1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性1.5.1 独立性独立性 在一般情况下在一般情况下,有有 ,但有时事但有时事件件B发生与否与发生与否与A无关无关,这时就有这时就有 由此引出事件独立性的概念由此引出事件独立性的概念.2021/6/161 例例1.5.1 10件产品中件产品中4件正品件正品,连续取两次连续取两次,每次取一件每次取一件,作作有放回抽样有放回抽样.设设B,A分别表示第分别表示第一一,第二次取得正品第二次取得正品,则则故故 当事件当事件B对事件对事件A没有任何影响时没有任何影响时,事件事件A与事件与事件A|B是等价的是等价的.当当2021/6/162 定义定义1.5.1 设设A,B为同一样本空间中的两为同一样本空间中的两事件事件,若若则称则称A与与B相互独立相互独立. 2021/6/163 定理定理1.5.1 设设A，B互相独立，则互相独立，则各对事件也分别互相独立各对事件也分别互相独立.2021/6/164 证明：证明：2021/6/165 定义定义1.5.2 设设 个事个事件件,若若 是任意两个事件是任意两个事件,有有则称这则称这n个事件个事件两两独立两两独立.2021/6/166 定义定义1.5.3 设设 个事个事件件,若对其中任意若对其中任意 则称这则称这n个事件个事件互相独立互相独立.2021/6/167 例例1.5.2 把一个均匀的正四面体每个面分把一个均匀的正四面体每个面分别标上别标上1,2,3,4,再抛掷两次再抛掷两次.设设A表示表示“第一次第一次出现偶数出现偶数”,B表示表示“第二次出现奇数第二次出现奇数”,C表表示示“两次同奇或同偶两次同奇或同偶”,则样本空间则样本空间共共16个样本点个样本点.于是于是2021/6/168 可见可见即即A,B,C三事件两两独立三事件两两独立.而而即它们不互相独立即它们不互相独立.2021/6/169 注注 事件的独立性在概率论的理论分析及事件的独立性在概率论的理论分析及实际应用中都十分重要实际应用中都十分重要.但在实际应用时但在实际应用时,我我们们通常是根据通常是根据事件的实际背景事件的实际背景而不是由定义来而不是由定义来判断其独立性，即是看一个事件的发生对另判断其独立性，即是看一个事件的发生对另一个事件是否有影响，若没有就独立一个事件是否有影响，若没有就独立. 2021/6/1610 例例1.5.3 敌机俯冲时敌机俯冲时,被一门高射机枪击中被一门高射机枪击中的概率为的概率为0.05,现集中现集中40门高射机枪门高射机枪,求击中敌求击中敌机的概率机的概率.2021/6/1611 解解 设设 表示表示“敌机被第敌机被第i门高射机枪击门高射机枪击中中” 则各则各 之间独之间独立。又设立。又设A表表示示“敌机被击中敌机被击中”,则则于是于是2021/6/1612 例例1.5.4 甲甲,乙乙,丙三人各自独立地向靶子丙三人各自独立地向靶子射射击一次击一次,设其命中率分别为设其命中率分别为0.3,0.5,0.7,求靶上求靶上仅中一弹的概率仅中一弹的概率.（0.395）2021/6/1613 解解 设设B表示表示“靶上仅中一弹靶上仅中一弹”，则，则且根据实际情况认为且根据实际情况认为 互相独立互相独立.由概由概率的有限可加性及独立性，得率的有限可加性及独立性，得2021/6/1614 例例 若若 ,则则A与与B互互不相容和不相容和A与与B独立不能同时发生独立不能同时发生. *例例 证明：若证明：若 则事件则事件A与与B独立独立.2021/6/1615 例例 设事件设事件A与与B不相容，不相容，A与与C、B与与C均均独立，独立，P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(C)=0.4,则则2021/6/1616 例例 设甲设甲,乙乙,丙三人同时独立向坦克射击一丙三人同时独立向坦克射击一次次,命中率各为命中率各为0.2,0.3,0.5.坦克命中一次而被坦克命中一次而被击毁的概率为击毁的概率为0.2,命中二次而被击毁的概率为命中二次而被击毁的概率为0.6,命中三次而被击毁的概率为命中三次而被击毁的概率为0.9,求坦克被求坦克被摧毁的概率摧毁的概率?2021/6/16171.5.2 可靠性问题可靠性问题 在航空在航空,航天及其他科学邻域常常会遇到航天及其他科学邻域常常会遇到可靠性问题可靠性问题,即一个系统由多个元件组成即一个系统由多个元件组成,只只要要少量元件有故障少量元件有故障,就可能使整个系统出现故障就可能使整个系统出现故障.因此因此,就产生了可靠性理论研究就产生了可靠性理论研究.一个系统的一个系统的可可靠性可以用可靠度来刻画靠性可以用可靠度来刻画,它是指系统正常工它是指系统正常工作的概率作的概率.2021/6/1618 以下以下,我们总是假定系统中各元件能否正我们总是假定系统中各元件能否正常工作是互相独立常工作是互相独立. 设一个系统由设一个系统由n个元件构成个元件构成, 表示表示“第第i 个元件正常个元件正常”, A表示表示“系统正常系统正常”,记记2021/6/1619（1）串联系统）串联系统.如图如图1.5.这时这时特别地特别地,若每个若每个2021/6/1620(2) 并联系统并联系统.如图如图1.6. 这时这时2021/6/1621 特别地特别地,若每个若每个2021/6/1622 例例1.5.5 一个混联系统如图所示一个混联系统如图所示: 设该系统由设该系统由5个元件组成个元件组成,每个元件的可靠每个元件的可靠度为度为p,求系统的可靠度求系统的可靠度. 解解 设元件设元件2与与3组成并联系统组成并联系统,其可靠度其可靠度为为 把子系统把子系统视为一个元件视为一个元件,它与元件它与元件1,4组成串联系统组成串联系统,可靠度为可靠度为而系统而系统与元件与元件5组成整个系统组成整个系统,这又是一个并这又是一个并联系统联系统,故其可靠度为故其可靠度为2021/6/1623*例例 设设A，B为两事件且为两事件且 则（则（ ）成立。）成立。2021/6/1624 例例 设设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8,则下则下列结论中正确的是列结论中正确的是( )(A)事件事件A与与B互不相容互不相容;(B)(B)(C)(C)事件事件A与与B互相独立互相独立;(D)(D)P(AB)=P(A)+P(B).2021/6/1625例例 事件事件A,B满足满足 则则一定一定_.A 不相互独立不相互独立 B 不互斥不互斥 C 相互独立相互独立 D 不相容不相容2021/6/1626作业作业P13-162021/6/1627 *例例 设设A、B、C为三个相互独立的随机事为三个相互独立的随机事件且件且 则事件（则事件（ ）不独立。不独立。2021/6/1628 例例1.5.5 若若0P(A)1,0P(B)1，且事件，且事件A与与B不相容，且则不相容，且则A与与B不互相独立；反之不互相独立；反之也成立也成立. 证明证明 由由AB=知知P(AB)=0P(A)P(B)，故，故A与与B不互相独立不互相独立.2021/6/1629 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！