工程数学工程数学工程数学工程数学第七章第七章 数值积分数值积分与数值微分与数值微分第一节第一节等距节点的等距节点的Newton-Cotes求积公式求积公式第二节第二节复化求积公式复化求积公式第三节（第三节（*）外推算法外推算法第四节第四节Gauss型求积公式型求积公式1重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 引引 言言 由于被积函数的原函数由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿不可能找到，牛顿-莱布尼兹公式也就无能为力了。莱布尼兹公式也就无能为力了。2重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 3重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学下面推导插值型求积公式下面推导插值型求积公式设设x0 ,x1 ,xna,b,pn(x)是是f(x)的的n次次Lagrange插值多项式插值多项式则有则有4重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学插值型求积公式插值型求积公式其中其中截断误差或余项为截断误差或余项为li(x)为为Lagrange插值基函数。插值基函数。5重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学Ai (i=0,1,n)称为称为求积系数求积系数，xi (i=0,1,n)称为称为求积节点求积节点。6重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学一、一、 牛顿牛顿柯特斯求积公式的导出柯特斯求积公式的导出将积分区间将积分区间a,b n等分，节点等分，节点xi为为xi=a+ih, i=0,1,2,n其中其中h=(b a)/n。有。有第一节第一节 等距节点的牛顿等距节点的牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。求积公式。其中其中7重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学Ci(n) 称为柯特斯系数称为柯特斯系数。于是于是牛顿牛顿柯特斯求积公式为柯特斯求积公式为引进变换引进变换x=a+th , 0tnxj=a+jh, j=0,1,2,n8重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学二、两种特殊的数值求积公式二、两种特殊的数值求积公式: :（1）梯形公式）梯形公式(n=1)x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2梯形公式的几何意义梯形公式的几何意义是用四边梯形是用四边梯形x0 ABx1的的面积代替曲边梯形的面积。面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b图图19重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学（2）辛卜生公式）辛卜生公式(n=2)辛卜生公式又称为抛物线公式辛卜生公式又称为抛物线公式。 x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/610重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 辛卜生公式的几何意义是用抛物线辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成围成的曲边梯形面积代替由的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图围成的曲边梯形面积图2。xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0图图211重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学例例：用梯形公式与用梯形公式与辛卜生公式辛卜生公式求求的近似值。的近似值。解：解：辛卜生公式辛卜生公式I=0.7668010梯形公式梯形公式12重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学nc0c1c2c3c4c5c6c7c812345678三、牛顿三、牛顿柯特斯系数柯特斯系数13重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学例例n=3为为3/8辛卜生公式辛卜生公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3n=4为为Cotes公式公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4 14重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学例：例：用用Newton-CotesNewton-Cotes公式计算公式计算 解：解：当当n n取不同值时，计算结果如下所示。取不同值时，计算结果如下所示。 I I准准=0.9460831=0.9460831n 近似结果近似结果1 0.92703542 0.94613593 0.94611094 0.94608305 0.946083015重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学四、代数精度四、代数精度定义定义1：若求积公式若求积公式 对一对一切不高于切不高于m次的多项式次的多项式p(x)都等号成立，即都等号成立，即R(p (x)=0; ;而对于某个而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为代数精度为m.代数精度代数精度求法求法 从从(x)=1,x,x2,x3依次验证求积公依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是式是否成立，若第一个不成立的等式是xm, ,则其代数则其代数精度是精度是m-1. .代数精度越高，数值求积公式越精确代数精度越高，数值求积公式越精确定义定义2：若求积公式若求积公式 对对(x)=1,x,x2,x3xm, 都等号成立，即都等号成立，即R(xi)=0; ;而对于而对于xm+1 等号不成立，则称此公式等号不成立，则称此公式 的代数精度为的代数精度为m. .16重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学例例1：证明下面数值求积公式证明下面数值求积公式具有具有1 1次代数精度次代数精度. .所以求积公式具有所以求积公式具有1次次代数精度。代数精度。17重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学例例2：设有设有成立，确定成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，精度尽可能高，并求代数精度并求代数精度。解：解：分别取分别取 (x)=1，x，x2，则有，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3解得解得A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；取取 (x)=x3，左左= =右右=0=0； (x)=x4，左左= =-11x4dx=2/5 =2/5 右右=2/3=2/3所以具有所以具有3 3次代数精度。次代数精度。18重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学Newton-Cotes公式的代数精度公式的代数精度其中其中 n+1(x)= (x-x0)(x-x1).(x-xn-1)(x-xn)即求积公式即求积公式至少具有至少具有n次代次代数精度。数精度。定理定理1：由由n+1个个互互异节点异节点x0 、x1 、x n构造的插值构造的插值型求积公式的代数精度至少为型求积公式的代数精度至少为n。这里系数这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间只依赖于求积节点与积分区间,与与f(x)无关。无关。显然当显然当f(x)是任何一个不超过是任何一个不超过n次次的多项式时的多项式时,余项余项19重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 由于由于Newton-Cotes公式是其特殊情形公式是其特殊情形( (等距节点等距节点),),它的代数精度至少是它的代数精度至少是n,n,还可以证明还可以证明当当n n 为偶数时为偶数时Newton-CotesNewton-Cotes公式的代数精度至少是公式的代数精度至少是n+1.n+1. 定理定理2：当当n为偶数时为偶数时，由由n+1个等距节点个等距节点x0 、x1 、x n构造的牛顿构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为柯特斯求积公式的代数精度至少为n+1。20重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学五、五、Newton-Cotes公式的截断误差公式的截断误差21重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学带误差项的梯形公式是带误差项的梯形公式是22重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学证：证：已知辛卜生求积公式的代数精度为已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考，因此考虑构造一个三次插值多项式虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件满足下列条件根据插值余项定理得：根据插值余项定理得：23重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学得到截断误差得到截断误差两边求定积分得两边求定积分得24重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学因此辛卜生求积公式的截断误差为因此辛卜生求积公式的截断误差为25重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学26重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 六、六、Newton-Cotes公式的数值稳定性公式的数值稳定性 初步看来初步看来似乎似乎n n值越大，代数精度越高。是不是值越大，代数精度越高。是不是 n n 越大越好呢？答案是否定的。考察越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。27重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学 但是但是, , Newton-CotesNewton-Cotes公式的系数在当公式的系数在当n=8 n=8 时时, ,出出现负数，说明当现负数，说明当n n 8 8时，稳定性将得不到保证时，稳定性将得不到保证, ,另一方另一方面误差项中有高阶导数，一般地说，难以进行误差估面误差项中有高阶导数，一般地说，难以进行误差估计。因此，在实际计算中，不用高阶的牛顿计。因此，在实际计算中，不用高阶的牛顿柯特斯柯特斯求积公式求积公式, ,一般我们只取一般我们只取n=1,2,4n=1,2,4。28重点辅导工程数学工程数学工程数学工程数学二版习题P276-2,7(1)三版习题三版习题P250-2,4,8(1)29重点辅导