从一道几何题谈起Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点E为为边边BC的中点，的中点，AEF=90，EF交正方形外交正方形外角的平分线角的平分线CF于点于点F求证：求证：AE=EF【 题题 目目 】【 解解 法法 】M解法解法1解法解法2解法解法3MM【 解解 法法 】解法解法4解法解法5解法解法6MMM【 解解 法法 】解法解法7最后最后MN【 拓展一：拓展一：E点变化点变化 】M【 拓展一：拓展一：E点变化点变化 】M【 拓展二：正方形变化拓展二：正方形变化 】M 四边形四边形ABCD是矩形（是矩形（BCAB），点），点E为边为边BC上的点，上的点，AEF=90，EF交矩形外角的平分交矩形外角的平分线线CF于点于点F试问边试问边BC上是否存在点上是否存在点E，使得，使得EF = AE？若存在，请求出点？若存在，请求出点E的位置；若不存在，的位置；若不存在，请说明理由请说明理由【 拓展二：正方形变化拓展二：正方形变化 】M 四边形四边形ABCD是矩形（是矩形（BCAB），点），点E为为直线直线BC上的点，上的点，AEF=90，EF交矩形外角的交矩形外角的平分线平分线所在直线所在直线CF于点于点F试问直线试问直线BC上是否存在点上是否存在点E，使得使得EF = AE？若存在，请求出点？若存在，请求出点E的位置；若不的位置；若不存在，请说明理由存在，请说明理由【 拓展二：正方形变化拓展二：正方形变化 】 四边形四边形ABCD是矩形（是矩形（BCAB），点），点E为为直线直线BC上的点，上的点，AEF=90，EF交矩形外角的交矩形外角的平分线平分线所在直线所在直线CF于点于点F试问直线试问直线BC上是否存在点上是否存在点E，使得使得EF = AE？若存在，请求出点？若存在，请求出点E的位置；若不的位置；若不存在，请说明理由存在，请说明理由M【 拓展二：正方形变化拓展二：正方形变化 】M【 拓展三：数字化拓展三：数字化 】 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AB=n，BC=m，且，且m = tn（t1），点），点E为边为边BC上的点，上的点，AEF=90，EF交矩形外角的平分线交矩形外角的平分线CF于点于点F试探究点试探究点E在边在边BC的何处时，使得的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？成立？解：设解：设BE=a，FH = h，则，则EH = BHBE = h + ma由由 AEF = 90 ，EAO =FEH，得，得 ABEEHF， EF =（t + 1）AE等价于等价于 FH =（t + 1）BE，即即h =（t + 1）a，且且AB EH=BE FH，即，即 ，整理得整理得 nh = ah + ama2， 把把h =（t + 1）a 代入得代入得 ，即即 ma =（t + 1）（）（na）而而 m = tn，因此，因此 tna =（t + 1）（）（na）化简得化简得 ta = n，解得，解得 t1， nm，故故E在在BC边上边上当当E在在BC边上且离边上且离B点距点距离为离为 处时满足条件处时满足条件H