第第9 9节函数模型及其应用节函数模型及其应用知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.函数模型应用常见的有哪三种情形函数模型应用常见的有哪三种情形? ?提示提示: :(1)(1)利用给定的函数模型解决实际问题利用给定的函数模型解决实际问题; ;(2)(2)建立确定性函数模型解决实际问题建立确定性函数模型解决实际问题; ;(3)(3)建立拟合函数模型解决实际问题建立拟合函数模型解决实际问题. .2.2.应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些? ?提示提示: :(1)(1)审题审题;(2);(2)建模建模;(3);(3)求模求模;(4);(4)还原还原. .知识梳理知识梳理 1.1.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性单调单调 函数函数单调单调 函数函数单调单调 函数函数增长速度增长速度越来越越来越 . .越来越越来越 . .相对平稳相对平稳图象的图象的变化变化随随x x值增大值增大, ,图象与图象与y y轴接近平行轴接近平行随随x x值增大值增大, ,图象图象与与x x轴接近轴接近平行平行随随n n值变化而值变化而不同不同递增递增递增递增递增递增快快慢慢ax+bax+b axax2 2+bx+c+bx+c3.3.解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤(1)(1)审题审题: :弄清题意弄清题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,理顺数量关系理顺数量关系, ,初步选择数学模型初步选择数学模型; ;(2)(2)建模建模: :将自然语言转化为数学语言将自然语言转化为数学语言, ,将文字语言转化为符号语言将文字语言转化为符号语言, ,利用利用数学知识数学知识, ,建立相应的数学模型建立相应的数学模型; ;(3)(3)解模解模: :求解数学模型求解数学模型, ,得出数学结论得出数学结论; ;(4)(4)还原还原: :将数学问题还原为实际问题的意义将数学问题还原为实际问题的意义. .以上过程用框图表示如下以上过程用框图表示如下: :【重要结论【重要结论】 1.1.在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,尽管函数尽管函数y=ax(a1),y=logy=ax(a1),y=loga ax(ax(a1)1)和和y=xy=xn n(n(n0)0)都是都是增函数增函数, ,但它们的增长速度不同但它们的增长速度不同, ,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上上. .2.2.随着随着x x的增大的增大,y=ax(a,y=ax(a1)1)的增长速度越来越快的增长速度越来越快, ,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xy=xn n(n(n0)0)的增长速度的增长速度, ,而而y=logy=loga ax(ax(a1)1)的增长速度则会越来越慢的增长速度则会越来越慢. .3.3.总会存在一个总会存在一个x x0 0, ,使得当使得当xxxx0 0时时, ,有有logloga axxxxn naax x. .夯基自测夯基自测A A C C2.2.某种细胞某种细胞, ,每每1515分钟分裂一次分钟分裂一次(12)(12)这种细胞由这种细胞由1 1个分裂成个分裂成4 0964 096个个需经过需经过( ( ) )(A)12(A)12小时小时(B)4(B)4小时小时(C)3(C)3小时小时(D)2(D)2小时小时解析解析: :2 21212=4 096,=4 096,分裂了分裂了1212次次. .共用时共用时121215=18015=180分钟分钟=3=3小时小时. .A A3.3.某种动物繁殖量某种动物繁殖量y(y(只只) )与时间与时间x(x(年年) )的关系为的关系为y=alogy=alog3 3(x+1),(x+1),设这种动物设这种动物第第2 2年有年有100100只只, ,到第到第8 8年它们发展到年它们发展到( ( ) )(A)200(A)200只只(B)300(B)300只只(C)400(C)400只只(D)500(D)500只只解析解析: :由已知得由已知得100=alog100=alog3 3(2+1),(2+1),得得a=100,a=100,则当则当x=8x=8时时,y=100log,y=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).答案答案: :2 5002 500答案答案: :y=a(1+r)y=a(1+r)x x,x,xN N5.5.某种储蓄按复利计算利息某种储蓄按复利计算利息, ,若本金为若本金为a a元元, ,每期利率为每期利率为r,r,存期是存期是x,x,本利和本利和( (本金加利息本金加利息) )为为y y元元, ,则本利和则本利和y y随存期随存期x x变化的函数关系式是变化的函数关系式是. .解析解析: :已知本金为已知本金为a a元元, ,利率为利率为r,r,则则1 1期后本利和为期后本利和为y=a+ary=a+ar=a(1+r),=a(1+r),2 2期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3 3期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)3,y=a(1+r)3,x x期后本利和为期后本利和为y=a(1+r)x,xy=a(1+r)x,xN N. .考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 一次函数、二次函数模型一次函数、二次函数模型【例【例1 1】 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段的一段. .已知跳水板已知跳水板ABAB长为长为2 m,2 m,跳水板距水面跳水板距水面CDCD的高的高BCBC为为3 m.3 m.为安全和空为安全和空中姿态优美中姿态优美, ,训练时跳水曲线应在离起跳点训练时跳水曲线应在离起跳点A A处水平距处水平距h m(h1)h m(h1)时达到距时达到距水面最大高度水面最大高度4 m,4 m,规定规定: :以以CDCD为横轴为横轴,BC,BC为纵轴建立直角坐标系为纵轴建立直角坐标系. .(1)(1)当当h=1h=1时时, ,求跳水曲线所在的抛物线方程求跳水曲线所在的抛物线方程; ;解解: :由题意由题意, ,最高点为最高点为(2+h,4,)(h1).(2+h,4,)(h1).设抛物线方程为设抛物线方程为y=ax-(2+h)y=ax-(2+h)2 2+4.+4.(1)(1)当当h=1h=1时时, ,最高点为最高点为(3,4),(3,4),方程为方程为y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+4. (*)+4. (*)将点将点A(2,3)A(2,3)代入代入(*)(*)式得式得a=-1.a=-1.即所求抛物线的方程为即所求抛物线的方程为y=-xy=-x2 2+6x-5.+6x-5.(2)(2)若跳水运动员在区域若跳水运动员在区域EFEF内入水时才能达到比较好的训练效果内入水时才能达到比较好的训练效果, ,求此求此时时h h的取值范围的取值范围. .反思归纳反思归纳 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数, ,这这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来, ,同时注意实际问题的函数定同时注意实际问题的函数定义域义域( (指定的、根据实际意义的指定的、根据实际意义的),),一般不是由求出的函数解析式确定的一般不是由求出的函数解析式确定的. .考点二考点二指数函数、对数函数与幂函数模型指数函数、对数函数与幂函数模型【例【例2 2】 某医药研究所开发的一种新药某医药研究所开发的一种新药, ,如果成年人按规定的剂量服用如果成年人按规定的剂量服用, ,据监测据监测: :服药后每毫升血液中的含药量服药后每毫升血液中的含药量y(y(微克微克) )与时间与时间t(t(小时小时) )之间近似满之间近似满足如图所示的曲线足如图所示的曲线. .(1)(1)写出第一次服药后写出第一次服药后y y与与t t之间的函数关系式之间的函数关系式y=f(ty=f(t););(2)(2)据进一步测定据进一步测定: :每毫升血液中含药量不少于每毫升血液中含药量不少于0.250.25微克时治疗疾病有微克时治疗疾病有效效, ,求服药一次后治疗疾病有效的时间求服药一次后治疗疾病有效的时间. .反思归纳反思归纳 (1) (1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题实际问题, ,在求解时在求解时, ,要先学会合理选择模型要先学会合理选择模型, ,在三类模型中在三类模型中, ,指数函指数函数模型是增长速度越来越快数模型是增长速度越来越快( (底数大于底数大于1)1)的一类函数模型的一类函数模型, ,与增长率、与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型银行利率有关的问题都属于指数函数模型. .(2)(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时, ,一般需要先通一般需要先通过待定系数法确定函数解析式过待定系数法确定函数解析式, ,再借助函数的图象求解最值问题再借助函数的图象求解最值问题, ,必必要时可借助导数要时可借助导数. .(2)(2)到今年为止到今年为止, ,该森林已砍伐了多少年该森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多还能砍伐多少年今后最多还能砍伐多少年? ?分段函数模型分段函数模型考点三考点三 【例【例3 3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, ,在一在一般情况下般情况下, ,大桥上的车流速度大桥上的车流速度v(v(单位单位: :千米千米/ /时时) )是车流密度是车流密度x(x(单位单位: :辆辆/ /千千米米) )的函数的函数. .当桥上的车流密度达到当桥上的车流密度达到200200辆辆/ /千米时千米时, ,造成堵塞造成堵塞, ,此时车流速此时车流速度为度为0;0;当车流密度不超过当车流密度不超过2020辆辆/ /千米时千米时, ,车流速度为车流速度为6060千米千米/ /时时, ,研究表明研究表明: :当当20x20020x200时时, ,车流速度车流速度v v是车流密度是车流密度x x的一次函数的一次函数. .(1)(1)当当0x2000x200时时, ,求函数求函数v(xv(x) )的表达式的表达式; ;(2)(2)当车流密度当车流密度x x为多大时为多大时, ,车流量车流量( (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, ,单位单位: :辆辆/ /时时)f(x)=x)f(x)=xv(xv(x) )可以达到最大可以达到最大, ,并求出最大值并求出最大值.(.(精确到精确到1 1辆辆/ /时时) )反思归纳反思归纳 本题的难点是函数模型是一个分段函数本题的难点是函数模型是一个分段函数, ,由于月处理由于月处理量在不同范围内量在不同范围内, ,处理的成本对应的函数解析式也不同处理的成本对应的函数解析式也不同, ,故此类最值故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值的求解必须先求出每个区间内的最值, ,然后将这些区间内的最值进然后将这些区间内的最值进行比较确定最值行比较确定最值. .(2)(2)当河中的碱浓度开始下降时当河中的碱浓度开始下降时, ,即刻第二次投放即刻第二次投放1 1个单位的固体碱个单位的固体碱, ,此后此后, ,每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和, ,求河中时碱浓度可能取得的最大值求河中时碱浓度可能取得的最大值. .备选例题备选例题 (2)(2)若物体的温度总不低于若物体的温度总不低于2 2摄氏度摄氏度, ,求求m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)隔热层修建多厚时隔热层修建多厚时, ,总费用总费用f(xf(x) )达到最小达到最小, ,并求最小值并求最小值. .解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化利用函数模型解决实际问题利用函数模型解决实际问题审题点拨审题点拨关键点关键点所获信息所获信息利润利润利润利润= =收入收入- -成本成本求最大利润求最大利润求函数最大值求函数最大值解题突破解题突破: :转化为求分段函数的最大值转化为求分段函数的最大值答题模板答题模板: :解函数应用题的一般步骤解函数应用题的一般步骤: :第一步第一步: :审题审题弄清题意弄清题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,理顺数量关系理顺数量关系. .第二步第二步: :建模建模将文字语言转化成数学语言将文字语言转化成数学语言, ,用数学知识建立相应的数用数学知识建立相应的数学模型学模型. .第三步第三步: :求模求模求解数学模型求解数学模型, ,得到数学结论得到数学结论. .第四步第四步: :还原还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. .第五步第五步: :反思回顾反思回顾对于数学模型得到的数学结果对于数学模型得到的数学结果, ,必须验证这个数学必须验证这个数学结论对实际问题有意义结论对实际问题有意义. .