2.1.2求曲线的方程一、坐一、坐标法和解析几何法和解析几何1.1.坐坐标法法: :坐坐标法是指借助于法是指借助于_,_,通通过研究方程的性研究方程的性质间接地来研究曲接地来研究曲线性性质的方法的方法. .2.2.解析几何解析几何: :解析几何是指数学中用解析几何是指数学中用_研究几何研究几何图形形的知的知识形成的学科形成的学科. .坐坐标系系坐坐标法法3.3.解析几何研究的主要解析几何研究的主要问题: :(1)(1)曲曲线研究方程研究方程: :根据已知条件根据已知条件, ,求出求出_._.(2)(2)方程研究曲方程研究曲线: :通通过曲曲线的方程的方程, ,研究研究_._.思考思考: :用坐用坐标法研究解析几何法研究解析几何问题的前提条件是什么的前提条件是什么? ?提示提示: :用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直角坐标系角坐标系, ,这样这样, ,点有了坐标点有了坐标, ,曲线也就有了方程的形式曲线也就有了方程的形式. .表示曲表示曲线的方程的方程曲曲线的性的性质二、求曲线方程的一般步骤二、求曲线方程的一般步骤有序实数对有序实数对(x,y)(x,y)M|p(M)M|p(M)坐标坐标最简最简曲线上曲线上判断判断:(:(正确的打正确的打“”“”, ,错误的打的打“”)”)(1)(1)在求曲在求曲线方程方程时, ,如果点有了坐如果点有了坐标或曲或曲线有了方程有了方程, ,则说明已明已经建立了平面直角坐建立了平面直角坐标系系.(.() )(2)(2)化化简方程方程“|x|=|y|”|x|=|y|”为“y=x”y=x”是恒等是恒等变形形.(.() )(3)(3)按照求曲按照求曲线方程的步方程的步骤求解出的曲求解出的曲线方程不用方程不用检验.(.() )提示提示: :(1)(1)正确正确. .点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志. .(2)(2)错误错误.|x|=|y|.|x|=|y|化简的形式为化简的形式为y=x.y=x.(3)(3)错误错误. .一般情况下一般情况下, ,化简前后方程的解集是相同的化简前后方程的解集是相同的, ,但是在但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解求解、化简过程中极易产生增解或漏解, ,检验这一步骤是应该检验这一步骤是应该有的有的, ,故此说法不正确故此说法不正确. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨知识点拨】1.1.平面直角坐标系的选取原则平面直角坐标系的选取原则(1)(1)以已知定点为原点以已知定点为原点. .(2)(2)以已知定直线为坐标轴以已知定直线为坐标轴(x(x轴或轴或y y轴轴).).(3)(3)以已知线段所在直线为坐标轴以已知线段所在直线为坐标轴(x(x轴或轴或y y轴轴),),以已知线段的以已知线段的中点为原点中点为原点. .(4)(4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴以已知互相垂直的两定直线为坐标轴. .(5)(5)如果曲线如果曲线( (或轨迹或轨迹) )有对称中心有对称中心, ,通常以对称中心为原点通常以对称中心为原点. .(6)(6)如果曲线如果曲线( (或轨迹或轨迹) )有对称轴有对称轴, ,通常以对称轴为坐标轴通常以对称轴为坐标轴(x(x轴轴或或y y轴轴).).(7)(7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上, ,或者让尽量多的点或者让尽量多的点在坐标轴上在坐标轴上. .2.2.对求曲线方程的五个步骤的四点说明对求曲线方程的五个步骤的四点说明(1)(1)在第一步中在第一步中, ,如果原题中没有确定坐标系如果原题中没有确定坐标系, ,首先要建立适当首先要建立适当的坐标系的坐标系, ,坐标系建立得当坐标系建立得当, ,可使运算过程简单可使运算过程简单, ,所得的方程也所得的方程也较简单较简单. .(2)(2)第二步是求方程的重要一环第二步是求方程的重要一环. .要仔细分析曲线的特征要仔细分析曲线的特征, ,注意注意揭示隐含条件揭示隐含条件, ,抓住与曲线上任意一点抓住与曲线上任意一点M M有关的等量关系有关的等量关系, ,列出列出几何等式几何等式. .此步骤也可以省略此步骤也可以省略, ,而直接将几何条件用动点的坐而直接将几何条件用动点的坐标表示标表示. .(3)(3)在化简的过程中在化简的过程中, ,注意运算的合理性与准确性注意运算的合理性与准确性, ,尽量避免尽量避免“失解失解”或或“增解增解”. .(4)(4)第五步的说明可以省略不写第五步的说明可以省略不写, ,如有特殊情况如有特殊情况, ,可以适当说明可以适当说明. .如某些点虽然其坐标满足方程如某些点虽然其坐标满足方程, ,但不在曲线上但不在曲线上, ,可以通过限定可以通过限定方程中方程中x(x(或或y)y)的取值予以剔除的取值予以剔除. .3.3.对求曲线方程的三点说明对求曲线方程的三点说明(1)(1)求曲线方程时求曲线方程时, ,由于建系的方法不同由于建系的方法不同, ,求得的方程也不同求得的方程也不同. .(2)(2)一般地一般地, ,求哪个点的运动轨迹方程求哪个点的运动轨迹方程, ,就设哪个点的坐标是就设哪个点的坐标是(x,y),(x,y),而不设成而不设成(x(x0 0,y,y0 0) )或或(x(x1 1,y,y1 1).).(3)(3)化简方程时化简方程时, ,一般将方程一般将方程f(x,y)=0f(x,y)=0化成关于化成关于x,yx,y的整式形式的整式形式, ,并且要保证化简过程的恒等性并且要保证化简过程的恒等性. .类型类型 一一 直接法求曲线方程直接法求曲线方程 【典型例题典型例题】1.1.已知已知动点点M M到到A(2,0)A(2,0)的距离等于它到直的距离等于它到直线x=-1x=-1的距离的的距离的2 2倍倍, ,则点点M M的的轨迹方程迹方程为. .2.(20132.(2013珠海高二珠海高二检测) )已知点已知点A(-2,0),B(2,0),A(-2,0),B(2,0),直直线APAP与与直直线BPBP相交于点相交于点P,P,它它们的斜率之的斜率之积为- ,- ,求点求点P P的的轨迹方程迹方程. .【解题探究解题探究】1.1.从题从题1 1中的条件来看是否需要建立平面直角坐中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系标系? ?2.2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程在什么情况下可用直接法求曲线的方程? ?探究提示探究提示: :1.1.因题因题1 1中已知中已知A(2,0),A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系故不需要建立平面直角坐标系. .2.2.一般地一般地, ,当动点满足的条件非常明显当动点满足的条件非常明显, ,可以很容易地建立条可以很容易地建立条件等式件等式, ,这时一般可采用直接法求曲线的方程这时一般可采用直接法求曲线的方程. .【解析解析】1.1.设设M(x,y).M(x,y).由题意由题意, ,得得 =2|x+1|,=2|x+1|,化简得化简得-3x-3x2 2-12x+y-12x+y2 2=0,=0,即即y y2 2=3x=3x2 2+12x.+12x.答案答案: :y y2 2=3x=3x2 2+12x+12x2.2.设点设点P(x,y),P(x,y),直线直线APAP的斜率的斜率k kAPAP= (x-2),= (x-2),直线直线BPBP的斜率的斜率k kBPBP= (x2),= (x2),根据已知根据已知, ,有有: (x2),: (x2),化简得化简得: +y: +y2 2=1(x2).=1(x2).【拓展提升拓展提升】1.1.直接法求点的轨迹方程的两个关键直接法求点的轨迹方程的两个关键关键一关键一: :建立恰当的平面直角坐标系建立恰当的平面直角坐标系. .关键二关键二: :找到所求动点满足的关系式找到所求动点满足的关系式. .2.“2.“轨迹方程轨迹方程”与与“轨迹轨迹”的辨析的辨析【变式式训练】已知点已知点M M到到x x轴的距离等于到的距离等于到y y轴的距离的的距离的2 2倍倍, ,求求点点M M的的轨迹方程迹方程. .【解析解析】设动点设动点M M的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则点则点M M到到x x轴、轴、y y轴的距离分轴的距离分别为别为|y|,|x|.|y|,|x|.由题意知由题意知|y|=2|x|,|y|=2|x|,整理得整理得y=2x.y=2x.点点M M的轨迹方程为的轨迹方程为y=2x.y=2x.类型类型 二二 代入法求曲线的方程代入法求曲线的方程 【典型例题典型例题】1.1.设圆C:(x-1)C:(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,过原点原点O O作作圆的任意弦的任意弦, ,则所作弦的中点所作弦的中点的的轨迹方程是迹方程是. .2.2.设定点定点M(-3,4),M(-3,4),动点点N N在在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上运上运动, ,以以OM,ONOM,ON为两两边作作平行四平行四边形形MONP,MONP,求点求点P P的的轨迹方程迹方程. .【解题探究解题探究】1.1.若已知若已知P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),则线段则线段P P1 1P P2 2中点中点P P的坐标是什么的坐标是什么? ?2.2.题题2 2哪些点的坐标已知哪些点的坐标已知, ,哪些点满足已知曲线的方徎哪些点满足已知曲线的方徎, ,借助什借助什么方法可用这些点表示点么方法可用这些点表示点P P的坐标的坐标? ?探究提示探究提示: :1.1.据中点坐标公式知中点据中点坐标公式知中点P P的坐标为的坐标为( ).( ).2.2.从题目的已知条件可知从题目的已知条件可知, ,点点M M与点与点O O的坐标已知的坐标已知, ,点点N N满足已知满足已知曲线的方程曲线的方程, ,可借助中点坐标公式可借助中点坐标公式,OP,OP的中点坐标与的中点坐标与MNMN的中点的中点坐标相同表示出点坐标相同表示出点P P的坐标的坐标. .【解析解析】1.1.设设OQOQ为过为过O O的一条弦的一条弦,P(x,y),P(x,y)为其中点为其中点, ,Q(xQ(x1 1,y,y1 1),),则则 又又(x(x1 1-1)-1)2 2+y+y1 12 2=1,(2x-1)=1,(2x-1)2 2+4y+4y2 2=1(0x1).=1(0x1).答案答案: :(2x-1)(2x-1)2 2+4y+4y2 2=1(0x1)=1(00),|AB|=2a(a0),求直角求直角顶点点C C的的轨迹方程迹方程. .【解题探究解题探究】1.1.过圆外一点向圆引两切线过圆外一点向圆引两切线, ,切线长的关系是什切线长的关系是什么么? ?2.2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.从圆外一点引圆的两条切线从圆外一点引圆的两条切线, ,则切线长相等则切线长相等. .2.2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心, ,以定长以定长为半径的圆为半径的圆. .【解析解析】1.1.如图如图.|PA|=|PB|,.|PA|=|PB|,连接连接PO.PO.则则OPB=30.|OB|=1.OPB=30.|OB|=1.|PO|=2.|PO|=2.PP点的轨迹是以点的轨迹是以O O为圆为圆心以心以2 2为半径的圆为半径的圆, ,即即x x2 2+y+y2 2=4.=4.答案答案: :x x2 2+y+y2 2=4 =4 2.2.如图如图, ,以以ABAB所在直线为所在直线为x x轴轴, ,以线段以线段ABAB的垂直的垂直平分线为平分线为y y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,则则A(-a,0),A(-a,0),B(a,0).B(a,0).设设C(x,y)C(x,y)是平面内的任意一点是平面内的任意一点, ,连接连接CO,CO,则由则由直角三角形的性质知直角三角形的性质知:|OC|= |AB|= 2a=a.:|OC|= |AB|= 2a=a.因而点因而点C C的轨迹是以坐标原点为圆心的轨迹是以坐标原点为圆心, ,以以a a为半径的圆为半径的圆( (除去与除去与x x轴的交点轴的交点),),其轨迹方程为其轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=a=a2 2(xa).(xa).【拓展提升拓展提升】1.1.适用定义法求轨迹的特点适用定义法求轨迹的特点如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, ,则可依据定义写出则可依据定义写出轨迹方程轨迹方程. .2.2.定义法求轨迹方程的策略定义法求轨迹方程的策略(1)(1)要熟悉各种常见的曲线的定义要熟悉各种常见的曲线的定义. .(2)(2)要善于利用数形结合的方法要善于利用数形结合的方法, ,利用图形具有的相关几何性利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系质寻找等量关系. .(3)(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程. .【变式式训练】长为2 2的的线段段ABAB的两端点分的两端点分别在两条互相垂直的在两条互相垂直的直直线上滑上滑动, ,求求线段段ABAB的中点的中点M M的的轨迹方程迹方程. .【解题指南解题指南】根据直角三角形的性质可知根据直角三角形的性质可知, ,斜边上的中线等于斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半, ,则点则点M M到一定点的距离等于定长到一定点的距离等于定长, ,由此可知点由此可知点M M的的轨迹是圆轨迹是圆, ,建立适当的坐标系即可求得其方程建立适当的坐标系即可求得其方程. .【解析解析】如图如图, ,以这两条直线为坐标轴以这两条直线为坐标轴, ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,设设M(x,y).M(x,y).由题意知由题意知,|OM|= |AB|=1,|OM|= |AB|=1,点点M M的轨迹是以的轨迹是以O O为圆心为圆心,1,1为半径的圆为半径的圆, ,点点M M的轨迹方程是的轨迹方程是x x2 2+y+y2 2=1.=1. 参数法求曲线方程参数法求曲线方程 【典型例题典型例题】1.1.动点点P(x,y)P(x,y)满足足 (t(t为参数参数),),则点点P P的的轨迹方程迹方程为. .2.2.在平面直角坐在平面直角坐标系中系中,O,O为原点原点,A(1,0),B(2,2),A(1,0),B(2,2),若点若点C C满足足 其中其中tR,tR,则点点C C的的轨迹方程迹方程是是. .【解析解析】1. 1. 由由-得得x x2 2-y-y2 2=4.=4.点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2-y-y2 2=4.=4.答案答案: :x x2 2-y-y2 2=4=42.2.设设C(x,y),C(x,y),(x,y)=(1,0)+t(1,2),(x,y)=(1,0)+t(1,2), 消去消去t t得得2x-y-2=0,2x-y-2=0,故点故点C C的轨迹方程为的轨迹方程为2x-y-2=0.2x-y-2=0.答案答案: :2x-y-2=02x-y-2=0【拓展提升拓展提升】参数法的定义及消参法参数法的定义及消参法(1)(1)参数法的定义参数法的定义求曲线方程时求曲线方程时, ,若若x,yx,y的关系不明显或难以寻找的关系不明显或难以寻找, ,可借助中间量可借助中间量( (即参数即参数) )使使x x和和y y建立起联系建立起联系, ,然后再从式子中消去参数得到曲线然后再从式子中消去参数得到曲线方程方程, ,这种方法叫做参数法求曲线的方程这种方法叫做参数法求曲线的方程. .(2)(2)消去参数的常见方法消去参数的常见方法用参数表示动点坐标后用参数表示动点坐标后, ,消参时可灵活应用式子的加、减、乘、消参时可灵活应用式子的加、减、乘、除、平方等运算除、平方等运算, ,最后注意参数的值对动点坐标范围的限制最后注意参数的值对动点坐标范围的限制. .【规范解答规范解答】直接法在求点的轨迹中的应用直接法在求点的轨迹中的应用【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】如图如图, ,过过M M作圆的切线作圆的切线MN,NMN,N为切点为切点, ,设设M(x,y).M(x,y).由题意知由题意知|MN|=|MQ|+|ON|.3|MN|=|MQ|+|ON|.3分分由于由于|MN|=|MN|= ，|MQ|= |ON|=1|MQ|= |ON|=1，, , (1)6(1)6分分两边平方整理得两边平方整理得2x-3=2x-3= (2)(2)再两边平方整理得再两边平方整理得3x3x2 2-y-y2 2-8x+5=0.-8x+5=0. (3) (3)即即:9(x- ):9(x- )2 2-3y-3y2 2=1. 10=1. 10分分2x-3= 2x-3= 中中2x-302x-30 ,x ,x点点M M的轨迹方程为的轨迹方程为9(x- )9(x- )2 2-3y-3y2 2=1=1(x )(x ) 12 12分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.数形结合的意识数形结合的意识在解决平面几何问题时在解决平面几何问题时, ,要注意数形结合思想的使用要注意数形结合思想的使用, ,如本例如本例中切线长的表示中切线长的表示. .2.2.隐含条件的挖掘隐含条件的挖掘在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘, ,确保变形确保变形的每步都为恒等变形的每步都为恒等变形, ,如本例中的限制条件如本例中的限制条件x .x .【类题试解解】已知已知ABCABC的周的周长为18,|AB|=8,18,|AB|=8,求求顶点点C C的的轨迹迹方程方程. .【解析解析】以线段以线段ABAB的中点的中点O O为原点为原点, ,线段线段ABAB所在直线为所在直线为x x轴轴, ,线线段段ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴轴, ,建立直角坐标系建立直角坐标系, ,如图所示如图所示. .|AB|=8,A(-4,0),B(4,0).|AB|=8,A(-4,0),B(4,0).设设C(x,y),C(x,y),则则|AC|+|BC|=10,|AC|+|BC|=10,整理整理, ,得得9x9x2 2+25y+25y2 2=225.=225.点点C C不在不在x x轴上轴上,y0,y0,顶点顶点C C的轨迹方程为的轨迹方程为9x9x2 2+25y+25y2 2=225(y0).=225(y0).1.1.已知点已知点A(-1,0),B(1,0),A(-1,0),B(1,0),动点点P(x,y)P(x,y)满足足则点点P P的的轨迹方程是迹方程是( () )A.x+yA.x+y2 2=1=1B.x-yB.x-y2 2=1=1C.xC.x2 2+y+y2 2=1=1 D.x D.x2 2-y-y2 2=1=1【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得 =(-1-x,-y), =(1-x,-y),=(-1-x,-y), =(1-x,-y),由由 得得(-1-x)(1-x)+(-y)(-1-x)(1-x)+(-y)2 2=0.=0.即即x x2 2+y+y2 2=1.=1.2.2.到到A(2,-3)A(2,-3)和和B(4,-1)B(4,-1)的距离相等的点的距离相等的点M M的的轨迹方程是迹方程是( () )A.x-y-1=0A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 B.x-y+1=0C.x+y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 D.x+y+1=0【解析解析】选选C.C.设动点设动点M(x,y).M(x,y).由由|MA|=|MB|MA|=|MB|得得 整理得整理得x+y-1=0.x+y-1=0.3.3.直角坐直角坐标系内到两坐系内到两坐标轴距离之差等于距离之差等于1 1的点的的点的轨迹方程迹方程是是( () )A.|x|-|y|=1A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 B.|x-y|=1C.|x|-|y|=1C.|x|-|y|=1 D.|xy|=1 D.|xy|=1【解析解析】选选C.C.设动点设动点(x,y),(x,y),由题意知由题意知|x|-|y|=1|x|-|y|=1或或|y|-|x|=1,|y|-|x|=1,即即|x|-|y|=1.|x|-|y|=1.4.4.点点P P是曲是曲线2x2x2 2+y+y2 2=2=2上的上的动点点,O,O为坐坐标原点原点,M,M是是OPOP的中点的中点, ,则点点M M的的轨迹方程是迹方程是. .【解析解析】设设M(x,y),P(xM(x,y),P(x0 0,y,y0 0),),则则x x0 0=2x,y=2x,y0 0=2y.=2y.点点P P在在2x2x2 2+y+y2 2=2=2上上,2x,2x0 02 2+y+y0 02 2=2,=2,代入整理得代入整理得4x4x2 2+2y+2y2 2=1.=1.答案答案: :4x4x2 2+2y+2y2 2=1=15.5.已知两点已知两点A(-2,0),B(6,0),ABCA(-2,0),B(6,0),ABC的面的面积为16,16,则C C点的点的轨迹迹方程方程为. .【解析解析】A,BA,B两点都在两点都在x x轴上轴上,ABC,ABC的面积为的面积为16,16, |AB|h=16, |AB|h=16,解得解得h=4.h=4.点点C C在平行于在平行于x x轴且与轴且与x x轴距离为轴距离为4 4的直线上的直线上, ,即轨迹方程为即轨迹方程为y=4.y=4.答案答案: :y=4y=46.6.已知已知ABCABC的两个的两个顶点坐点坐标分分别为A(-2,0),B(0,-2),A(-2,0),B(0,-2),第三个第三个顶点点C C在曲在曲线y=3xy=3x2 2-1-1上移上移动. .求求ABCABC的重心的的重心的轨迹方程迹方程. .【解析解析】设重心坐标为设重心坐标为(x,y),(x,y),顶点顶点C(xC(x0 0,y,y0 0),),依题意有依题意有 解得解得 因为点因为点C C在在y=3xy=3x2 2-1-1上移动上移动, ,所以所以y y0 0=3x=3x0 02 2-1.-1.将将代入代入, ,得得y=9xy=9x2 2+12x+3,+12x+3,即为重心的轨迹方程即为重心的轨迹方程. .