函数的定义域指自变量的取值集函数的定义域指自变量的取值集合。中学数学中涉及的求定义域问题合。中学数学中涉及的求定义域问题一般有两大类：一类是求初等函数的一般有两大类：一类是求初等函数的定义域问题；一类是求抽象函数的定定义域问题；一类是求抽象函数的定义域问题。义域问题。一、求函数的定义域一、求函数的定义域例1、求下列函数的定义域（1）（2）（一）、求初等函数的定义域问题（一）、求初等函数的定义域问题解： 由 得所以定义域是解：由 得所以定义域是求下列函数的定义域求下列函数的定义域: ( , 1)(1, )( , 2321232-5, - - )(- - , )( , 5 2 3 23 22 (1) y= +(3- -2x)0 ; 2x- -x2lg(2x- -1)(2) y= 25- -x2 +lgcosx. 课堂训练课堂训练（二）、求抽象函数的定义域问题（二）、求抽象函数的定义域问题例例2、若、若 的定义域为的定义域为 ，求求 的定义域的定义域或所以 的定义域为得 中的解：解：所以定义域为解：当 时，定义域为当 时，定义域为当 时， 此函数不存在 1.已知函数已知函数 f(x) 的定义域为的定义域为 - - , , 求函数求函数 y=f(x2- -x- - ) 的定义域的定义域. 121212 2.已知函数已知函数 f(x) 的定义域是的定义域是 a, b, 且且 a+b0, 求下列函数的求下列函数的定义域定义域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)- -f(- -x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x- -m) (m0). , 0 1, 1- - 521+ 5 2课堂训练课堂训练3. (1): 3. (2): 3. (3): a+m, b - -m( (m时时, 原式不定义函数原式不定义函数) ) b- -a2- - b , b (a0 时时) ); - - b , - - a a , b (a0 时时) ). a, - -a( (a0 时原式不定义函时原式不定义函数数) ) 3.当当 k 为何值时为何值时, 函数函数 y=lg(kx2+4kx+3) 的定义域为的定义域为 R? 又当又当 k 为何值时为何值时, 值域为值域为 R?0k0 且且 a1) 的定义域的定义域.解解: 要使函数有意义要使函数有意义, 必须必须 ax- -k2x0, 得得: ( ) k(a0 且且 a1). a2x(1) 若若 k0, ( ) 0, xR; a2x 当当 a=2 时时, 若若 k1, 则则 xR; 若若 k1, 则则 x 不存在不存在. 综上所述综上所述: 当当 k0 或或 时时, 定义域为定义域为R; 0k0 0a0 a2 a2(2) 若若 k0, 当当 a2 时时, xlog k; a2 当当 0a2 且且 a1时时, x0 且且 , 1), 请把请把 y 表示成表示成 x 的函数的函数并求其定义域和值域并求其定义域和值域.解解: 原方程即为原方程即为: lg2z- -2lgz+3x=0 (x0).由已知可得由已知可得: =4- -12x0, x 且且 x0. 13lg +lg =2, lg lg =3x, y=log +log = + lg lg lg lg (lg +lg )2- -2lg lg lg lg = . 3x 4- -6x 即即 y= - -2, 3x4其定义域为其定义域为(-(-, 0)()(0, ; 13其值域为其值域为(-(-, - -2)2, +) ). 二、求函数的解析式二、求函数的解析式 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 函数解析式的常用方法有：函数解析式的常用方法有： 待定系数法待定系数法 换元法换元法 解函数方程组法解函数方程组法 代入法代入法凑配法凑配法 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容, 形式多样形式多样, 没有一定的程序可循没有一定的程序可循, 综合性强综合性强, 解解起来有相当的难度起来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常还是有一些常用之法用之法. 下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法的方法.（一）、待定系数法（一）、待定系数法设二次函数设二次函数 满足满足 且图象在且图象在 轴上的截距为轴上的截距为1，在，在 轴截轴截得的线段长为得的线段长为 ，求，求 的解析式。的解析式。例例1解法一、又解得设由得解法二、解法二、 得得 的对称轴为的对称轴为由由设设解法三、解法三、有对称轴又与 轴交点为故设变变式式: 设设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 求求 f(x). 解解: 由原式可知由原式可知 fg(x) 中的中的 g(x) 一个是一个是 2x, 另一个是另一个是 3x+1, 都是一次式都是一次式. 而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式是一个二次式, 则则可可设设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比比较较系数得系数得: a=1, b=0, c=- -1. 从而有从而有: f(x)=x2- -1. 评评注注: 先分析出先分析出 f(x) 的基本形式的基本形式, 再用待定系数法再用待定系数法, 求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与与 13x2+6x- -1 表示同一个式子表示同一个式子, 即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x- -1 . （二）、换元法（二）、换元法例例2、根据条件，分别求出函数、根据条件，分别求出函数 的解析式的解析式（1）解：令）解：令则则且且即即换元法换元法凑配法凑配法用用 替代式中的替代式中的又考虑到又考虑到（2）解：解：所以所以 f(x)=2lnx- -3 (x0). 评评注注: 通通过换过换元元, 用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”, 从从而求得而求得 f(x). 又如又如: 已知已知 f(cosx- -1)=cos2x. 求求 f(x). 变变式式: 已知已知 f(ex)=2x- -3, 求求 f(x). 解解: 设设 t=ex, 则则 x=lnt 且且 t0, 有有: f(t)=2lnt- -3 (t0). f(x)=2x2+4x+1(- -2x0) （三）、解函数方程组法（三）、解函数方程组法例3、已知 ， 求解：由解得变变式式已知已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求求 f(x). xx- -1解解: 记题记题中式子中式子为为式式, 用用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:xx- -1f( )+f( )= , xx- -11- -x1x2x- -1再用再用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:1- -x1f( )+f(x)= , 1- -x11- -x2- -x解由解由 , , 组组成的方程成的方程组组, 得得: 2x(x- -1)x3- -x2- -1f(x)= . 评评注注: 把把 f(x), f( ), f( ) 都看作都看作“未知数未知数”, 把已知条件把已知条件化化为为方程方程组组的形式解得的形式解得 f(x). 又如又如: 已知已知 af(x)+bf( )=cx, 其中其中, |a|b|, 求求 f(x). xx- -1 1- -x 1 1xf(x)= (ax- - ). a2- -b2cbx（四）、代入法（四）、代入法例例4、设函数、设函数 的图象为的图象为 ， 关于点关于点 对称的图象为对称的图象为 ， 求求 对应的函数对应的函数 的表达式。的表达式。 设 图象上任一点 ，则关于 对称点为 在 上，解：即即故例例5 已知已知 fff(x)=27x+13, 且且 f(x) 是一次式是一次式, 求求 f(x). 解解: 由已知可由已知可设设 f(x)=ax+b, 则则: 五、迭代法五、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由由题题意知意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比比较较系数得系数得: a=3, b=1. 故故 f(x)=3x+1. 评评注注: 本本题题的解法除了用迭代法的解法除了用迭代法, 还还用了待定系数法用了待定系数法. 课堂练习课堂练习1.已知已知 f(x) 是一次函数是一次函数, 且且 ff(x)=4x- -1, 求求 f(x) 的解析式的解析式.5.若若 3f(x- -1)+2f(1- -x)=2x, 求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)= , 求求 f(x) 的解析式的解析式. 4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(- -x)=10x , 求求 f(x). 6.已知已知 f(0)=1, f(a- -b)=f(a)- -b(2a- -b+1), 求求 f(x). 7.已知已知 f(x) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, 且且 f(x+4)=f(- -x), 当当 x(- -2, 2)时时, f(x)=- -x2+1, 求当求当 x(- -6, - -2) 时时 f(x) 的解析式的解析式.f(x)=- -2x+1 或或 2x- - 13x+5 x2- -2x+2 f(x)= f(x)=x2- -1(x1) f(x)= 10x - - 10- -x 1323f(x)=2x+ 25f(x)=x2+x+1 f(x)=- -x2- -8x- -158.已知函数已知函数 f(x)= 求求 f(x+1) . x2, x 0, +), , x(-(-, 0) ), 1xf(x+1)= (x+1)2, x - -1, +). , x(-(-, - -1) ), x+1 1 3.已知已知 f( x +1)=x+2 x , 求求 f(x). 9.已知已知 F(x)=f(x)- -g(x), 其中其中 f(x)=loga(x- -b), 当且仅当点当且仅当点 (x0, y0)在在 f(x) 的图象上时的图象上时, 点点 (2x0, 2y0) 在在 y=g(x) 的图象上的图象上( (b1, a0 且且a1) ), (1)求求 y=g(x) 的解析式的解析式; (2)当当 F(x)0 时时, 求求 x 的的范围范围.解解: (1) 由已知由已知 y0=loga(x0- -b),2y0=g(2x0) g(x)=2loga( - -b). x2(2) 由由(1) 知知: F(x)=f(x)- -g(x)=loga(x- -b)- -2loga( - -b). x2故由故由 F(x)0 可得可得: loga(x- -b)2loga( - -b). x2当当 a1 时时, x- -b( - -b)2, x2- -b0, x2解得解得: 2bx2b+2+2 b+1 . 解得解得: x2b+2+2 b+1 . 当当 0a0, x2综上所述综上所述: 当当 a1 时时, 2bx2b+2+2 b+1 ; 当当 0a1 时时, x2b+2+ 2 b+1. 三、求函数的值域三、求函数的值域1、函数值的集合我们叫函数的值域。、函数值的集合我们叫函数的值域。2、求函数的值域通常有：、求函数的值域通常有：（）观察法；（）观察法； （）不等式法；）不等式法；（）（）逆求法（用有界性）；逆求法（用有界性）；（）分离常数法；（）分离常数法；（）配方法；（）判别式法；（）配方法；（）判别式法；（）换元法；（）利用函数的单调性；（）换元法；（）利用函数的单调性；（）数形结合法；（）导数法；（）数形结合法；（）导数法；例1、求下列函数的值域解：（1）所以值域为 的一切实数解得由逆求法变式：求下列函数的值域：变式：求下列函数的值域：解：（1）由所以值域为 的一切实数分离常数法变式：求下列函数的值哉：变式：求下列函数的值哉：解：（解：（2）故值域为配方法配方法解：（解：（2）由 得时无解 又 故值域为又判别式法判别式法用不等式法用不等式法解：（解：（3）令令 则则 且且则则换元法换元法解：（解：（3）定义域定义域函数函数 ， 在在 都是单调增函数都是单调增函数故故 即即利用函数的单调性利用函数的单调性例例2、若函数、若函数 的定义域和值域都是的定义域和值域都是求求 的值。的值。解：由已知得解：由已知得所以对称轴为所以对称轴为在在 为增函数，为增函数，（舍）或（舍）或例求函数的值域：例求函数的值域：用数形结合法用数形结合法