定积分的概念及性质定积分的概念及性质一、问题的提出一、问题的提出1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由曲线由曲线及直线及直线围成围成 ,求其面积求其面积 A .面积：面积：2. 几点说明几点说明(1)不行！不行！(2) 两个任意性：两个任意性：划分的稠密性：划分的稠密性：称称 f (x) 在在区间区间a, b上上可积可积.定积分定积分 与与 有有关关与与积分变量用什么字母表示积分变量用什么字母表示无关：无关： 被积函数被积函数积分区间积分区间(4) 确定定积分的两个要素确定定积分的两个要素ab xyOab tyO“面积相同面积相同”三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义（曲边梯形面积）（曲边梯形面积）（曲边梯形面积的负值）（曲边梯形面积的负值）（各小面积的代数和）（各小面积的代数和）四、可积的条件四、可积的条件可积的必要条件：可积的必要条件： 在在a, b上有界上有界1. 必要条件必要条件反例反例:狄利克雷函数狄利克雷函数在任何区间在任何区间a, b上上有界有界，但却，但却不可积分不可积分.事实上，事实上，2. 充分条件充分条件定理定理1 定理定理2且只有且只有有限个间断点有限个间断点， 注注有界函数有界函数 f (x)的定积分是否存在以及定积的定积分是否存在以及定积分的值为多少与分的值为多少与 f (x)在积分区间上在积分区间上有限个有限个点处的值无关点处的值无关.注注利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解将将 0,1 n 等分等分, 分点为分点为取取例例1利用利用得得两端分别相加两端分别相加, 得得即即注注 1(小区间小区间右端点右端点)2此时，将此时，将 a, b n等分，等分，则则有有可利用定积可利用定积分求一些分求一些“和式数列和式数列”的极限的极限.取取五、定积分的性质五、定积分的性质(设定积分均存在设定积分均存在)( k 为常数为常数)证证 = 右端右端规定规定性质性质1（线性性质）（线性性质）例例2求求 f (x).解解分析分析对于给定的被积函数及积分区间，定积分对于给定的被积函数及积分区间，定积分是一个是一个确定的数确定的数.xyO1y = x（可加性）（可加性）性质性质2证证 1 当当时时,因因在在上可积上可积 ,（以（以c 为分点分割区间）为分点分割区间）由由1 得得性质性质3 （度量性）（度量性）（区间长度）（区间长度）性质性质4则证证则（保序性）（保序性）由由1得得推论推论证证即即及保序性及保序性, 得得例例3比较积分大小：比较积分大小：解解则则（估值定理）（估值定理）性质性质5设设证证得得例例4估计估计的值的值.解解例例5 试证试证:证证 设设寻找最值寻找最值则则即即故故即即性质性质6 ( (定积分中值定理）定积分中值定理）则至少存在一点则至少存在一点使使证证由由性质性质5 ，由由介值定理介值定理, ,使使例例6解解由积分中值定理知由积分中值定理知, 有有使使定积分中值定理的数学意义定积分中值定理的数学意义:函数可达到其函数可达到其a, b上函数值的平均值上函数值的平均值.定积分中值定理的几何意义：定积分中值定理的几何意义：曲边梯形面积曲边梯形面积 = 某矩形面积某矩形面积abxyo内容小结内容小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！34