1 1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用复合型数阵图【例例 1 1】 由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有 9 个,老师将这 9 个数写在一个九宫格上,让同学选数,每个同学可以从中选 5 个数来求和小刚选的 5 个数的和是 120,小明选的 5 个数的和是 111如果两人选的数中只有一个是相同的,那么这个数是_313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,决赛,3 题【分析】这 9 个数的和：11 1213212223313233【分析】 10203031233198 （）（）【分析】由小刚和小明选的数中只有一个是相同的,可知他们正好把这 9 个数全部都取到了,且有一个数取了两遍所以他们取的数的总和比这 9 个数的和多出来的部分就是所求的数那么,这个数是120111 19833例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-1-3-2.5-1-3-2.数阵图数阵图2【答案】33【例例 2 2】 如图 1,圆圈内分别填有 1,2,7 这 7 个数.如果 6 个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是 64,那么,中间圆圈内填入的数是 .【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第 5 题,5 分【解析】2【答案】2【例例 3 3】 如下图（1）所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和. 117894【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】为叙述方便,先在每个圆圈内标上字母,如图（2）, 2acb49817则有 a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c）+56=3（a+b+c）,a+b+c=28,则 a=28（4+9）=15,b=28（8+9）=11, c=28-（17+9）=2 解：见图.1789411215【答案】1789411215【例例 4 4】 请你将数字 1、2、3、4、5、6、7 填在下面图（1）所示的圆圈内,使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填?3【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】为了叙述方便,将各圆圈内先填上字母,如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k,2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k,2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k,56+A=5k.,因为 56+A 为 5 的倍数,得 A=4,进而推出 k=12,因为在 1、2、3、5、6、7 中,1+5+6=7+3+2=12,不妨设 B=1,F=5,D=6,则 C=12-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.,解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例例 5 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数,各数互不相等,每个圆圈有 3 个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈.将左下图中每个圆圈中的数改为 3 个相邻圆圈所填数的平均值,便得到右下图.如果左下图中已有一个数 1,请填出左下图中的其它数,使得右下图中的数都是自然数.【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 10 题,10 分【解析】答案不唯一.要求四个灰色圆圈中所填的数除以 3 的余数相同,另外四个圆圈中所填的数除以 3 的余数也相同.注：题中左、右两图是两个不同的图,左图要求各数互不相同(见答案),右图中各数是根据左图改的,只要求是自然数,可以相同.【答案】【例例 6 6】 将 1 至 8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的:内,并使每个面上的四个:内的数字之和都相等.求与填入数字 1 的:有线段相连的三个:内的数的和的最大值.4 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第 13 题,15 分【解析】因为 1 到 8 的和为 36,而上面四个数的和等于下面四个数的和,所以都为 18.因为每个面的数字和相等,所以一个面上应当大小数搭配,也就是说,和最小的数字 1 在同一个面上的应该有较大的数.尝试最大的三个数 8,7,6,则和 1,8,7 在同一个面上的数应该是 18-1-8-7=2,和 1,8,6 在同一个面上的数应该是 18-1-8-6=3,和 1,7,6 在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是 18-1-7-6=4,剩下一个 5 填在剩下的中,经检验,符合题意,那么与 1 相连的三个的和是6782161827453【答案】21【例例 7 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内,使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等18-c-d18-b-cc+d-6b+c-612-d12-c12-bdcb61110987543216【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析解析解析】设左下角的数为a,每条直线上的三个数的和为S由于这 11 个数的和为121166从左下角引出的5条直线的总和为5S,其中左下角的数多计算了 4 次,则5664Sa;又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466Sa从而结合上面的两个式子可得18S ,6a ,即左下角的数为 6,每条线上的数之和为 18再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b,c,d,于是可得各个圆圈中的数如图所示除 6 以外的 10 个数分别为：b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,6bc,6cd由于18121818bcccd,得到330bcd,即303bdc所以,只要选取适当的b,c,d的值,使得上面的 10 个数各不相同即可比如,选择9c ,1b ,2d ,则可得到如右上图所示的一种填法本题答案不唯一,下面再给出两种填法.3105279486111 5498371021116【答案】3105279486111 54983710211165【例例 8 8】 在下图中,在每个圆圈中填入一个数,使每条直线上所有圆圈中数的和都是 234,那么标有的圆圈中所填的数是_ fedcba【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,决赛,11 题【分析】为表述方便,将圆圈中数用字母替代（如右图） 【分析】根据题意,有【分析】234af 【分析】234bc 【分析】234ed 【分析】234abe 【分析】234cdf 【分析】,有3234,即234378【答案】78【例例 9 9】 请将 1,2,3,10 这 10 个自然数填入图中的 10 个小圆圈内,使得图中的 10 条直线上圆圈内数字之和都相等那么乘积ABC ?CBA【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,决赛,10 题【解析解析解析】对于本题,可以通过“10 条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是 11 条)这一等量关系,将每一个小圆圈中的数表示出来由于每一条直线上的数之和都为ABC,可得图中每一个小圆圈中的数如下图.2CA-C3CA+2CB-2CB-CA+CABC由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段,它们的数字和都是ABC,可以得到,332ABCBCAC,可得2ABC,代入得2333BCBC,即6BC,只能是1C ,6B ,28ABC,则86 148ABC 【答案】86 148ABC 【例例 10 10】下图中有 11 条直线请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数6【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析解析解析】设每行的和为S,在左下图中,除了a出现 2 次,其他数字均只出现了 1 次,并且每个数字都出现了,于是有4(12311)66Saa;a a在右上图中除了a出现 5 次,其他数字均只出现了 1 次,并且每个数字都出现了,于是有5(12311)4664Saa综合以上两式,4665664SaSa,解得6a ,18S 考虑到含有*的五条线,有4(12311)18 590t ,即424t 可见t是 4 的倍数,在 111 间可能为 4 和 8,但t为 8 时也为 8,重复所以4t ,7即每行相等的和为 18,标有*的圆圈中所填的数为 7最终的填法如右下图t 1110987654321【答案】1110987654321【例例 11 11】 “美妙的数学花园”这 7 个字各代表 17 中的一个数,并且每个圆中 4 个数的和都是 15.如果学比美大,美比园大,那么,园表示 .【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】 （走美杯 3 年级决赛第 11 题,12 分）【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：1、2、5、7;2、3、4、6;1、3、74、7;1、3、5、6需要从其中选出3组,其中每两个组间都有两个相等的数,且这三组都含有同一个数,分析发现这三组可为、或、,当这三组数为、时即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3,5,6其中、公有的是1,7;、公有是1,5;、公有1,3,即“妙,花,数”应为3,7,5其中之一则剩下数字2,4,6应为美、学、园其中之一又因为学美园,所以学6,美4,园2当这三组数为、时同样的方法可分析出园2 5 4 1 7 3 6 2【答案】2【例例 12 12】图 2 中的五个问号分别表示五个连续的自然数,它们的和等于 130,三角形内两个数的和等于 53,圆内三个数的和等于 79,正方形内两个数的和等于 50.那么,从左向右,这五个问号依次是 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 5 题,5 分【解析】根据题意答案为：25,28,27,24,26【答案】25,28,27,24,26【例例 13 13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志请将19:分别填入五个圆相互分割的九个部分,并且使每个圆环内的数字之和都相等【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空 【解析解析解析】设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于19:的和45再加上两两重叠处的四个数之和而两两重叠处的四个数之和最小是123410,最大是678930,所以,5453075k ,5451055k ,即1115k当11k ,13,14时可得四种填法(见右下图)dcba987654321123456789123456789987654321当15k 时,如右上图,设两两重叠处的四个数分别为a,b,c,d,由上面的分析可知,a,b,c,d分别为6,7,8,9,由于6915,7815,那么,不论a为多少,最左边的数总是会与b,c,d中的某一个相同,矛盾所以当15k 时没有符合题意的填法当12k 时,1254515abcd如果a,b,c,d中有一个数为3,比如3a ,那么12bcd,这样与b,c在同一个圆内的那个数将与d相同可见a,b,c,d都不能为3如果a,b,c,d中至少有3个数大于3,那么它们至少为4,5,6,另一个数至少为1,它们的和将不小于145616,矛盾所以a,b,c,d中至少有2个数小于3,这2个数只能为1和2,那么另两个数之和为12如果这两个数中有一个为a或者d,那么最左边或者最右边的数将与a,b,c,d中的某一个相同,矛盾;如果这两个数为b和c,那么与b,c在同一个圆内的那个数将只能为0,这也不可能出现所以当12k 时也没有符合题意的填法8【答案】当11k ,13,14时可得四种填法987654321123456789123456789987654321【例例 14 14】2008 年奥运会在北京举行.“奥” 、 “运” 、 “会” 、 “北” 、 “京”这五个汉字代表五个连续的自然数,将其分别填在五环图案的五个环内,满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”.这五个自然数的和最大是 .【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,四年级,初赛,第 2 题）【解析解析解析】不妨设最小一个数是 x,那么这 5 个数是 x,x+1,x+2,x+3,x+4.但无法将它们对应,但无论怎么样,列出的方程一定是这个形式的：（x+a）+（x+b）+（x+c）=（x+d）+（x+e）,其中 a、b、c、d、e 分别是 0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e）-（a+b+c）,如果连续 5 个自然数最大,那么最小的那个自然数也必须取得最大,显然减号前是 3、4,减号后 0、1、2 时,x 取得最大值 4,所以这 5 个数是4、5、6、7、8,和为 30【答案】30【例例 15 15】如图,A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九个各不相同的正整数,且每个圆中所填数的和都等于2008.这九个数总和最小为 .【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 12 题,15 分【解析】假设9个数总和是M,则MABCDEFGHI,上面三个环的总和为：32008MCG,所以当12CG 时,总和最小为2008336027 .【答案】6027【例例 16 16】如图,A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九个各不相同的正整数,A,B,C,D,E,F,G,H,I的总和是2008,并且每个圆中所填的数和都等于M.(1)M最大为多少?(2)M最小为多少?【考点】复合型数阵图 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 11 题,15 分【解析】上面三个环里数的和为3M,32008MCG,32008MCG,所以M最大可以取668,此时C,G分别为1,3.五环的和是52008MBDFH,要使M最小,只要取BDFH最小为12,此时404M .9【答案】最大668,最小12【例例 17 17】将数字 19 分别填在下图空白的正六边形格子中,使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同,且到写有另一个给定数字的格为止）.例如：20,22,19ABCDEFGHCIJKMN。当填写完后,字母 C 处所写的数字是_.DCAHEGMFIBKN102720282269192410202026J23A.4 B. 5 C. 7 D. 9【考点】复合型数阵图 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,复试,7 题【解析解析解析】3l4lC,提示：在下图中,直线1l上的6个数之和是,只有12345722,直线2l上的5个数之和是35,只有5678935,所以G等于5或7;直线3l上的4个数之和是12,只有：123612或124512,再考虑到G等于5或7,得到5,1GM或2或4.直线4l上的3个数之和是20,并且1M 或2或4,只有47920,所以4M ,再考虑到1l上的数不大于7,所以7C .下图是一种填法（填法不唯一）.31254173484595917178213129212352392620201024199622282027106【答案】C=7.【例例 18 18】用数字1至9填满空格,一个格子只能填入一个数字,每个数字在每一行,每一列（相连或不相连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次.【考点】数阵图与数论 【难度】5 星 【题型】填空10【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 11 题,12 分【解析】如图1,因为a、b、c、d所在列已经出现8,所以a、b、c、d不等于8,在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知8e ,那么g、f不等于8,而在h、i所在的列中出现了数字8,所以h、i不等于8,那么8j ,之后用同样的方法可以得出结果如图2.hgifjedcba661287383719954 1732458194139278593645716254187623 245991738378216646258【答案】【例例 19 19】用 l9 填满三角形空格,一个格子只能填入一个数字,使每个数字在每一行,每一列(包括不相连的行,列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次【考点】数阵图与数论 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】走美杯,初赛,六年级,第 10 题【解析】解题顺序如第二附图,依照 A、B、C、D的顺序.