第三章第三章 电力网络的数学模型电力网络的数学模型v本章概述本章概述v3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵v3-2 网络方程的解法网络方程的解法v3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵v本章内容总结本章内容总结本章概叙本章概叙v一、本章的主要内容一、本章的主要内容 本章的主要内容是电力网络的节点导纳矩阵和节电本章的主要内容是电力网络的节点导纳矩阵和节电阻抗矩阵数学模型的建立。阻抗矩阵数学模型的建立。v二、本章重点二、本章重点1节点导纳矩阵的特点、形成原理；节点导纳矩阵的特点、形成原理；2节点阻抗矩阵的特点、形成原理。节点阻抗矩阵的特点、形成原理。本章概叙本章概叙v三、本章的难点三、本章的难点1用支路追加法形成节点阻抗矩阵。用支路追加法形成节点阻抗矩阵。2整个电力系统的稳态可以用一组代数方程来整个电力系统的稳态可以用一组代数方程来表示，怎样建立和求解这些方程组。表示，怎样建立和求解这些方程组。v四、教学形式四、教学形式课堂讲授课堂讲授v五、教学课时五、教学课时 34课时课时3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵3.1.1 节点方程节点方程一般地，对于有个独立节点的网络，可以列一般地，对于有个独立节点的网络，可以列 写个节点方程（用矩阵形式表示）写个节点方程（用矩阵形式表示）（3-1）（3-2）3.1.2 节点导纳矩阵元素的物理意义节点导纳矩阵元素的物理意义令如果令如果 代入（代入（3-1）的各式，可得）的各式，可得或或3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵当当 时，时，（3-4）式中，为节点与零电位节点之间的支路导纳；为式中，为节点与零电位节点之间的支路导纳；为 节点与节点之间的支路导纳。节点与节点之间的支路导纳。当当 时，时，（3-5）不难理解不难理解 。若节点。若节点 和和 没有支路直接相联没有支路直接相联时，便有时，便有 。 例例3-1 3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵3.1.3 节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵的修改假定在接线改变前导纳矩阵元素为假定在接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变以后，接线改变以后 应修改为应修改为 。（1）从网络的原节点引出一条导纳为的支路，同时增加）从网络的原节点引出一条导纳为的支路，同时增加 一个节点见图（一个节点见图（a）。（a） (b)3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵由于节点数加由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角元素，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角元素 。新增的非对角元素中，只有。新增的非对角元素中，只有 ，其余的，其余的 元素都为零。元素都为零。 矩阵的原有部分，只有节点矩阵的原有部分，只有节点 的自导纳增加的自导纳增加 。（2）在网络的原有节点）在网络的原有节点 、之间增加一条导纳为、之间增加一条导纳为 的支路见图的支路见图（b）。）。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只 要对与节点要对与节点 、 有关的元素分别增添以下的修改增量即可有关的元素分别增添以下的修改增量即可其余的元素都不必修改。其余的元素都不必修改。3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵（3）在网络的原有节点）在网络的原有节点 、 之间切除一条导纳为之间切除一条导纳为 的支路。的支路。这种情况可以当作是在这种情况可以当作是在 、节点间增加一条导纳为、节点间增加一条导纳为 的支的支 路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为例例3-2 3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵3.1.4 支路间存在互感时的节点导纳矩阵支路间存在互感时的节点导纳矩阵在必须考虑支路间的互感时，常用的方法是采用一种消去在必须考虑支路间的互感时，常用的方法是采用一种消去 互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感 的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。图图 互感支路及其等值电路互感支路及其等值电路（a） (b)3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵假定两条支路分别接于节点 、 之间和节点 、 之间，支路的自阻抗分别为 和 ，支路间的互阻抗为 ，并以小黑点表示互感的同名端见图（a）。这两条支路的电压方程可用矩阵表示如下 （3-9）或者写成（3-10）3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵v上式中的导纳矩阵式（3-9）中矩阵的逆，其元素为 将式（3-9）展开，并作适当改写，可得（3-11） 3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵v根据方程式（3-11）可做出消去互感等值电路如图3-5（b）所示。这是一个四个顶点六条支路的完全网形电路。原有的两条支路其导纳值分别变为 和 （注意： ， ）。在原两条支路的同名端点之间增加了导纳为 的新支路，异名端点之间则增加了导纳为 的新支路。利用这个等值电路，就可以按照无互感的情况计算节点导纳矩阵的有关元素。对于有更多互感支路的情况也可以用同样的方法处理。在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同一条母线。若 支路和 支路的节点 和 接于同一条母线，则在消互感等值电路中将节点 和 接在一起即可，所得的三端点等值电路示于途3-6。3-1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵3-2 网络方程的解法网络方程的解法v3.2.1 用高斯消去法求解网络方程用高斯消去法求解网络方程 在电力系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。对于在电力系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。对于导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。消去法实际上就是带有节点电流移置的星网变换。消去法实际上就是带有节点电流移置的星网变换。 （3-12）式中 3-2 网络方程的解法网络方程的解法 我们将要说明，通过消元运算对原方程组中个方程式的系数和右端项所作的修改，恰好反映了带电流移置的星网变换的结果。根据导纳矩阵元素的定义系数矩阵非对角线元素的修正增量正好等于星网变换后在节点 、 间新增支路导纳的负值。3-2 网络方程的解法网络方程的解法对角线元素的修正增量 因此，式（3-12）中的第 式恰好是消去节点1后网络的节点方程。对方程式（3-12）再作一次消元，其系数矩阵便演变为3-2 网络方程的解法网络方程的解法 一般地，做了 次消元后 所得系数矩阵为 ，且3-2 网络方程的解法网络方程的解法 式中，右下角的 阶子块时做完消去节点 的星网变化后所得网络的节点导纳矩阵。 对于 阶的网络方程，作 完 次消元后方程组的 系数矩阵将变为上三角矩 阵，即（3-13）3-2 网络方程的解法网络方程的解法矩阵 的元素表达式为 当 时， 表示网络在原始状态下节点 和节点 之间的互导纳，它等于联接节点 、 的支路导纳的负值； 当 时， 是网络在原始状态下节点 的自导纳，它等于与节点 联接的各支路导纳值之和；（3-14）3-2 网络方程的解法网络方程的解法 对任意复杂网络，可以反复地应用星网变换，逐渐消去节点，将网络化简到最简单的形式，并求出其解答。然后，将网络逐步还原，就可确定原始网络的运行状态。这样的解题过程，就是用高斯消去法求解网络方程的过程。搞清楚消去法和星网变换的关系，还有助于利用星网变换来分析消元过程中方程组的系数矩阵的演变情况。 例例3-3 3-2 网络方程的解法网络方程的解法v3.2.2 用高斯消去法简化网络用高斯消去法简化网络 高斯消去法不仅用于求解网络方程，它也是简化网络的有高斯消去法不仅用于求解网络方程，它也是简化网络的有效方法。利用高斯消去法简化网络，既可以逐个地消去节点，效方法。利用高斯消去法简化网络，既可以逐个地消去节点，也可以一次消去若干个节点。也可以一次消去若干个节点。 3-2 网络方程的解法网络方程的解法 设有 个节点的网络，拟消去其中的 号节点，保留 号节点。原网络的方程如下3-2 网络方程的解法网络方程的解法或按虚线所作的分块缩写成或者展开写成 （3-15）3-2 网络方程的解法网络方程的解法从（3-15）的第一式解出将其代入第二式，经过整理后便得令 3-2 网络方程的解法网络方程的解法 思考：如果要消去的不是前个节点，而是后个节点，学生可以仿照上述方法自己导出有关的计算公式。例例3-4 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵（3-19）式中， 是 阶方阵，称为网络的节点阻抗矩阵。方程式（3-19）可展开写成（3-20） 或者写成 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 现在讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。如果令 代入（3-20）的各式，可得或 （3-21） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 公式（3-21）说明，当在节点 单独注入电流，而所有其他节点的注入电流都等于零时，在节点 产生的电压同注入电流之比，即等于节点 的自阻抗 ；在节点 产生的电压同节点 的注入电流之比，即等于节点 和节点 之间的互阻抗 。若注入节点 的电流恰好是1单位，则节点 的电压在数值上即等于自阻抗 ；节点 的电压在数值上即等于互阻抗 。3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵v3.3.2 用支路追加法形成节点阻抗矩阵用支路追加法形成节点阻抗矩阵 (a) (b) （c） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵(d) (e) (f) 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵（g） （h） 图3-9 支路追加法3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵v支路追加法是根据系统的接线图。从某一个与地相连的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。追加树支 从已有的节点接上一条阻 抗为的支路，引出新节点 （见图3-10）。这时网络的 节点阻抗矩阵将扩大一阶 由原来的阶变为阶。设新的阻抗矩阵为3-10 追加树支3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 矩阵中新增加的第 行和第 列元素可以这样求得。网络中任一节点单独注入电流 时，因支路 中没有电流，节点 和节点 的电压应相等，即 或 ，故有 另一方面。当节点 单独注入节点电流时，从网络原有部分看来，都与节点 注入一样，所以有 （3-22）这时节点 的电压为3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵由此可得 如果节点 是参考点（接地点），则称新增支路为接地数支。由于恒有 ，根据自阻抗和互阻抗的定义，不难 得到 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵追加连支 在已有的节点 和节 点 之 间追加一条 阻抗为 的连支 （见图3-11）。 3-11 追加连支3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 如果保持各节点注入电流不变，连支 的接入对原有部分的影响就在于，把节点 和节点 的注入电流分别从 和 改变为 和 这时网络中任一节点 的电压可以利用原有的阻抗矩阵元素写出方程式（3-25）对任何节点都成立，将它用于节点 和节点 ，便得3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵而阻抗为 的连支的电压方程为3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵将 的表达式代入（3-25），经过整理便得于是有（3-26）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 如果连支所接的节点中，有一个是零电位点，例如 为接地点，则称这连支为接地连支，设其阻抗为 ，上述计算公式将变为 如果在节点 、 之间接入阻抗为零的连支，这就相当于把节点 合并为一个节点。根据公式（3-26），第 列和第 列的元素将分别为 （3-27）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 可以证明 ，同样地也有 。3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵追加变压器支路 电力网络中包含有许多变压器。在追加变压器支路时，也可以区分为追加树支和追加连支两种情况。变压器一般用一个等值阻抗同一个理想变压器相串联的支路表示。3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 假定在已有 个节点的网络 中的节点 接一变压器树支 并引出新节点 见图3-12 （a）。这时阻抗矩阵将 扩大一阶。因为新接支路 没有电流，它的接入不会改 变网络原有的电压分布状况 因此，阻抗矩阵原有部分的 元素将保持不变。图3-12 追加变压器数支（a） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 新增一行（列）的元素可以这样求得。当网络中任一节点 单独注入电流 ，而所有其他节点的注入电流都为零时，都有 ，或 ，因而 另一方面，当节点 单独注入 电流时，从网络原有部分看来，相当于从节点 注入电流 ，故有 （3-28） （3-29） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵这时 ，节点的电压将为（3-29） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 在网络的已有节点 、 之 间追加变压器连支时，阻 抗矩阵的阶次不变，但要 修改它的全部元素。矩阵 元素计算公式的推导可以 分两步进行见图（b）。 连支（b） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 第一步是从节点 追加变压器树支，引出新节点 ，将阻抗矩阵扩大一阶，并按照公式（3-28）、（3-29）和（3-30）计算新增加的第 行和第 列的元素。第二步在节点 和节点 之间追加阻抗为零的连支，应用公式（3-26）修改第一步所得矩阵中除第 行和第 列以外的全部元素，并将第 行和第 列舍去。按照上述步骤可以推导出变压器连支后阻抗矩阵的元素计算公式如下（3-31） 3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵v3.3.3 用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆 节点导纳矩阵同节点阻抗矩阵互为逆矩阵。 记单位矩阵为 ，将展开为（3-32）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵将阻抗矩阵和单位矩阵按列进行分块，并记3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 是由阻抗矩阵的第 列元素组成的列向量， 是第 个元素为1，其余所有元素为零的单位列向量。这样，就可将方程组（3-32）分解为n组方程组，其形式为（3-33）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 方程组（3-33）具有明确的物理意义：若把 当作节点注入电流的列向量， 就是节点电压的列向量，当只有节点 注入单位电流，其余节点的电流都等于零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第 列的对应元素相等 对节点导纳矩阵进行 分解，可将方程组（3-33）写成3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵这个方程可以分解为三个方程组：可得节点阻抗矩阵第 列元素的计算公式如下（3-34）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵（3-35）（3-36） （3-37）3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 必须注意，由于节点导纳矩阵的元素是复数，三角分解所得的因子矩阵的元素也是复数，因此在应用上述公式时，都要做复数运算。又因为导纳矩阵是对称矩阵，它的因子矩阵 和 互为转置矩阵，故只须保留其中的一个。只保 留阵时，式（3-37）中的 应换成 ；只保留 阵时，式（3-35）中的 应换成 。3-3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 应用公式（3-35）、（3-36）和（3-37），对列标 依次取 ，就可以求得阻抗矩阵的全部元素。在实际中也可以根据需要只计算某一列或几列的元素。这种求取节点阻抗矩阵元素的方法，灵活方便，演算迅速，很有实用价值。 本章内容总结本章内容总结v1、电力网络的稳态可用一组线性代数方程来描述。在电力系统分析中，最常用的是节点分析法，该方法以节点电压为状态量，需要建立节点方程。节点方程有导纳型和阻抗型两种。v2、高斯消去法是简化网络，求解网络方程的有效方法。高斯消去法可看作是带电流移置的星网变换的数学概括，消节点的星网变换则可看作是高斯消去法的一种物理背景。本章内容总结本章内容总结v3、节点阻抗矩阵是节点导纳矩阵的逆。采用线性方程组的直接解法求解导纳型网络方程，可以方便地算出阻抗矩阵某一列的元素。