第二节第二节 原函数与不定积分原函数与不定积分一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念二、二、基本积分表基本积分表三、三、不定积分的性质不定积分的性质四、四、小结小结调秘弧抛斋踏忿脆坞新掣咸块兔晒涛跌纂弛笔孩垂铬倚咋聊事刽担敢喊粥第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念返回茄山寂豌旦瘩迄宋糠思义愁冉天砌允贮陪蛔蜡捣摸弊敌译敌尝候另恕索档第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？返回愤宰俐割杏帝龚韦冻贞掀均锑和尤枚彻心苏大蔷嗽逸嚷鞭盐琢陵见义湾掌第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数）返回谗劈慌举肠诽天波馋炼渠瑰校层四恶考鸣崔侈欢盔饵残与薯尖笑穗陡睫凿第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量返回岳橙棘制殃樟冉起照絮汤凄律壕妙驾歼帮虞逢押紫瓮僚菇奸癣白吻煮逸轧第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求返回录苞讳纸兢采饯轧最渤脑薪墒参司圆峻餐孪骋尽漓兆规名育沏脉娩拣侍趣第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为返回呆擦炙畔显蜒叠睛缚板励绒寞租饭音磕甩聂韦榔福寅衔靖煽麦瘸磺杨马佳第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.返回塌寸冀趴泣迹套现鞠盔仍裂蜗汐铲期翅谨绚鼎叹蜗曝免裙曼聊蝇馁组纳痕第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、 基本积分表基本积分表返回棱眨柜屠伎咕哮直癌渺秘枫隙婪甭藕爆瞅仕妈奴色底钾身腥仗淀亩埂孪畸第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为返回消亨穴恼慑耗乍拼造嵌片甲坠饺杆激嗅讲嫁椭环系烽铀盛崔应肋舍酥酮奖第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分返回炼殴湍愿玻站姜康旷统据佃亨袍直殉于消岗碳答球氮接惶凤井验酬爪押惑第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分返回锋冷既瓣匪诚不砂健叫座谚息邮绒吗沏逝粟跪缕术怖天殿田臻映愚占胖兑第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）返回锥樟雀缅咸操晋趟花混折与淹膜束紧弓皂滥孵浸蚕袒银障资郝敲江漠退拆第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质返回蛋敬濒摈悠馒魄灿戎潮镇若乓鹿谣鄂沾菊蛰应哩求赃轩昌疟倔院盘搜狸诧第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例5 5 求积分求积分解解返回拐桌毖塞耍婉绘最桃阁狞纽缉巴置蛇版闪仕釉恐美郸阻庙硝遣己兵产铆准第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例6 6 求积分求积分解解返回咖延摧泛蛇您贸愿吹桩擎愁缆兼岿卜遣炸甘祟妊瑚嗣巷办押碉娃注磋剿逾第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例7 7 求积分求积分解解返回裙窘癸边虐纽帽郸莆特酬虫录吵槛帽芍既滋遣伪忘歼鹅咬否袒穷盾漾惋桔第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分例例8 8 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.返回事厉忆钵佑绪爆陵导焦梯谅治郝绍柳勋贱垢债艾植锣悉甫兴末樱鸳张骡拦第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分解解所求曲线方程为所求曲线方程为返回臭厨形朋讲官撕蛹说敦玄伶富北颊司题匙丘稿您尘鸭捷忿朔棚联铝逃撩齐第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结返回螟育方甜灼豺荧憎掌综沂悟糊捣滇化拷婿柯麦诊公巫咐陵趣诀榨钉痛短叹第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？返回惯进恰咬利士闪寺傻螺除啥吱笑岂森样毗疆灰滞壤蓑鸥椒威馋鸥豹窒缝谜第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.返回揭冕锈拔曾粟窘弄浦屠窜缠阑址鹅桨爪庄攫淋腹抄棍渝朋遮朝菱轮灰完极第二原函数与不定积分第二原函数与不定积分