类型一类型一 点动型探究题点动型探究题类型二类型二 线动型探究题线动型探究题类型三类型三 形动型探究题形动型探究题题型六题型六 几何动态综合题几何动态综合题类型一类型一 点动型探究题点动型探究题典例精讲例例 1（2017原创）如图，四边形原创）如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，AB边上的边上的高高DE长为长为4 cm，AE=3 cm，动点，动点P从点从点E出发以出发以1 cm/s的的速度沿折线速度沿折线E-B-C向终点向终点D运动运动,同时动点同时动点Q从点从点B出发以出发以2 cm/s沿折线沿折线B-C-D运动，当其中的一个点到达终点运动，当其中的一个点到达终点D时，时，另一点也随之停止运动，设点另一点也随之停止运动，设点P 的运动时间为的运动时间为t（s）.（1）求线段）求线段BE的长度；的长度；例例1题图题图【思维教练【思维教练】要求要求BE的长度，观察图形的长度，观察图形BE=AB-AE,AE已已知，所以只需求出知，所以只需求出AB，又因为四边形，又因为四边形ABCD是菱形，是菱形，AD=AB,所以求出所以求出AD即可求解即可求解.DEAB,即即AED=90，AE,DE已知，已知，AD在在Rt AED中，用勾股定理即可求得中，用勾股定理即可求得AD的长的长;例例1题图题图解：解： DE为为AB边上的高，边上的高，AED90，又又AE3 cm，DE4 cm，在在RtAED中，中，AD =5 cm，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AB=AD=5 cm，BE=AB-AE=5-3=2 cm；例例1题图题图（2）当点）当点P与点与点B重合时，求点重合时，求点Q到到AB的距离；的距离；【思维教练【思维教练】要求点要求点Q到到AB的距离，过点的距离，过点Q作作AB的垂的垂线线QF,由于由于QF，BF未知，排除勾股定理，题中给出四未知，排除勾股定理，题中给出四边形边形ABCD是菱形，是菱形，BCAD，所以有，所以有QBF=A，因，因为为DE, AD已知已知,想到角度转换，想到角度转换，sinA ，QF即可求解；即可求解；例例1题图题图解：当点解：当点P与点与点B重合时，如解图重合时，如解图，过点，过点Q作作QFAB交交AB延长线于点延长线于点F，此时，此时，t=2 s, BQ=2t=4 cm,四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，BCAD，QBF=A，sinQBFsinA，即即 ，QF= cm，当点当点P与点与点B重合时，点重合时，点Q到到AB的距离为的距离为 cm；例例1题解图题解图F（3）设）设APQ的面积为的面积为S cm2.当点当点P在在BC边上时，求边上时，求S与与t之间的函数关系式；之间的函数关系式；【思维教练思维教练】要求】要求APQ的面积的面积S和运动时间和运动时间t之间的函之间的函数关系式，即是用数关系式，即是用t 的关系式表示出三角形面积，已知点的关系式表示出三角形面积，已知点P,Q运动的路线需分：运动的路线需分：2 st2.5 s，2.5 st5 s两种两种情况情况,分别求出分别求出S与与t 之间的函数关系式之间的函数关系式;例例1题图题图解：要使点解：要使点P 在在BC边上，则点边上，则点P 的运动时间为的运动时间为2stp7s，Q点从点从B点到达点到达D点所用时间点所用时间tQ 5 s，当其中一点到达终点当其中一点到达终点D 时，另一点也随之停止运动，时，另一点也随之停止运动，2 st5 s.当当2 st2.5 s时，时，如解图如解图，点，点Q在在BC 边上，边上，PQBQ-BP2t-(t-2) cm,S= 2t-(t-2)42t+4；例例1题解图题解图当当2.5 st5 s时，时，如解图如解图，点，点Q在在DC上，上，CQ(2t-5) cm，BP(t-2) cm，PC(7-t ) cm，SS四边形四边形ABCQ -SABP -SCPQ = (2t-5+5)4- 5（t-2）- （2t-5） （7-t） t2- t+18.综上所述，综上所述，S与与t之间的函数关系式为：之间的函数关系式为： 2t+4(2t2.5) t2- t+18（2.5t5）；）；S=例例1题解图题解图【思维教练【思维教练】点点Q在线段在线段BC上运动时，需分：上运动时，需分：DQDE，DQEQ，DE=QE三种情况讨论，并建立等三种情况讨论，并建立等量关系即可求解量关系即可求解.（4）当点）当点Q在线段在线段BC上运动时，是否存在上运动时，是否存在DEQ为等腰为等腰三角形三角形.若存在若存在,求出求出t 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.例例1题图题图解：存在解：存在DEQ为等腰三角形为等腰三角形.当当DQDE时，时，如解图如解图，连接，连接DB，由题意得，由题意得，BDEBDQ，DB=DB，DBEDBQ(SAS),BQ=BE=2cm，t=221 s; 例例1题解图题解图DH=EH，点点H为为DE的中点，的中点，QHAB，BQ= BC= cm，t= 2= s;例例1题解图题解图H当当DQEQ时，时，如解图如解图，过点，过点Q作作QHDE于点于点H，当当DEQE时，时，如解图如解图,以以AB所在直线为所在直线为x轴，以轴，以DE所在直线为所在直线为y轴，点轴，点E为原点建立直角坐标系，为原点建立直角坐标系，点点D（0，4），），E（0，0），），B（2，0），），C（5，4），），易求直线易求直线BC的解析式为的解析式为y= x- (x2),设点设点Q的坐标为（的坐标为（m, m- ）,QB2(m-2)2+( m- )2= (m-2)2=(2t)2，m= t+2或或m= - t+2(舍去舍去)，例例1题解图题解图点点Q的坐标为的坐标为( t+2, t),DE=EQ=4 cm，QE2=( t+2)2+( t)2,t= 或或t= (舍去舍去).综上所述，点综上所述，点Q在线段在线段BC上运动时，存在上运动时，存在DEQ为等腰三为等腰三角形，此时角形，此时t的值为的值为1s或或 s或或 s.例例1题解图题解图类型二类型二 线动型探究题线动型探究题典例精讲例例2（2016省卷省卷25，9分分）如图，）如图，BD是正方形是正方形ABCD的对的对角线，角线，BC=2.边边BC在其所在的直线上平移，将通过平移在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为得到的线段记为PQ，连接，连接PA、QD，并过点，并过点Q作作QOBD，垂足为，垂足为O，连接，连接OA、OP. 图图 图图 例例2题图题图【思维教练【思维教练】要判断四边形要判断四边形APQD的形状，观察题图四边的形状，观察题图四边形形APQD可能为平行四边形或菱形，因为四边形可能为平行四边形或菱形，因为四边形ABCD为为正方形，所以正方形，所以AD BC,BC在其所在直线上平移，即在其所在直线上平移，即PQBC，所以判断四边形，所以判断四边形APQD为平行四边形，但是邻边不能为平行四边形，但是邻边不能证明相等，故四边形证明相等，故四边形APQD不是菱形；不是菱形；（1）请直接写出线段）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形在平移过程中，四边形APQD是是什么四边形？什么四边形？解解：四边形：四边形APQD是平行四边形；是平行四边形； 【解法提示【解法提示】由平移的性质知，由平移的性质知，PQ=BC，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADBC，AD=BC，PQAD，PQ=AD，四边形四边形APQD是平行四边形是平行四边形.【思维教练【思维教练】判断判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，我之间的数量关系和位置关系，我们首先根据已知猜测们首先根据已知猜测OA和和OP是相等还是倍数关系，因为题是相等还是倍数关系，因为题中未给出角度和中点一类条件，所以猜测中未给出角度和中点一类条件，所以猜测OA=OP,先观察两先观察两条线段是否在同一个三角形中，若在同一个三角形中，利条线段是否在同一个三角形中，若在同一个三角形中，利用等角对等边，若在两个三角形中，考虑用三角形全等证用等角对等边，若在两个三角形中，考虑用三角形全等证明线段相等，本题明线段相等，本题OA，OP分别在分别在ABO和和PQO中，证中，证明两三角形全等即可求证明两三角形全等即可求证;位置关系我们首先观察图形，先位置关系我们首先观察图形，先猜测是平行还是垂直猜测是平行还是垂直,因为因为OA与与OP相交，所以猜测相交，所以猜测（2）请判断）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以之间的数量关系和位置关系，并加以证明；证明；OAOP，通过证明，通过证明AOP=90即可证明即可证明.由于本题是动线由于本题是动线问题，没有说明线段的移动方向，所以需分问题，没有说明线段的移动方向，所以需分PQ向右移动向右移动和向左移动两种情况讨论；和向左移动两种情况讨论；解：解：OA与与OP的数量关系和位置关系分别为的数量关系和位置关系分别为OA=OP，OAOP.证明：由（由（1）可知，）可知，AB=PQ，当当PQ向右移动时，向右移动时，如解图如解图，由题意得，由题意得ABOOBC=45，OQBD，BOQ为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，例例2题解图题解图BO=OQ，PQO=45，ABO=PQO，在在ABO和和PQO中，中，AB=PQABO=PQOBO=OQ，ABOPQO（SAS），），OA=OP，AOB=POQ，AOP=AOB+BOP=POQ+BOP=90，OAOP；例例2题解图题解图当当PQ向左移动时，向左移动时，如解图如解图，由题意得，由题意得，ABOOBC=45，OQBD，BOQ为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BO=OQ，PQO=45，ABOPQO，在在ABO和和PQO中，中，AB=PQABO=PQO，BO=OQABOPQO（SAS），），例例2题解图题解图OA=OP，OAB=OPQ，AOP=180-OAB-BAP-APO=180-OPB-BAP-APOABP=90，OAOP；例例2题解图题解图【思维教练【思维教练】要求要求y=SOPB和运动距离和运动距离BP=x之间的函数关系之间的函数关系式，即是用式，即是用x的关系式表示出三角形面积，已知的关系式表示出三角形面积，已知BP=x，现在，现在只需表示出底边的高即可只需表示出底边的高即可.因为本题是一道线动问题，线段因为本题是一道线动问题，线段运动方向没有给出，所以需要分运动方向没有给出，所以需要分PQ向右移动和向右移动和PQ向左移动向左移动两种情况讨论并求出最大值即可两种情况讨论并求出最大值即可.（3）在平移变换过程中，设）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0x2）求求y与与x之间的函数关系式，并求出之间的函数关系式，并求出y的最大值的最大值.解：解：当当PQ向右移动时，向右移动时，如解图如解图，BQ=BP+PQ=BP+AB=x+2，在等腰在等腰RtOBQ中，设高为中，设高为h，即，即hBQ，h BQ ,y=SOPB = x = (x+1)2- （0x2），），当当x=2时，时，ymax= (21)2- =2；例例2题解图题解图当当PQ向左移动时，向左移动时，如解图如解图，BQ=PQ-BP=2-x，同理，同理，h= ，y=SOPB = x =- (x-1)2+ （0x2），），当当x=1时，时，ymax=- (1-1)2 = .综上所述，当综上所述，当PQ向右移动时，且向右移动时，且BPx2时，时，y的最大值的最大值是是2.例例2题解图题解图类型三类型三 形动型探究题形动型探究题典例精讲例例3（2013省卷省卷25，9分分）有一副直角三角板，在三角板）有一副直角三角板，在三角板ABC中，中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板，在三角板DEF中，中，FDE=90，DF=4，DE=4 .将这副直角三角板按如图将这副直角三角板按如图所示位置摆放，点所示位置摆放，点B与点与点F重合，直角边重合，直角边BA与与FD在同一在同一条直线上条直线上.现固定三角板现固定三角板ABC，将三角板，将三角板DEF沿射线沿射线BA方方向平行移动，当点向平行移动，当点F运动到点运动到点A时停止运动时停止运动.例例3题图题图【思维教练【思维教练】要求要求EMC的度数，已知的度数，已知FDE=90，AB=AC6,DF=4，DE=4 ,根据等腰直角三角形性质和根据等腰直角三角形性质和三角函数分别求得三角函数分别求得ACB 和和E 的度数，观察图形的度数，观察图形E+EMC=ACB，EMC的度数即可求解的度数即可求解;（1）如图）如图，当三角板，当三角板DEF运动到点运动到点D与点与点A重合时，设重合时，设EF与与BC交于点交于点M，则，则EMC=_度；度；【解法提示【解法提示】BAC=FDE=90，AB=AC=6，DF4，DE4 ，ACB=45,E=30,EMC=ACB-E=15.解解：（1）15；【思维教练【思维教练】要求要求FC的长，观察图形的长，观察图形FC在在RtACF中，中，考虑用勾股定理或者锐角三角函数求解，考虑用勾股定理或者锐角三角函数求解，AC已知，由已知，由（1）知）知ACF的度数，所以用锐角三角函数即可求解的度数，所以用锐角三角函数即可求解;（2）如图）如图，在三角板，在三角板DEF运动过程中，当运动过程中，当EF经过点经过点C时，求时，求FC的长；的长；（2）在）在RtACF中，中，AC=6，EF经过点经过点C，则，则DEAC，ACF=E=30，cosACF= ，FC = ；【思维教练【思维教练】要求三角板要求三角板DEF运动过程中，两三角形重叠运动过程中，两三角形重叠部分的面积部分的面积y与与x的函数解析式，这是一道形动问题，所以的函数解析式，这是一道形动问题，所以需分：需分： 0x2, 2x6-2 , 6-2 x6,三种情况讨三种情况讨论，并利用面积的和差或面积公式即可求解论，并利用面积的和差或面积公式即可求解.（3）在三角板）在三角板DEF运动过程中，设运动过程中，设BF=x，两块三角板重，两块三角板重叠部分的面积为叠部分的面积为y，求，求y与与x的函数解析式，并求出对应的的函数解析式，并求出对应的x取值范围取值范围.（3）如解图）如解图，过点，过点M作作MNAB于点于点N，则则MNDE，NMB=B=45，NB=NM，FN=NB-BF=MN-x.MNDE，FMNFED， ，即，即 ，MN= .例例3题解图题解图N当当0x2时，时，如解图如解图，设设DE与与BC相交于点相交于点G ，则则DG=DB=4+x，y=SBGD -SBMF = DBDG- BFMN= (4+x)2- x ，即即y= x2+4x+8；例例3题解图题解图N当当2x6-2 时，时，如解图如解图，y=SBCA -SBMF = AC2- BFMN= 36- x即即y= x2+18； 例例3题解图题解图当当6-2 x6时，时，如解图如解图，设，设AC与与EF交于点交于点H，AF=6-x，AHF=E=30，AH= AF= (6-x)，y=SFHA = （6-x） （6-x）= (6-x)2.综上所述，当综上所述，当0x2时，时，y= x2+4x+8； 当当2x6-2 时时，y= x2+18；当当6-2 x6时，时，y= (6-x)2.例例3题解图题解图