数 学 精 品 课 件北 师 大 版 1 1平面向量的基本概念平面向量的基本概念平面向量平面向量既有大小，又有方向的量既有大小，又有方向的量向量的模向量的模表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度零向量零向量长度为长度为0 0的向量的向量单位向量单位向量长度为长度为1 1的向量的向量相等向量相等向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量相反向量相反向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量共线向量共线向量表示两个向量的有向线段所在直线平表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合的两个向量行或重合的两个向量2.2.向量的线性运算向量的线性运算(1)(1)向量的加法、减法和实数与向量的积的综合运算，通常向量的加法、减法和实数与向量的积的综合运算，通常叫作向量的线性运算叫作向量的线性运算( (或线性组合或线性组合) )(2)(2)向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，其中向量求和的三角形法则可推广至多个向量求和的多边形法其中向量求和的三角形法则可推广至多个向量求和的多边形法则，即：则，即：n n个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这向量的起点重合，组成一向量折线，这n n个向量的和等于折线起个向量的和等于折线起点到终点的向量，即点到终点的向量，即(3)向量的加法向量的加法满满足交足交换换律与律与结结合律，即合律，即abba(交交换换律律)；(ab)ca(bc)(结结合律合律)借借题发挥题发挥 1.向量向量线线性运算的性运算的结结果仍是一个向量因此果仍是一个向量因此对对它它们们的运算法的运算法则则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面 2理解向量的有关概念理解向量的有关概念(如相等与相反向量、平面向量基本定如相等与相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法，用基底表示向量，三角形法则则、平行四、平行四边边形法形法则则是向量是向量线线性运算的基性运算的基础础 3向量是一个有向量是一个有“形形”的几何量，因此在研究向量的有关的几何量，因此在研究向量的有关问题问题时时，一定要，一定要结结合合图图形形进进行分析判断求解，行分析判断求解，这这是研究平面向量的重是研究平面向量的重要方法和技巧要方法和技巧借题发挥 平面向量的数量积是向量的核心内容，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等 例4：如图所示，顶角为2的等腰劈，今有力|F|100 N作用于劈背上将物体劈开，试分析力F的分力的大小与的关系借题发挥 平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在平面几何上的应用，利用向量的运算解决平行、垂直、距离和夹角等平面几何的相关问题；二是向量在解析几何上的应用，主要利用向量平行和垂直的坐标条件求直线或圆的方程；三是在物理中的应用，主要解决力、速度等矢量的分解、合成问题及力对物体做功的问题 4.如如图图，已知，已知 ABCD中，中，E，F在在对对角角线线BD上，且上，且BEFD，求，求证证：四：四边边形形AECF是平行四是平行四边边形形