四章证券投资组合理论教案第四章 证券投资组合理论第一节 证券投资组合收益和风险第二节 证券投资组合理论第三节 风险资产与无风险资产的配置引言 投资组合理论的发展1 1、现代证券组合理论的产生、现代证券组合理论的产生l952l952年哈理年哈理马柯威茨发表了一篇题为马柯威茨发表了一篇题为证券证券组合选择组合选择的论文。这篇著名的论文标志着的论文。这篇著名的论文标志着现代证券组合理论的开端。现代证券组合理论的开端。1、现代证券组合理论的产生主要讲了几个问题主要讲了几个问题1 1、组合投资时可以降低风险、组合投资时可以降低风险可以降低部份风险而不是全部表述可以降低部份风险而不是全部表述2 2、风险投资者关注的投资目标如何用数学表、风险投资者关注的投资目标如何用数学表达达均值均值方差模型来计量投资收益和风险方差模型来计量投资收益和风险3 3、投资者投资行为如何选择证券组合、投资者投资行为如何选择证券组合实实现最优选择现最优选择1、现代证券组合理论的产生马柯威茨的贡献是开创了在不确定性条件马柯威茨的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获定风险下能提供最大收益的资产组合。获19901990年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（1 1）马柯威茨提供的方法面临的最大问题是其马柯威茨提供的方法面临的最大问题是其计算量太大，特别是对大规模的市场，存计算量太大，特别是对大规模的市场，存在上千种证券的情况下，在当时即使是借在上千种证券的情况下，在当时即使是借助计算机也难以实现，更无法满足实际市助计算机也难以实现，更无法满足实际市场在时间上有近乎苛刻的要求。场在时间上有近乎苛刻的要求。2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（1 1）19631963年，马柯威茨的学生威廉年，马柯威茨的学生威廉夏普提出了夏普提出了一种简化的计算方法。这一方法通过建立一种简化的计算方法。这一方法通过建立“单因素模型单因素模型”来实现，在此基础上后来发展来实现，在此基础上后来发展出出“多因素模型多因素模型”，使得组合理论能为机构使得组合理论能为机构使用。使用。2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（1 1）夏普、特雷诺和詹森三人分别于夏普、特雷诺和詹森三人分别于19641964年、年、19651965年和年和19661966年提出了著名的资本资产定价年提出了著名的资本资产定价模型模型(CAPM)(CAPM)。这一模型在金融领域盛行十。这一模型在金融领域盛行十多年。阐明了：多年。阐明了：资本资产的均衡价格是如何形成的资本资产的均衡价格是如何形成的发现资产的收益率与风险之间是成线性关发现资产的收益率与风险之间是成线性关系系指出了天下没有的午餐指出了天下没有的午餐 现代金融学的基石现代金融学的基石 1990 1990年共同分享诺贝尔经济学奖年共同分享诺贝尔经济学奖19761976，史蒂夫，史蒂夫. .罗斯，套利定价模型罗斯，套利定价模型(APT)(APT)提供了另外一种资产定价模型。提供了另外一种资产定价模型。该模型是以收益率形成的多因素模型为基础，该模型是以收益率形成的多因素模型为基础，用套利的概念来定义均衡。如果把市场的收用套利的概念来定义均衡。如果把市场的收益率作为唯一因子，益率作为唯一因子，APTAPT导出的风险导出的风险收收益率关系与益率关系与CAPMCAPM完全相同因此，完全相同因此，CAPMCAPM可可以看作是以看作是APTAPT的一个特例。的一个特例。2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（2 2）2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（2 2）19731973年，布莱克和斯科尔斯年，布莱克和斯科尔斯(Black,Scholes,1973)(Black,Scholes,1973)推导出推导出的期权定价公式的期权定价公式, ,以及莫顿以及莫顿(Merton,1973)(Merton,1973)对该定价公式对该定价公式的发展和深化。的发展和深化。期权定价公式期权定价公式, ,即即Black-ScholesBlack-Scholes模型模型, ,其适用条件较弱其适用条件较弱, ,背后的基本经济机理仅是无套利原理。由于它适用背后的基本经济机理仅是无套利原理。由于它适用广泛广泛, ,除了应用于期权定价外除了应用于期权定价外, ,还应用于各种形式的金还应用于各种形式的金融衍生品以及公司债务的估价等。融衍生品以及公司债务的估价等。7070年代后期年代后期, ,哈里森哈里森(Harrison)(Harrison)和克雷普斯和克雷普斯(Kreps,1979)(Kreps,1979)发展了证券定价的鞅理论发展了证券定价的鞅理论(theory 0f martingale pricing),(theory 0f martingale pricing),这个理论目前仍是金融研究的前沿课题。这个理论目前仍是金融研究的前沿课题。2 2、现代证券组合理论的发展（、现代证券组合理论的发展（3 3）FamaFama（19701970）提出了有效市场假说。）提出了有效市场假说。资本市场的混沌（资本市场的混沌（ChaosChaos）( (分形）假说。分形）假说。现代投资组合理论的框架体系现代投资组合理论的框架体系第一节 证券投资组合收益和风险一、证券组合的收益一、证券组合的收益二、证券组合的风险二、证券组合的风险 一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，概率各为每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.50.5，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。问你的投资策略。雨季雨季旱季旱季防晒品公司防晒品公司雨具公司雨具公司0%0%20%20%20%20%0%0%第一节 证券投资组合收益和风险一、证券组合的收益1 1、证券组合含义、证券组合含义投资者在投资活动中根据自己的风险投资者在投资活动中根据自己的风险- -收益收益偏好所选择的可投资的金融工具的集合。偏好所选择的可投资的金融工具的集合。其中，所选的每种证券占全部组合的比例其中，所选的每种证券占全部组合的比例称作权重，它反映了投资者将投资资金的称作权重，它反映了投资者将投资资金的多大部分投资于该证券。因此，所有权重多大部分投资于该证券。因此，所有权重之和为之和为1 1。选择证券组合优点：对冲（对冲（hedginghedging），也称为套期保值。投资），也称为套期保值。投资于补偿形式（收益负相关），使之相互抵于补偿形式（收益负相关），使之相互抵消风险的作用。消风险的作用。分散化（分散化（DiversificationDiversification）：必要条件收益）：必要条件收益是不完全正相关，就能降低风险。是不完全正相关，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。组合使投资者选择余地扩大。例如有例如有A A、B B两种股票，每种股票的涨或跌的两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为概率都为50%50%，若只买其中一种，则就只有，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。这个组合中收益的情况就至少有六种。涨，涨涨，涨涨，跌涨，跌 涨涨跌，涨跌，涨跌，跌跌，跌 跌跌涨涨跌跌B BA A组合至少还包含非组合至少还包含非组合（即只选择一组合（即只选择一种股票），这表明种股票），这表明投资者通过组合选投资者通过组合选择余地在扩大，从择余地在扩大，从而使决策更加科学。而使决策更加科学。一、证券组合的收益2、证券组合的收益证券组合的期望收益率就是组成投资组合的证券组合的期望收益率就是组成投资组合的各种证券的期望报酬率的加权平均数，其权各种证券的期望报酬率的加权平均数，其权数是各种证券在整个投资组合总额中所占的数是各种证券在整个投资组合总额中所占的比例。其公式为：比例。其公式为：WWii代表投资比例代表投资比例二、二、证券组合的风险组合的风险1 1、证券间的协方差与相关系数、证券间的协方差与相关系数（1 1）协方差：测度两个证券收益相互影响的）协方差：测度两个证券收益相互影响的程度与方向。程度与方向。u协方差大于协方差大于0 0，正相关，正相关u协方差小于协方差小于0 0，负相关，负相关u协方差等于协方差等于0 0，不相关，不相关协方差的大小是无限的，协方差的大小是无限的，从理论上来说，其变化范从理论上来说，其变化范围可以从负无穷大到正无围可以从负无穷大到正无穷大。穷大。（2 2）相关系数：）相关系数：协方差的标准化协方差的标准化（二）资产组合的风险（二）资产组合的风险 -1-1 11 0 0 1 1 ：两种证券两种证券为正相关为正相关 -1-1 0 0：两种证券：两种证券为负相关为负相关 = +1+1：完全正相关：完全正相关 = -1 = -1： 完全负相关完全负相关 = 0 = 0： 两种证券不相关两种证券不相关注意：注意：协方差和相关系数都是协方差和相关系数都是反映两个随机变量相关反映两个随机变量相关程度的指标，但反映的程度的指标，但反映的角度不同：角度不同：协方差是度量两个变量协方差是度量两个变量相互关系的绝对值相互关系的绝对值相关系数是度量两个变相关系数是度量两个变量相互关系的相对数量相互关系的相对数（2）相关系数通过相关系数的正负与大小可以衡量两个资产收益变动的趋势。 -1 1 0 1 ：两种资产为正相关为正相关 -1 0：两种资产为负相关为负相关 = +1：完全正相关 = -1： 完全负相关 = 0： 两种资产不相关A收益A收益B收益B收益B收益A收益=1=-1=0相关系数对投资组合风险的影响 2、两证券组合风险的衡量 1 1、组合的预期收益率与相关系数无关。、组合的预期收益率与相关系数无关。 2 2、相关系数等于、相关系数等于1 1，达不到风险分散效果。，达不到风险分散效果。 3 3、相关系数由、相关系数由1 1向向-1 -1变动，风险分散效果逐渐变动，风险分散效果逐渐增强。增强。 4 4、相关系数等于、相关系数等于-1 -1，风险分散效果最好。，风险分散效果最好。2、两证券组合风险的衡量 当当 =1=1时，时，当当 =-1=-1时时此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0u组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。差的加权平均值。3、多种证券组合风险的衡量 影响证券投资组合风险的因素：影响证券投资组合风险的因素：1 1、每种证券所占的比例。、每种证券所占的比例。2 2、证券收益率的相关性。、证券收益率的相关性。3 3、每种证券的风险（标准差）。一般来说，证、每种证券的风险（标准差）。一般来说，证券组合后的风险不会大于单个证券的风险，起券组合后的风险不会大于单个证券的风险，起码是持平。码是持平。小结组合的收益是各种证券收益的加权平均值，组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。最大的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。合的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。同时，组合的收益等于各个资产的收益。第二节 投资组合理论一、可行集与可行域一、可行集与可行域二、有效组合与有效边界二、有效组合与有效边界三、最优投资组合三、最优投资组合一、可行集与可行域( (一）概念一）概念1 1、可行集、可行集把所有可供选择的投资组合所构成的集合，把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的称为投资的“可行集可行集”（feasible setfeasible set）或）或“机机会集会集”（opportunity setopportunity set）。）。 2 2、可行域、可行域由所有可行证券组合的期望收益率与标准差由所有可行证券组合的期望收益率与标准差在坐标平面中形成的区域称为可行域（在坐标平面中形成的区域称为可行域（feasible feasible regionregion），），（二）可行域的形状1 1、两种证券组合的可行域、两种证券组合的可行域A A、B B证券组合证券组合P P的组合线的方程的组合线的方程在期望收益率和标准差的坐标系中描述证券在期望收益率和标准差的坐标系中描述证券A A和证券和证券B B所有可能的组合。所有可能的组合。（1 1） ABAB=1=1如果不允许卖空，组合曲线为组合曲线为一条直线一条直线 图图4-14-1证券证券A A与证券与证券B B的收益率完全正相关。于是组合方程为的收益率完全正相关。于是组合方程为. A. B0F图4-1 AB=1时的组合线（2 2） ABAB=-1=-1：证券证券A A与证券与证券B B的收益率完全负相关。的收益率完全负相关。组合曲线为图4-20. A. B在点处形成一个无风险组合组合方程为：组合方程为：(3) (3) ABAB=0=0：证券：证券A A与证券与证券B B的收益率完全不相关的收益率完全不相关0.A. B. C点C处的风险最小组合方程为：组合方程为：组合曲线为图组合曲线为图4-34-30. A. B. . C C点C处的风险最小求的极小值令解出得到0.A. B. C卖空B买入A的组合卖空A买入B的组合0.A. B(4)(4) -1 -1ABAB11 : :证券证券A A与证券与证券B B的收益率不完全相关的收益率不完全相关-1AB1时随着AB的增大组合曲线的弯曲程度减小AB=1时最小AB=-1时最大不卖空前不卖空前题下相关题下相关系数越小系数越小证券组合证券组合的风险越的风险越小小组合方程为组合方程为: :0.A. B. C卖空B买入A的组合卖空A买入B的组合对于只有证券对于只有证券A A和证券和证券B B在允许卖空的情况下，投资者可以在组合线在允许卖空的情况下，投资者可以在组合线上找到自己满意的任何位置上找到自己满意的任何位置不允许卖空只能在介于不允许卖空只能在介于ABAB之间获得一个组合之间获得一个组合假设某投资组合有假设某投资组合有X和和Y(Y1,Y2,Y3,Y4)中的任一种证券，其相关中的任一种证券，其相关资料见下表所示。资料见下表所示。 表表 4-1 X和和Yi证券的相关资料证券的相关资料股票股票预期收益率预期收益率标准差标准差相关系数相关系数(与股票与股票X)X10.00%12.00%1.00Y114.00%18.00%-1.00Y214.00%18.00%-0.25Y314.00%18.00%0.25Y414.00%18.00%1.00计算不同投资组合在不同相关系数下的预期收益率和标准差，计算不同投资组合在不同相关系数下的预期收益率和标准差，见表见表4-2所示。所示。两项证券投资组合的有效边界：举例表表4-2 X4-2 X和和Y Yi i证券投资组合的标准差证券投资组合的标准差投资比重投资比重预期收益预期收益率率不同相关系数下投资组合标准差不同相关系数下投资组合标准差WxWyi(%)xy1=-1.00xy2=-0.25xy3=+0.25xy4=+1.000%100%14.00.18 0.18 0.18 0.18 10%90%13.60.15 0.16 0.17 0.17 20%80%13.20.12 0.14 0.15 0.17 30%70%12.80.09 0.12 0.14 0.16 40%60%12.40.06 0.11 0.13 0.16 50%50%12.00.03 0.10 0.12 0.15 60%40%11.60.00 0.09 0.11 0.14 70%30%11.20.03 0.09 0.11 0.14 80%20%10.80.06 0.09 0.11 0.13 90%10%10.40.09 0.11 0.11 0.13 100%0%10.00.12 0.12 0.12 0.12 图图4-1 X4-1 X和和Y Yi i证券投资组合的机会集证券投资组合的机会集两项证券投资组合的有效边界2. 2.多种证券组合的可行域多种证券组合的可行域. A. B. C不可卖空的可行域由曲线AB、AC、CB围成可以卖空的可行域是个无限区域求解可行域的公式求解可行域的公式假设可供选择的证券有假设可供选择的证券有 A A、B B、C CN种证券组合的可行域多种证券组合的可行域多种证券组合的可行域 是标准差是标准差- -期望收益期望收益率坐标系中的一个平面区域率坐标系中的一个平面区域二、有效组合与有效边界（一）含义（一）含义满足下述条件的投资组合集合称为满足下述条件的投资组合集合称为“有效投有效投资组合资组合”（ efficient portfolio efficient portfolio ）（1 1）在给定的各种风险条件下，提供最大预）在给定的各种风险条件下，提供最大预期收益率；（期收益率；（ 不满足假设或非饱和性假设）不满足假设或非饱和性假设）（2 2）在给定的各种预期收益率的水平条件下，）在给定的各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。（风险厌恶假设）提供最小的风险。（风险厌恶假设）有效边界：在期望收益率有效边界：在期望收益率标准差的图形标准差的图形中，表示有效投资组合的曲线被称为有效边中，表示有效投资组合的曲线被称为有效边界（界（efficient frontierefficient frontier）。）。（二）有效证券组合的理论推导在预期收益率约束条件下，使组合方差最小，在预期收益率约束条件下，使组合方差最小，从而找到最小方差集从而找到最小方差集minimun-variance setminimun-variance set或称或称为最小方差前沿为最小方差前沿minimunvariance frontier,minimunvariance frontier,再根再根据非饱和性假设找到有效集。据非饱和性假设找到有效集。约束条件约束条件（二）有效证券组合的理论推导或或注：这是注：这是MarkowitzMarkowitz最初的研究结果，即在不存最初的研究结果，即在不存在无风险借贷且不允许卖空风险资产条件下的在无风险借贷且不允许卖空风险资产条件下的最小方差集（该模型的求解可借助专门的计算最小方差集（该模型的求解可借助专门的计算机程序或软件包）机程序或软件包）（二）有效证券组合的理论推导每一给定的每一给定的E(RP )，可以解出相应的标准差，可以解出相应的标准差 P，每一对（，每一对（ E(RP ) ,P ）都是标准差）都是标准差预预期收益率曲线图的一个坐标点，所有这些点期收益率曲线图的一个坐标点，所有这些点就连成最小方差曲线。就连成最小方差曲线。有效边界：最小方差集中位于整体最小方差有效边界：最小方差集中位于整体最小方差组合上方的部分（最小方差组合上方的机会组合上方的部分（最小方差组合上方的机会集部分是有效边界集部分是有效边界 ）。）。（三）有效边界的形状MM点所代表的组合称为最小方差组合，或最点所代表的组合称为最小方差组合，或最小方差点小方差点MVPMVP；曲线；曲线ABAB称为最小方差集；称为最小方差集；曲线曲线BMBM为有效边界。为有效边界。有效边界有效边界( (所有风险证券所有风险证券) )E(R)E(R)有效前沿有效前沿EfficientEfficient frontierfrontier全局最小方差全局最小方差组合组合GlobalGlobalminimumminimumvariancevarianceportfolioportfolio最小方差边界最小方差边界Minimum varianceMinimum variancefrontierfrontier个别证券个别证券IndividualIndividualassetsassets p p（三）有效边界的形状1. 1. 有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反映映“高风险、高收益高风险、高收益”。2. 2. 有效边界是一条上凸的曲线。有效边界是一条上凸的曲线。3. 3. 有效边界不可能有凹陷的地方。为什么？有效边界不可能有凹陷的地方。为什么？4.4.构成组合的证券间的相关系数越小，投资构成组合的证券间的相关系数越小，投资的有效边界就越是弯曲得厉害。的有效边界就越是弯曲得厉害。 三、最有证券投资组合由于有效边界上的所有投资组合都是最优的，由于有效边界上的所有投资组合都是最优的，有效边界上不同投资组合之间并不存在优劣关有效边界上不同投资组合之间并不存在优劣关系，因此，投资者最终具体选择哪种投资组合系，因此，投资者最终具体选择哪种投资组合就取决于他们的偏好，即投资组合最终方案的就取决于他们的偏好，即投资组合最终方案的选择取决于投资者收益选择取决于投资者收益风险的效用函数，即风险的效用函数，即无差异曲线。无差异曲线。最优证券投资组合：有效组合边界与投资者无最优证券投资组合：有效组合边界与投资者无差异曲线的切点所代表的投资组合。差异曲线的切点所代表的投资组合。三、最优证券投资组合最优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投最优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的投资组合资组合中，唯一可获得最大效用期望值的投资组合。有。有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。合的唯一性。不同风险厌恶的最优风险组合不同风险厌恶的最优风险组合资本配置仅限风险资产，此时最佳风险组合与最佳资本配置仅限风险资产，此时最佳风险组合与最佳( (完整完整) )资产组合重叠资产组合重叠, ,在无在无差异曲线与风险资产有效边界的切点差异曲线与风险资产有效边界的切点Markowitz投资组合理论评价1.Markowitz1.Markowitz投资组合理论的贡献投资组合理论的贡献MarkowitzMarkowitz的投资组合理论建立了一系列的的投资组合理论建立了一系列的基本概念，运用统计学的均值和方差基本概念，运用统计学的均值和方差( (标准标准差）等概念为金融资产的风险与收益分析差）等概念为金融资产的风险与收益分析提供了科学的依据，使得以均值衡量收益、提供了科学的依据，使得以均值衡量收益、方差（标准差）衡量风险的现代风险分析方差（标准差）衡量风险的现代风险分析基本框架在现代金融理论中得到确立；基本框架在现代金融理论中得到确立；该理论提出的有效投资组合概念和投资组该理论提出的有效投资组合概念和投资组合分析方法大大简化了投资分析的难度。合分析方法大大简化了投资分析的难度。1.Markowitz投资组合理论的贡献该理论证明了投资者投资于多样化的风险资产该理论证明了投资者投资于多样化的风险资产就能够降低非系统风险。因此，我们可以逻辑就能够降低非系统风险。因此，我们可以逻辑地推理出，只要投资组合设计的足够好，那么地推理出，只要投资组合设计的足够好，那么投资组合不应该含有任何非系统性风险。一个投资组合不应该含有任何非系统性风险。一个隐含的推论就是市场不对非系统风险进行风险隐含的推论就是市场不对非系统风险进行风险补偿，而只对系统风险进行补偿。补偿，而只对系统风险进行补偿。该理论在金融学理论发展史上是至关重要的，该理论在金融学理论发展史上是至关重要的，为后续的为后续的CAPMCAPM等理论发展奠定了基础。等理论发展奠定了基础。2.投资组合理论的局限性MarkowitzMarkowitz的投资组合理论的理论假设过于严的投资组合理论的理论假设过于严格，与现实相去太远；格，与现实相去太远；该理论也没有考虑到西方金融市场实践中现该理论也没有考虑到西方金融市场实践中现实存在的可以卖空风险资产的情况。实存在的可以卖空风险资产的情况。该理论没有考虑现实中存在的无风险资产情该理论没有考虑现实中存在的无风险资产情况。在该理论中，我们假定所有证券均是有况。在该理论中，我们假定所有证券均是有风险的，而没有考虑无风险资产的情况（在风险的，而没有考虑无风险资产的情况（在引入无风险借贷假设后，有效集将发生重大引入无风险借贷假设后，有效集将发生重大改变，托宾完成了拓展工作）；改变，托宾完成了拓展工作）；2.投资组合理论的局限性MarkowitzMarkowitz的投资组合理论面临的主要问题的投资组合理论面临的主要问题是，他所提供的方法对普通投资者而言应是，他所提供的方法对普通投资者而言应用难度太大，只有一些大型的机构投资者用难度太大，只有一些大型的机构投资者才能运用，并且该理论在实际运用中还面才能运用，并且该理论在实际运用中还面临计算烦琐等问题（这个问题由临计算烦琐等问题（这个问题由SharpeSharpe发展发展的单指数模型得以解决）。的单指数模型得以解决）。第三节 无风险资产与风险资产的配置一、资本配置与无风险资产一、资本配置与无风险资产二、无风险借贷二、无风险借贷三、资本配置线三、资本配置线CALCAL四、最优资本配置四、最优资本配置背景背景前述前述MarkowitzMarkowitz模型中可供选择的都是风险资模型中可供选择的都是风险资产，且不允许投资者使用金融杠杆或进行保产，且不允许投资者使用金融杠杆或进行保证金交易。证金交易。然而现实经济生活中，投资者不仅购买风险然而现实经济生活中，投资者不仅购买风险证券，也经常对无风险资产进行投资。此外，证券，也经常对无风险资产进行投资。此外，投资者不仅可以用自有资金进行投资，也可投资者不仅可以用自有资金进行投资，也可以使用借入的资金来进行投资。以使用借入的资金来进行投资。因此，有必要对因此，有必要对MarkowitzMarkowitz模型作一些修正并模型作一些修正并在理论上加以扩展。在理论上加以扩展。 一、资本配置与无风险资产1 1、资本配置（、资本配置（capital allocationcapital allocation）对整个资产组合中各项资产比例进行决策。对整个资产组合中各项资产比例进行决策。2 2、无风险资产（、无风险资产（risk-free-assetrisk-free-asset）具有确定的收益率，并且不存在违约风险的具有确定的收益率，并且不存在违约风险的资产。资产。特点：特点：标准差为标准差为0 0，即，即 f f=0=0；收益率是确定的或已知的；收益率是确定的或已知的；与任意风险资产收益率之间的协方差为与任意风险资产收益率之间的协方差为0 0，即即 if if=0 =0 ；相关系数也为；相关系数也为0 0，即，即 if if=0=0现实中的无风险资产严格地说，只有到期日与投资期相等的国债严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。但在现实中，为方便起见，才是无风险资产。但在现实中，为方便起见，人们常将人们常将1 1年期的国库券或者货币市场基金年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产。当作无风险资产。 二、无风险借贷1 1、无风险贷出（、无风险贷出（risk-free lendingrisk-free lending）即投资者对无风险资产的投资。即投资者对无风险资产的投资。投资者用一部分资金买入无风险资产，意味投资者用一部分资金买入无风险资产，意味着投资在无风险资产的投资比例为正着投资在无风险资产的投资比例为正 。换句。换句话说，允许无风险贷出，等价于无风险资产话说，允许无风险贷出，等价于无风险资产的投资比例大于零。的投资比例大于零。二、无风险借贷2 2、无风险借入（、无风险借入（risk-free borrowingrisk-free borrowing）投资者以无风险利率借入一部分资金，或者投资者以无风险利率借入一部分资金，或者卖空无风险资产，等价于投资在无风险资产卖空无风险资产，等价于投资在无风险资产的投资比例为负。的投资比例为负。在允许无风险借入的情况下，投资者可以有在允许无风险借入的情况下，投资者可以有更多的资金投资于风险资产。更多的资金投资于风险资产。譬如，投资者自有资金譬如，投资者自有资金1 1万元，借入万元，借入1 1万元，万元，共共2 2万元投资于一风险资产。这样，该投资万元投资于一风险资产。这样，该投资者投资于无风险资产和风险资产的投资比例者投资于无风险资产和风险资产的投资比例分别是分别是-100%-100%和和200%200%。二、无风险借贷3 3、无风险利率（、无风险利率（risk-free raterisk-free rate）投资于无风险资产所获得的收益率。投资于无风险资产所获得的收益率。无风险资产的买卖只不过是手段，实质是无风险资产的买卖只不过是手段，实质是存在无风险的借贷市场。存在无风险的借贷市场。三、资本配置线CAL在前面的分析中，有效集上的资产组合都是在前面的分析中，有效集上的资产组合都是由风险资产构成的，这里我们将考虑无风险由风险资产构成的，这里我们将考虑无风险资产纳入投资组合选择之中的情况。资产纳入投资组合选择之中的情况。首先，投资者不仅能投资于风险资产，也首先，投资者不仅能投资于风险资产，也可以投资于无风险资产，可以投资于无风险资产，其次投资者将被允许借入资金，但须支付其次投资者将被允许借入资金，但须支付与贷出相同的利率，即投资者可以卖空一与贷出相同的利率，即投资者可以卖空一定比例的无风险资产。定比例的无风险资产。三、资本配置线CALRf = 7% f = 0%E(rp) = 15% p = 22%xp = % 于于 p(1-xp) = %于于FE(RE(Rc c)=)=风险资产与无风险资产构成的资产组风险资产与无风险资产构成的资产组合收益合收益 c c= =风险资产与无风险资产构成的资产组合的风险资产与无风险资产构成的资产组合的风险风险三、资本配置线CAL由于无风险资产与风险资产的协方差与相关系数由于无风险资产与风险资产的协方差与相关系数为为0 0。所以有：所以有： c c= 0.75 0.22 = 0.165 = 0.75 0.22 = 0.165 或或16.5%16.5%若若x xp p=0.75,=0.75,E(Rc)=0.75 0.15+0.25 0.07=13%E(Rc)=0.75 0.15+0.25 0.07=13%三、资本配置线CAL若若x xp p=1,=1,则则E E（R Rc c)=15%, )=15%, c c=122%=22%=122%=22%若若x xp p=0,=0,则则E E（R Rc c)=7%, )=7%, c c=0=0PFE(r)E(rp)= 15%rf =7%22%0 cE(rc) = 13%CCAL三、资本配置线CAL1 1、理论推导、理论推导假定风险资产和无风险资产在投资组合中的比假定风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为例分别为x xp p和和x xf f，各自的预期收益率分别为，各自的预期收益率分别为E(RE(Rp p) )和和R Rf f，标准差分别为，标准差分别为 p p和和0 0，二者的协方差，二者的协方差显然为显然为0 0，我们可以得到：，我们可以得到：可得可得【1】【2】【3】三、资本配置线CAL将将【3 3】代入代入【1 1】式可得：式可得：【4】式式【4 4】为一元线性函数，在期望收益率为一元线性函数，在期望收益率- -标准标准差坐标平面上，表示截距为差坐标平面上，表示截距为R Rf f ，斜率为，斜率为EE（R RP P RRf f / / p p 的直线。该直线上的点构成的的直线。该直线上的点构成的集合成为投资机会集合，该直线成为资本配置集合成为投资机会集合，该直线成为资本配置线（线（capital allocation line, CAL )capital allocation line, CAL )。三、资本配置线CAL斜率含义为每增加一单位标准差所增加的风险溢含义为每增加一单位标准差所增加的风险溢价，价， 也称为报酬也称为报酬- -波动率比率波动率比率reward-to-reward-to-variabilityvariability，也就是夏普比率。，也就是夏普比率。一般认为一般认为报酬报酬- -波动率比率波动率比率较大为好，因为它较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。险可以增加更多的期望收益。( (参见教材参见教材P129-130P129-130例子例子) )三、资本配置线CALR Rf f c cE(RE(Rc c) )A Aa.a.无风险资产与风险资产的组合无风险资产与风险资产的组合CALCALF FR Rf f c cE(RE(Rc c) )A AB Bb.b.无风险资产与风险资产组合的组合无风险资产与风险资产组合的组合CALCALCALCALCALCALF F三、资本配置线CALa a图中，资本配置线图中，资本配置线FAFA表示投资者在无风险表示投资者在无风险资产资产F F和风险资产和风险资产A A之间不同的配置。之间不同的配置。在在F F点、点、A A点的资产配置比例？点的资产配置比例？FAFA之间与之间与A A点右边的资产配置比例有何不点右边的资产配置比例有何不同？同？B B图中，有三条资本配置线，均表示投资者图中，有三条资本配置线，均表示投资者在无风险资产与风险资产组合之间的配置。在无风险资产与风险资产组合之间的配置。哪哪 一条资本配置线最优一条资本配置线最优 ？2. 2. 无风险借与贷对有效边界的影响无风险借与贷对有效边界的影响 在在同时同时允许无风险借与贷的允许无风险借与贷的情况下，情况下，有效边有效边界将是一条由无风险资产出发，与风险资产有界将是一条由无风险资产出发，与风险资产有效边界相切的射线（？）效边界相切的射线（？）借贷投资，或者做空。借贷投资，或者做空。2. 2. 无风险借与贷对有效边界的影响无风险借与贷对有效边界的影响 2. 2. 无风险借与贷对有效边界的影响无风险借与贷对有效边界的影响 贷出贷出借入借入 CALCAL线的进一步分析线的进一步分析) S = .27PE(r) 9%7%) S = .36 p p = 22% = 22%CALCAL线被线被“向下弯折向下弯折”为什么为什么？四、最优资本配置1 1、最优风险资产组合的确定、最优风险资产组合的确定当资本配置线与有效边界相切的时候最优，切当资本配置线与有效边界相切的时候最优，切点就是最优风险组合。点就是最优风险组合。E(E(R R) )最优风险资产组合最优风险资产组合P PR Rf fT T四、最优资本配置2 2、最优资本配置、最优资本配置上面确定了最优风险资产的组合，即，投资于上面确定了最优风险资产的组合，即，投资于各种风险资产的适当的比例。那么，投资于风各种风险资产的适当的比例。那么，投资于风险资产组合和无风险资产的比例又应该如何确险资产组合和无风险资产的比例又应该如何确定呢？定呢？最优风险资产组合和无风险资产形成了一条资最优风险资产组合和无风险资产形成了一条资本配置线，它与个人的效用无差异曲线群的切本配置线，它与个人的效用无差异曲线群的切点，就是最优的资产配置。点，就是最优的资产配置。个人的风险喜好不同，意味着无差别曲线群不个人的风险喜好不同，意味着无差别曲线群不同，切点亦不同，即，个人最优资产配置不同同，切点亦不同，即，个人最优资产配置不同2、最优资本配置E(R)E(R)F Fr rf fA AP PQQB BCALCAL w资本配置线资本配置线(CAL)(CAL)斜率最大斜率最大的切点组合的切点组合P P是允许借贷下的是允许借贷下的最佳风险组合最佳风险组合；A A是风险厌恶是风险厌恶重投资者的重投资者的最佳最佳( (完整完整) )资产组资产组合合。例例: :最优风险资产组合的比例确定？最优风险资产组合的比例确定？无风险国债无风险国债年收益率年收益率5%债券债券D股票股票E期望收益期望收益%813标准差标准差%1220协方差协方差72相关系数相关系数0.3最大CAL的S设风险资产组合为设风险资产组合为P PS=E(rS=E(rP P )-r)-rf f/ / P PE(rE(rP P)=8W)=8WD D + 13+ 13（1- 1- WWD D ） P P2 2= = 144 144 w wD D2 2 +400 +400 （1- 1- WWD D ）2 2 + + 144 144 WWD D （1- 1- WWD D ）R Rf f=5%=5%求求S S最大，则求最大，则求S S对对WWD D的一阶导数，令导数为的一阶导数，令导数为零。零。最优风险资产组合的比例公式最优风险资产组合的比例公式例子的应用例子的应用WWD D=(8-5)*400-(13-5)*72/ (8-5)*400+(13-5)*144-=(8-5)*400-(13-5)*72/ (8-5)*400+(13-5)*144-(8-5+13-5)*72=0.40(8-5+13-5)*72=0.40WWE E =0.60=0.60最优风险资产组合的收益和方差？最优风险资产组合的收益和方差？此时此时S=(11-5)/14.2=0.42-S=(11-5)/14.2=0.42-最优最优CALCAL的的S S40%40%投在投在D D上上,60%,60%投在投在E E上对应的资产组合是最上对应的资产组合是最优风险资产组合优风险资产组合-资产在股票、债券、国债资产在股票、债券、国债之间配置时风险资产组合内部的最优比例之间配置时风险资产组合内部的最优比例（续）风险资产在全部资产中的比例（续）风险资产在全部资产中的比例给定给定A=4A=4， y y* * =E(r=E(rP P)-r)-rf f/(0.01A /(0.01A P P2 2 ) )y y* *=(11-5)/(0.01*4*14.2=(11-5)/(0.01*4*14.22 2) )y y* *=0.7439=0.7439国债投资比例为国债投资比例为25.61%.25.61%.74.39%74.39%投资风险资产投资风险资产. .全部资产组合构造如下全部资产组合构造如下: :国债投资比例为国债投资比例为25.61%25.61%；债券为债券为74.39%*40%=29.76%74.39%*40%=29.76%；股票为股票为74.39%*60%=44. 63%74.39%*60%=44. 63%. .（看教材（看教材 P P118-119118-119）归纳：完成一个完整资产组合的步骤归纳：完成一个完整资产组合的步骤第一步、确定拟投资各只证券的回报特征第一步、确定拟投资各只证券的回报特征（期望收益，方差和协方差）（期望收益，方差和协方差）第二步、建造风险资产组合：第二步、建造风险资产组合：(1)(1)计算最优风险资产组合计算最优风险资产组合P P，公式如下，公式如下一个完整资产组合的步骤一个完整资产组合的步骤( (续续) )(2)(2)运用运用(1)(1)中确定的权重和如下公式计算风中确定的权重和如下公式计算风险资产组合的收益与方差险资产组合的收益与方差E(rE(rP P)= W)= WD D E(rE(rD D)+ W)+ WE E E(rE(rE E) ) p p2 2 = W= WD D2 2 D D2 2 + W+ WE E 2 2 E E2 2 +2 W +2 WD D W WE E （D D，E E）一个完整资产组合的步骤一个完整资产组合的步骤( (续续) )第三步、把资金配置在风险资产（股票、债第三步、把资金配置在风险资产（股票、债券）和无风险资产（如国债）上。券）和无风险资产（如国债）上。(1)(1)计算风险资产组合计算风险资产组合P P和无风险资产和无风险资产f f（如国如国债）的权重，公式如下：债）的权重，公式如下：y y* * =E(r=E(rP P )-r)-rf f/(0.01A /(0.01A P P2 2 ) )(2)(2)计算出完整的资产组合中投资于每一种风计算出完整的资产组合中投资于每一种风险资产和国债的投资份额。险资产和国债的投资份额。课堂练习股票股票E(rE(rE E) )为为20%20%，方差为，方差为15%15%，债券，债券E(rE(rD D) )为为10%10%，方差为，方差为10%10%。股票与债券的。股票与债券的=-0.5=-0.5。无风险资产收益为无风险资产收益为6.5%6.5%。试计算最优资本配。试计算最优资本配置比例。置比例。 参考答案由于有：由于有：Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=)=DEDE D D E E有有Cov(rCov(rD D，r rZ Z)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123w wD D=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-10-6.5+20-6.5(-6.123)= 46.7%6.510-10-6.5+20-6.5(-6.123)= 46.7%w wE E =1-0.46.7=53.3% =1-0.46.7=53.3%参考答案这这一一最最优优风风险险资资产产组组合合的的期期望望收收益益与与标标准准差差分别为分别为: :E(rE(rP P)=(0.46710)+(0.53320)=15.33%)=(0.46710)+(0.53320)=15.33% 2 2minmin=(0.467=(0.4672 210)+(0.53310)+(0.5332 215)+(215)+(2 0.4670.467 0.5330.533 -6.123) =3.39%-6.123) =3.39%这个最优资产组合的资本配置线的斜率为这个最优资产组合的资本配置线的斜率为S SP P=E(r=E(rB B)-r)-rf f/ B B=(15.33-6.5)/18.4=0.48=(15.33-6.5)/18.4=0.48参考答案风险资产与无风险资产的比率为：风险资产与无风险资产的比率为：y*=E(ry*=E(rp p)-r)-rf f/ 0.01A/ 0.01A2 2p p，假假定定A=4A=4，投投资资者者投投资资于于风风险险资资产产组组合合的的投投资资比例为比例为y=E(ry=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p= (15.33-6.5)/(0.0143.39)=65.12= (15.33-6.5)/(0.0143.39)=65.12参考答案即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的将其投资资金的86.82%86.82%投向股票与债券，投向股票与债券，13.12%13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为比例为46.7%46.7%，股票在风险资产中的比例为，股票在风险资产中的比例为53.3%53.3%，因此，在全部投资资金中应有，因此，在全部投资资金中应有(46.7%86.82%=)40.55%(46.7%86.82%=)40.55%投资于债券，投资于债券，(53.3%86.82%=)46.28%(53.3%86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的投资于股票，剩下的13.12%13.12%投向国库券投向国库券参考答案由由于于风风险险太太小小，应应将将其其资资产产的的100%100%全全投投向向风风险险资资产产。只只有有A A大大于于261261的的时时候候，投投资资者者才才愿愿意意同同时时投投资资于于风风险险资资产产和和无无风风险险资资产产。假假定定A=300A=300，有，有y=(15.33-6.5)/(0.013003.39)=86.82% y=(15.33-6.5)/(0.013003.39)=86.82% 1-y=13.12%1-y=13.12%参考答案即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的会将其投资资金的86.82%86.82%投向股票与债券，投向股票与债券，13.12%13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为的比例为46.7%46.7%，股票在风险资产中的比例，股票在风险资产中的比例为为53.3%53.3%，因此，在全部投资资金中应有，因此，在全部投资资金中应有(46.7%86.82%=)40.55%(46.7%86.82%=)40.55%投资于债券，投资于债券，(53.3%86.82%=)46.28%(53.3%86.82%=)46.28%投资于股票，剩下投资于股票，剩下的的13.12%13.12%投向国库券。投向国库券。