第第2 2节圆与方程节圆与方程 考纲展示考纲展示 1.1.掌握确定圆的几何要素掌握确定圆的几何要素, ,掌握圆的标掌握圆的标准方程与一般方程准方程与一般方程. .2.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想. .知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.圆的定义与方程圆的定义与方程(1)(1)圆的定义圆的定义在平面内在平面内, ,到到 的距离等于的距离等于 的轨迹叫做圆的轨迹叫做圆. .(2)(2)圆的方程圆的方程定点定点定长的点定长的点标准标准方程方程 . .圆心圆心 , ,半径半径 . .一般一般方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0(D(D2 2+E+E2 2-4F0)-4F0) 圆心圆心.半径半径 .(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(a,b) (a,b) r r2.2.点点A(xA(x0 0,y,y0 0) )与与C C的位置关系的位置关系(1)(1)几何法几何法|AC|r|AC|r|AC|r点点A A在圆外在圆外. .(2)(2)代数法代数法(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rrr2 2点点A A在圆外在圆外. .对点自测对点自测D DC C3.3.圆心在圆心在y y轴上且过点轴上且过点(3,1)(3,1)的圆与的圆与x x轴相切轴相切, ,则该圆的一般方程是则该圆的一般方程是 . .解析解析: :设圆心为设圆心为(0,b),(0,b),半径为半径为r,r,则则r=|b|,r=|b|,所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2, ,因为点因为点(3,1)(3,1)在圆上在圆上, ,所以所以9+(1-b)9+(1-b)2 2=b=b2 2, ,解得解得b=5,b=5,所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+y+y2 2-10y=0.-10y=0.答案答案: :x x2 2+y+y2 2-10y=0-10y=04.(4.(教教 材材 改改 编编 题题 ) )圆圆 C C的的 圆圆 心心 在在 x x轴轴 上上 , ,并并 且且 过过 点点 A(-1,1)A(-1,1)和和 B(1,3),B(1,3),则则 圆圆 C C的的 方方 程程 为为 . .答案答案: :(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10=105.5.下面结论正确的是下面结论正确的是. .确定圆的几何要素是圆心与半径确定圆的几何要素是圆心与半径. .已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则以则以ABAB为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-)+(y-y y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0.)=0.方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.方程方程x x2 2+2ax+y+2ax+y2 2=0=0一定表示圆一定表示圆. .圆圆x x2 2+2x+y+2x+y2 2+y=0+y=0的圆心是的圆心是( (1, 1, ) ). .若点若点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外外, ,则则+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F0.+F0.答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识(1)(1)求圆的方程求圆的方程, ,一般采用待定系数法一般采用待定系数法. .若已知条件与圆的圆心和半径有关若已知条件与圆的圆心和半径有关, ,可设圆的标准方程可设圆的标准方程; ;若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径, ,可选择设圆的一般方程可选择设圆的一般方程. .(2)(2)在求圆的方程时在求圆的方程时, ,常用到圆的以下几个性质常用到圆的以下几个性质: :圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ;圆心在任一弦的垂直平分线上圆心在任一弦的垂直平分线上; ;两圆内切或外切时两圆内切或外切时, ,切点与两圆圆心三点共线切点与两圆圆心三点共线. .反思归纳反思归纳【跟踪训练【跟踪训练1 1】 (1)( (1)(20182018合肥二模合肥二模) )已知圆已知圆C:(x-6)C:(x-6)2 2+(y-8)+(y-8)2 2=4,O=4,O为坐标原为坐标原点点, ,则以则以OCOC为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为( () )(A)(x-3)(A)(x-3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=100=100(B)(x+3)(B)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=100=100(C)(x-3)(C)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=25(D)(x+3)(D)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=25答案答案: :(1)C (1)C 答案答案: :(2)(x-2)(2)(x-2)2 2+y+y2 2=9 =9 (2)(2)求求y-xy-x的最大值和最小值的最大值和最小值; ;(3)(3)求求x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值. .反思归纳反思归纳把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题, ,充分体现了数形结合以充分体现了数形结合以及转化的数学思想及转化的数学思想, ,其中以下几类转化极为常见其中以下几类转化极为常见: :(1)(1)形如形如m= m= 的最值问题的最值问题, ,可转化为动直线斜率的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题; ;(2)(2)形如形如t=ax+byt=ax+by的最值问题的最值问题, ,可转化为动直线截距的最值问题可转化为动直线截距的最值问题; ;(3)(3)形如形如m=(x-a)m=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2的最值问题的最值问题, ,可转化为两点间距离的平方的最值问题可转化为两点间距离的平方的最值问题. .考查角度考查角度2:2:与圆有关的距离、面积的最值问题与圆有关的距离、面积的最值问题【例例3 3】 设设P P为直线为直线3x-4y+11=03x-4y+11=0上的动点上的动点, ,过点过点P P作圆作圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的两的两条切线条切线, ,切点分别为切点分别为A,B,A,B,则四边形则四边形PACBPACB的面积的最小值为的面积的最小值为. .反思归纳反思归纳(1)(1)若点若点P P在半径为在半径为r r的圆的圆C C内内, ,则点则点P P与圆与圆C C上任意一点的距离上任意一点的距离d d的取值范围为的取值范围为r-r-|PC|dr+|PC|.|PC|dr+|PC|.(2)(2)若点若点P P在半径为在半径为r r的圆的圆C C外外, ,则点则点P P与圆与圆C C上任意一点的距离上任意一点的距离d d的取值范围为的取值范围为|PC|-rd|PC|+r.|PC|-rd|PC|+r.(3)(3)设直线设直线l l与圆与圆C(C(半径为半径为r)r)相离相离, ,圆心圆心C C到直线到直线l l的距离为的距离为d,d,则圆则圆C C上点到上点到l l的最的最小距离为小距离为d-r,d-r,最大距离为最大距离为d+rd+r考查角度考查角度3:3:与圆有关的范围问题与圆有关的范围问题【例例4 4】 设点设点M(xM(x0 0,1),1),若在圆若在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1上存在点上存在点N,N,使得使得OMN=45OMN=45, ,则则x x0 0的的取值范围是取值范围是 . .答案答案: :-1,1-1,1反思归纳反思归纳与圆有关的参数范围问题常见思路与圆有关的参数范围问题常见思路(1)(1)直接利用条件直接利用条件, ,画出几何图形画出几何图形, ,结合图形用几何法求参数的范围结合图形用几何法求参数的范围. .(2)(2)根据位置关系列不等式组根据位置关系列不等式组, ,用代数法求参数范围用代数法求参数范围. .(3)(3)构造关于参数的函数关系构造关于参数的函数关系, ,借助函数思想求参数的范围借助函数思想求参数的范围. .【跟踪训练跟踪训练4 4】 ( (20182018徐州一模徐州一模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,若圆若圆C C1 1:x:x2 2+(y-1)+(y-1)2 2= = r r2 2(r0)(r0)上存在点上存在点P,P,且点且点P P关于直线关于直线x-y=0x-y=0的对称点的对称点Q Q在圆在圆C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1上上, ,则则r r的取值范围是的取值范围是. .考点三与圆有关的轨迹问题考点三与圆有关的轨迹问题【例例5 5】 已知圆已知圆x x2 2+y+y2 2=4=4上一定点上一定点A(2,0),B(1,1)A(2,0),B(1,1)为圆内一点为圆内一点,P,Q,P,Q为圆上的动点为圆上的动点. .(1)(1)求线段求线段APAP中点的轨迹方程中点的轨迹方程; ;解解: :(1)(1)设设APAP的中点为的中点为M(x,y),M(x,y),由中点坐标公式可知由中点坐标公式可知,P,P点坐标为点坐标为(2x-2,2y).(2x-2,2y).因为因为P P点在圆点在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,所以所以(2x-2)(2x-2)2 2+(2y)+(2y)2 2=4.=4.故线段故线段APAP中点的轨迹方程为中点的轨迹方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.(2)(2)若若PBQ=90PBQ=90, ,求线段求线段PQPQ中点的轨迹方程中点的轨迹方程. .解解: :(2)(2)设设PQPQ的中点为的中点为N(x,y).N(x,y).在在RtPBQRtPBQ中中,|PN|=|BN|,|PN|=|BN|,设设O O为坐标原点为坐标原点, ,连接连接ON,ON,则则ONPQ,ONPQ,所以所以|OP|OP|2 2=|ON|=|ON|2 2+|PN|+|PN|2 2=|ON|=|ON|2 2+|BN|+|BN|2 2, ,所以所以x x2 2+y+y2 2+(x-1)+(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.故线段故线段PQPQ中点的轨迹方程为中点的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2-x-y-1=0.-x-y-1=0.反思归纳反思归纳求与圆有关的轨迹问题常用以下方法求与圆有关的轨迹问题常用以下方法: :(1)(1)直接法直接法: :直接根据题目提供的条件列方程直接根据题目提供的条件列方程. .(2)(2)定义法定义法: :根据圆、直线等定义列方程根据圆、直线等定义列方程. .(3)(3)几何法几何法: :利用圆与直线的几何性质列方程利用圆与直线的几何性质列方程. .(4)(4)代入法代入法: :找到所求点与已知点的关系找到所求点与已知点的关系, ,利用已知点满足的关系式列方程利用已知点满足的关系式列方程. .【跟踪训练跟踪训练5 5】 设定点设定点M(-3,4),M(-3,4),动点动点N N在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上运动上运动, ,以以OM,ONOM,ON为邻边作为邻边作平行四边形平行四边形MONP,MONP,求点求点P P的轨迹的轨迹. .备选例题备选例题【例例2 2】 ( (20182018朝阳区二模朝阳区二模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,点点P(P(不过原点不过原点) )到到x x轴轴,y,y轴的距离之和的轴的距离之和的2 2倍等于点倍等于点P P到原点距离的平方到原点距离的平方, ,则点则点P P的轨迹所围成的图形的轨迹所围成的图形的面积是的面积是. .答案答案: :8+48+4【例【例3 3】 ( (20182018大连模拟大连模拟) )点点P(1,2)P(1,2)和圆和圆C:xC:x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0上的点的距离上的点的距离的最小值是的最小值是. .答案答案: :2 2点击进入点击进入应用能力提升应用能力提升