第二章 有限元法的理论基础 2.1 微分方程的等效积分形式2.2 等效积分的“弱”形式2.3 加权余量法2.4 变分原理2.5 Ritz法2.6 弹性力学的变分原理2.1 微分方程的等效积分形式l已知算子方程已知算子方程方程的解在域方程的解在域W W中的每一点都满足算子方程和边界条件中的每一点都满足算子方程和边界条件 有限元法基础2.1 微分方程的等效积分形式l算子算子 设设X和和Y是同一数域是同一数域P上的两个赋范线性空间，上的两个赋范线性空间，D是是X的的一个子集，若存在某种对应法则一个子集，若存在某种对应法则T，使对任意，使对任意 , ,有有唯一确定的唯一确定的 与之对应，则与之对应，则T称为称为X中中D到到Y的算子，或映射。的算子，或映射。D称为称为T的定义域，的定义域，y或或T( (x) )称为象，称为象，象的集合称为象的集合称为T的值域。的值域。l算子方程算子方程 设算子设算子T的定义域的定义域为为D， ，值域为，值域为T(D), , 等式等式 称为算子方程。称为算子方程。 有限元法基础2.1 微分方程的等效积分形式l将算子方程及边界条件在各自的定义域将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有中积分，有 有限元法基础2.1 微分方程的等效积分形式l进一步改写为进一步改写为 可以证明在积分方程对任意的可以证明在积分方程对任意的v 都成立的话，则积分项在都成立的话，则积分项在域内每一点都满足算子方程和边界条件。域内每一点都满足算子方程和边界条件。l称为算子方程的等效形式称为算子方程的等效形式l特点特点 和和 是单值函数并且在定义域上可积是单值函数并且在定义域上可积 u的选择取决于算子的选择取决于算子A和和B 有限元法基础2.1 微分方程的等效积分形式l例：二维稳态热传导方程例：二维稳态热传导方程等效积分方程等效积分方程 有限元法基础2.2 等效积分的“弱”形式l对积分方程分部积分得到另一种形式对积分方程分部积分得到另一种形式C、D、E、F是微分算子，它们的导数阶数都比是微分算子，它们的导数阶数都比A低。低。l积分方程特点积分方程特点 对对u的连续性要求降低了；对的连续性要求降低了；对 和和 的要求提高了。的要求提高了。l这种通过适当提高对任意函数的连续性要求，以降这种通过适当提高对任意函数的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的积分形式低对微分方程场函数的连续性要求所建立的积分形式称为微分方程的等效积分称为微分方程的等效积分“弱弱”形式形式有限元法基础2.2 等效积分的“弱”形式l例：二维稳态热传导例：二维稳态热传导 假设实现满足边界条件假设实现满足边界条件 ，等效积分，等效积分形式成为形式成为分部积分分部积分有限元法基础2.2 等效积分的“弱”形式得到得到令令有限元法基础2.3 加权余量法l由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解 假设未知场函数假设未知场函数u u可用近似解表示可用近似解表示 为待定参数，为待定参数， 为已知的试函数。代入算子方程有为已知的试函数。代入算子方程有 和和 是方程的残余量。取是方程的残余量。取n个独立的函数作为个独立的函数作为v,得到得到 n 个方程，即个方程，即有限元法基础2.3 加权余量法l基于等效积分基于等效积分“弱弱”形式的近似方法形式的近似方法l定义：采用使余量的加权积分为零来求解微分方程近似定义：采用使余量的加权积分为零来求解微分方程近似解的方法成为加权余量法（解的方法成为加权余量法（Weighted Residual Method）l根据权函数的选取方法，可得到各种形式的加权余量的根据权函数的选取方法，可得到各种形式的加权余量的求解方法，最常见的是伽辽金（求解方法，最常见的是伽辽金（Galerkin）法）法l伽辽金法的特点是权函数与试函数取相同的函数形式伽辽金法的特点是权函数与试函数取相同的函数形式 有限元法基础2.3 加权余量法l取取 ，在边界上，在边界上 可得积分形式的余量方可得积分形式的余量方程组程组l注意到注意到 ，可将上式改写为，可将上式改写为l积分积分“弱弱”形式的方程组形式的方程组 有限元法基础2.4 变分原理l线性自伴随算子线性自伴随算子 算子方程算子方程 在在 内，若算子有如下性质内，若算子有如下性质 ， 和和 为任意常数为任意常数 则则A为线性算子。为线性算子。 定义内积定义内积 对上式进行分部积分直至对上式进行分部积分直至u的导数消失，即的导数消失，即 称为称为A 的伴随算子，若的伴随算子，若 称算子为自伴随算子。称算子为自伴随算子。 有限元法基础2.4 变分原理l例：证明例：证明 是自伴随算子。是自伴随算子。 构造内积，并分部积分构造内积，并分部积分 由上式可见由上式可见AA*. . 有限元法基础2.4 变分原理l微分方程为微分方程为利用线性自伴随算子的性质利用线性自伴随算子的性质伽辽金法的积分方程为伽辽金法的积分方程为 有限元法基础2.4 变分原理l综合上面的式子，有综合上面的式子，有 其中其中 上式称为原问题的变分原理上式称为原问题的变分原理l特点特点 泛函中泛函中u的最高阶次为二次，故成为二次泛函；的最高阶次为二次，故成为二次泛函； 如果函数如果函数u及其变分及其变分 满足一定的条件，能够得到全变满足一定的条件，能够得到全变分形式，从而得到泛函的变分。分形式，从而得到泛函的变分。 有限元法基础2.4 变分原理l例：二维热传导问题例：二维热传导问题 伽辽金法的积分方程为伽辽金法的积分方程为 经分部积分，并注意到在经分部积分，并注意到在ST上上 ，有，有由此导出由此导出 有限元法基础2.5 Ritz法l对于线性自伴随算子，存在等效的变分原理，有近似解对于线性自伴随算子，存在等效的变分原理，有近似解法法Ritz法法 设近似解为设近似解为Ni为取自完全系列的已知函数，为取自完全系列的已知函数，ai为待定参数。代入泛函为待定参数。代入泛函中，得到由待定参数表示的泛函，关于泛函变分，有中，得到由待定参数表示的泛函，关于泛函变分，有由变分的任意性的方程组由变分的任意性的方程组 有限元法基础2.5 Ritz法l对于二次泛函得到的是线性方程组对于二次泛函得到的是线性方程组l可以证明可以证明K是对称矩阵是对称矩阵l关于关于Ritz法的收敛性法的收敛性 当试函数当试函数Ni (i=1,i=1,n),n)取自完备函数系列，且满足算子取自完备函数系列，且满足算子方程要求的连续性，当方程要求的连续性，当 泛函泛函 单调收敛于单调收敛于 ，泛函具有极值泛函具有极值。有限元法基础2.5 Ritz法lRitz法应用中的难点法应用中的难点 求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生难以克服的困难；难以克服的困难； 为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解的复杂性；的复杂性；有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地避免上述困难避免上述困难有限元法基础2.6 弹性力学的变分原理l弹性力学中的变分原理包括弹性力学中的变分原理包括虚功原理、余虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、虚功原理、余虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、Hellinger-Reissner（两场广义变分原理）、广义变分原理（两场广义变分原理）、广义变分原理（胡（胡-鹫原理）等。鹫原理）等。在一定条件下它们之间是可以相互等价的，如在真实解的在一定条件下它们之间是可以相互等价的，如在真实解的情况下情况下 ， 最小势能原理最小余能原理最小势能原理最小余能原理0；在满足勒让；在满足勒让德变换的条件下，广义变分原理与德变换的条件下，广义变分原理与Hellinger-Reissner等价；等价；在材料有势，外力有势时虚功原理与最小势能原理等价等在材料有势，外力有势时虚功原理与最小势能原理等价等等。等。有限元法基础2.6 弹性力学的变分原理l弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 1 1）连续性假设）连续性假设 物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。物体在整个变形物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。物体在整个变形过程中始终保持连续。过程中始终保持连续。 2 2）弹性假设）弹性假设 弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失，服从虎克定律。函数关系，且载荷卸去后变形完全消失，服从虎克定律。有限元法基础2.6 弹性力学的变分原理 3 3）均匀性假设）均匀性假设 物体在个点处的弹性性质都相同。物体在个点处的弹性性质都相同。 4 4）自然状态假设）自然状态假设 假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。有限元法基础2.6.1 弹性力学基本方程 l平衡方程平衡方程l几何方程几何方程l本构方程本构方程 对各向同性各向同性弹性材料性材料 Lam系数系数 (下下标 i, j = 1,2,3 )有限元法基础2.6.1 弹性力学基本方程 l位移边界条件位移边界条件l力的边界条件力的边界条件有限元法基础2.6.1 弹性力学基本方程 l矩阵记法矩阵记法 平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 本构方程本构方程 位移边界条件位移边界条件 力的边界条件力的边界条件 应变能密度应变能密度 余能密度余能密度 有限元法基础2.6.1 弹性力学基本方程 l符号定义为符号定义为有限元法基础2.6.1 弹性力学基本方程 l退化为平面问题退化为平面问题平面应力时的材料常数矩阵 平面应变时的材料常数矩阵 有限元法基础2.6.2 虚功原理l考考虑虑一一处处于于平平衡衡的的物物体体，即即在在域域内内满满足足平平衡衡方方程程，在在边边界界上上满满足足力力的的边边界界条条件件。以以虚虚位位移移作作为为权权函函数数得得到到等等效效积分方程积分方程第一项分部积分得第一项分部积分得有限元法基础2.6.2 虚功原理l注意到在注意到在S Su u上上 ，得到，得到l物理意义物理意义 平衡力系在虚位移和虚应变上做功的总和为零。反之，平衡力系在虚位移和虚应变上做功的总和为零。反之，如果力系在虚位移上所作之功的和为零，则物体一定处如果力系在虚位移上所作之功的和为零，则物体一定处于平衡。虚功原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。于平衡。虚功原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。l特点特点 推导中未涉及本构关系，它适用于小变形的非线性弹性推导中未涉及本构关系，它适用于小变形的非线性弹性和弹塑性材料。和弹塑性材料。有限元法基础2.6.2 虚功原理l矩阵表达式矩阵表达式l类似的方式可以导出余虚功原理类似的方式可以导出余虚功原理 如果位移是协调的，则虚应力和虚边界力所作之功的如果位移是协调的，则虚应力和虚边界力所作之功的总和为零。总和为零。有限元法基础2.6.3 最小势能原理l假设材料存在势函数，即假设材料存在势函数，即l外力也存在外力势，即外力也存在外力势，即l虚功原理虚功原理l对于线弹性材料，以及外力变分为零的情况对于线弹性材料，以及外力变分为零的情况有限元法基础2.6.3 最小势能原理l泛函事先满足位移协调条件泛函事先满足位移协调条件 1 1） 2 2）l隐含满足本构关系隐含满足本构关系l泛函与平衡条件等价泛函与平衡条件等价 1 1） 2 2）有限元法基础2.6.3 最小势能原理l取极小值的证明取极小值的证明 设设 为真实位移，为机动许可的位移为真实位移，为机动许可的位移 ，分，分别代入系统总势能表达式，得别代入系统总势能表达式，得根据虚功原理泛函的一阶变分为零，二阶变分表现为应根据虚功原理泛函的一阶变分为零，二阶变分表现为应变能，有变能，有故真实解使系统势能取极小值。故真实解使系统势能取极小值。有限元法基础2.6.3 最小势能原理l基于最小势能原理的解的下限性基于最小势能原理的解的下限性 由能量守恒知，变形过程中的功等于弹性体变形后的由能量守恒知，变形过程中的功等于弹性体变形后的应变能，即应变能，即将此关系代入最小势能原理，得将此关系代入最小势能原理，得近似位移场总是比精确解偏小近似位移场总是比精确解偏小有限元法基础2.6.3 最小势能原理l矩阵表达形式矩阵表达形式l变分取驻值变分取驻值有限元法基础2.6.3 最小势能原理l由由 的任意性，以及的任意性，以及有限元法基础l假设材料存在余能密度函数，且给定位移变分为零，即假设材料存在余能密度函数，且给定位移变分为零，即l由此可见余虚功原理存在全变分表达式由此可见余虚功原理存在全变分表达式有限元法基础2.6.4 最小余能原理l进一步改写为进一步改写为其中其中l意义：真实解使系统的总余能取驻值。意义：真实解使系统的总余能取驻值。有限元法基础2.6.4 最小余能原理2.6.4 最小余能原理有限元法基础l设真实应力场为设真实应力场为l考虑静力许可应力场考虑静力许可应力场l静力许可应力场定义为满足平衡条件的应力场，包括平静力许可应力场定义为满足平衡条件的应力场，包括平衡方程和力的边界条件衡方程和力的边界条件l虚应力场满足虚应力场满足2.6.4 最小余能原理有限元法基础l在静力许可的应力场下，系统总余能为在静力许可的应力场下，系统总余能为l其中其中l真实解使系统余能取最小值真实解使系统余能取最小值2.6.4 最小余能原理有限元法基础l假定假定l 由最小余能原理由最小余能原理l利用最小余能原理得到的近似解总体上偏大利用最小余能原理得到的近似解总体上偏大2.6.4 最小余能原理有限元法基础