二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五章 :一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数单值函数满足:1)2) 在上证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 , 因此有那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 那么:说明说明: :1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例1. 计算计算解解: 令令那么 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 且:例例2. 计算计算解解: 令令那么 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 且 :例例3.证证:(1) 假设(2) 假设偶倍奇零偶倍奇零机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (P237 例5):例例4：假：假设设在0，1上连续，证明由此计算证：（证：（1设设:(2) 设故:二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. 那么证证:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例5. 计算计算解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :例例6. 计算计算解：解：而故:例例7. 计算计算解：解：:例例8. 证明证明证证: 令令 n 为偶数 n 为奇数那么令那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (P240 例13):由此得递推公式于是而故所证结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习1.提示提示: 令令那么:2. 设设解法解法1解法解法2对已知等式两边求导,考虑考虑:若改题为提示提示: 两边求导两边求导, 得得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 得:3. 设设求解解:(分部积分分部积分)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :作业作业P241 1(2) , (9) , (13) ; 2 (2), (12)； 3(5) ； 12 习题课 目录 上页 下页 返回 完毕 :备用题备用题1. 证明证明 证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :解：解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分= 左端机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :