E-mail: xuxinahu.edu.cn数项级数的收敛判别法Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望E-mail: xuxinahu.edu.cn 前面所讲的常数项级数中，各项均可是前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊正项级数是其中一种特殊情况。情况。如果级数中各项是由正数或零组成，如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性散性讨论都会转为正项级数的敛散性.E-mail: xuxinahu.edu.cn定义定义 设级数设级数为正项级数正项级数. 显然显然, ,正项级数的部分和正项级数的部分和 s sn n 数列是数列是单调增加单调增加的，的， 即即一、正项级数的收敛判别法一、正项级数的收敛判别法E-mail: xuxinahu.edu.cn定理定理 正正项级数数收敛收敛有界有界.证: “” 收敛收敛收收敛有界有界.有界有界,又又是一个是一个单调上升上升数列数列存在存在收敛收敛.“” E-mail: xuxinahu.edu.cn证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn定理定理1(比较判别法比较判别法) 设与与是两个正是两个正项级数数， 且且 那么那么 （1）如果）如果 收敛收敛，则则收敛收敛。（2）如果）如果 发散发散，则则发散发散。 证证: 设设和和分别表示分别表示和和的部分和的部分和，显然由显然由(1) 收敛收敛有界有界有界有界也收敛也收敛.(2) 发散发散无界无界无界无界也发散也发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn例例2 2 判定p-级数的敛散性.(常数常数 p0)E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn由此可得结论，由此可得结论，p级数级数当当 时发散，时发散，p1时收敛时收敛. .E-mail: xuxinahu.edu.cn证明证明E-mail: xuxinahu.edu.cn思考题：思考题：若正项级数若正项级数则下列级数的敛散性则下列级数的敛散性(2)(3)收敛，收敛，(1)(1)E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn例例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn定理定理2（比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;E-mail: xuxinahu.edu.cn证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.E-mail: xuxinahu.edu.cn (2) 由于由于(=0)取取 =1时，时， N 0, 当当n N时，时，故由比较判别法，当故由比较判别法，当 =0时，时，E-mail: xuxinahu.edu.cn(3) 由于由于( = )，故，故 M 0 (不妨取不妨取M 1) , N 0, 当当n N 时，时，即即 0 vn 0为常数为常数)解：解：因为因为(即即 =1为常数为常数)又又是调和级数，它是发散的是调和级数，它是发散的发散发散.故原级数故原级数E-mail: xuxinahu.edu.cn练习练习2 判别级数判别级数的敛散性，其中的敛散性，其中, x0为常数为常数.解：解：由于由于而而是是n=2的的P一级数，收敛的一级数，收敛的故原级数故原级数E-mail: xuxinahu.edu.cn比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn例例7 7 判别级数判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散由比值判别法可知所给级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn由比值判别法可知所给级数发散由比值判别法可知所给级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn例例9 判别级数判别级数的敛散性的敛散性,其中其中x0为常数为常数解：解：记记即即 =01，故该级数收敛，故该级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn例例10 判别级数判别级数的敛散性的敛散性,其中其中x 0为常数为常数.解：解：记记即即 =x2, 由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法.E-mail: xuxinahu.edu.cn当当 | x |=1 时，时， =1, 但原级数为但原级数为这是这是 n = 2 的的 p一级数，是收敛的一级数，是收敛的. 综上所述，当综上所述，当 0 1 时，原级数发散时，原级数发散.当当0|x|1时，时， 1时，时， 0, a0为常数为常数解：解：记记即即当当xa时，时，当当0xa时，时，E-mail: xuxinahu.edu.cn当当 x = a 时，时， =1, 但但故原级数发散故原级数发散.综上所述，综上所述， 当当 0xa 时，原级数收敛时，原级数收敛. 当当 x a时，原级数发散时，原级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .E-mail: xuxinahu.edu.cn证明证明E-mail: xuxinahu.edu.cn满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn解解原级数收敛原级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn练习练习 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解：解：这是一个交错级数，这是一个交错级数，又又令令x 2, + )，则则x 2, + ) 故故 f (x) 2, + )，即有即有un un+1成立成立 由莱布尼兹判别法，该级数收敛由莱布尼兹判别法，该级数收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数. .证明证明E-mail: xuxinahu.edu.cn上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数E-mail: xuxinahu.edu.cn例如例如E-mail: xuxinahu.edu.cn解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.E-mail: xuxinahu.edu.cn解解故由定理知原级数发散故由定理知原级数发散.E-mail: xuxinahu.edu.cn练习练习2 2 级数级数是否绝对收敛是否绝对收敛?解：解：由调和级数的发散性可知由调和级数的发散性可知故故发散发散.但原级数是一个收敛的交错级数但原级数是一个收敛的交错级数故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.E-mail: xuxinahu.edu.cn绝对收敛的级数几个注释：绝对收敛的级数几个注释：1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变 其和其和. .这也叫级数的重排这也叫级数的重排. .对于一般的级数则不对于一般的级数则不 成立成立. . 2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法：乘法规则形式地作乘法： E-mail: xuxinahu.edu.cn 如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛；且当得到的级数也绝对收敛；且当 若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。E-mail: xuxinahu.edu.cn四、任意项级数的收敛判别法四、任意项级数的收敛判别法 绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛性，而不能判别级数的条件收敛性。为了性，而不能判别级数的条件收敛性。为了讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常用的一般级数判别发，先看一个引理。用的一般级数判别发，先看一个引理。E-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cnE-mail: xuxinahu.edu.cn