 为半正定二次型，并称对称阵A是半正定的；反之如果对任何x都有f(x)0，则称f为半负定二次型，并称A是半负定的。定理定理：若 f(x) = xTAx 为半负定二次型，则二次型 -f(x)=-xTAx为半正定二次型。定理定理：n元二次型 f(x)=xTAx 为半正定的充分必要条件是 f 的负惯性指数=0；反之f这半负定的充分必要条件是正惯性指数=0。