二面角 从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫叫做做二二面面角角, 这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的棱的棱, 这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.一一、二面角的定义二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角 ABP l1、定义、定义二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端以二面角的棱上任意一点为端点点, 在两个面内分别作垂直于棱的在两个面内分别作垂直于棱的两条射线两条射线, 这两条射线所成的角叫这两条射线所成的角叫做二面角的平面角做二面角的平面角A1B1 P1 注意注意: :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内 l P ABABP l ABO lP定义法定义法三垂线三垂线( (逆逆) )定理法定理法垂面法垂面法二面角 ABP M N C DO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OC AB交交PM 于于C，在在 内作内作OD AB交交PN于于D，连结连结CD，可得：，可得：设设PO = = a ， BPM = =BPN = = 45CO=a，DO=a， PC a ， PD a又又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90二面角例例1. .如图如图, ,已知已知P是二面角是二面角 棱上一点，过棱上一点，过 P 分别在分别在 、 内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN= =600， BPM =BPN = =450，求此二面角的度数。求此二面角的度数。 COD是二面角是二面角 的平面角的平面角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”定义法定义法 ABC D 例例2. A为为二二面面角角 CD 的的棱棱CD上上一一点点，AB在在平平面面 内内且且与与棱棱CD成成45角角，又又AB与与平平面面 成成30，求求二二面角面角 CD 的大小。的大小。二面角CO解：作解：作BC于于C，连结，连结AC 过过C作作CO CD于于O，连结，连结OB由三垂线定理可得：由三垂线定理可得： BO CD BOC是二面角是二面角 的平面角的平面角则则 所求二面角的大小为所求二面角的大小为45设设AO =a 在在Rt AOB中，中，BO=a, AB= a 在在Rt ACB中，中， BAC= 30, AB= a, BC= a 在在Rt BCO中，中，sin BOC=三垂线定理三垂线定理解：解： ABP lO二面角例例 3 如如 图图 P 为为 二二 面面 角角 内内 一一 点点 ，PA , ,PB , , 且且PA= =5，PB=8，AB = =7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 设过设过PA、PB 的平面的平面PAB 与棱与棱l 交于交于O 点点PA PA l PB PB l l 平面平面PAB AOB为二面角为二面角 的平面角的平面角又又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得 P = 60 AOB=120 所求二面角的度数为所求二面角的度数为120垂垂面面法法小小结结二面角一、二面角的定义：一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。 二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1 1、二面角的平面角必须满足、二面角的平面角必须满足 三个条件三个条件2 2、二面角的平面角的大小与、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关其顶点在棱上的位置无关3 3、二面角的大小用它的平面、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量角的大小来度量 1、定义法、定义法2、三垂线（逆）定理法、三垂线（逆）定理法3、垂面法、垂面法1 1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2 2、证明、证明 1 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3 3、计算所求的角、计算所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”1、如如图图，AB是是圆圆的的直直径径，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是练练 习习:OABCP60二面角2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个二面角的度数是多少？个二面角的度数是多少？PlAB作作业业1：已已知知RtABC在在平平面面 内内，斜斜边边AB在在30的的二二面面角角 - -AB- - 的的棱棱上上, ,若若AC=5，BC=12, ,求求点点C 到到平平面面 的的距离距离CO。 AC BOD作作业业2：在在平平面面四四边边形形ABCD中中，AB=BC=2, ,AD=CD= , , B=120；将将三三角角形形ABC沿沿四四边边形形ABCD的的对对角角线线AC折折起起来来，使使DB= ，求求ABC所所在在平平面面与与ADC所所在在平平面面所成二面角的平面角的度数。所成二面角的平面角的度数。ABC BDO二面角 ODC BOB作作业业