一一. . 数学思想方法的三个层次数学思想方法的三个层次: : 数学思想数学思想数学思想数学思想和方法和方法和方法和方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法数学一般方法逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方逻辑学中的方法法法法( ( ( (或思维方法或思维方法或思维方法或思维方法) ) ) )数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、配方法、换元法、待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别待定系数法、判别式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等式法、割补法等 分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、分析法、综合法、归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等归纳法、反证法等函数和方程思想、函数和方程思想、函数和方程思想、函数和方程思想、分分分分类讨论思想类讨论思想类讨论思想类讨论思想、数形结、数形结、数形结、数形结合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等合思想、化归思想等分类讨论思想分类讨论思想分分类思想是根据数学本思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研属性的相同点和不同点，将数学研究究对象分象分为不同种不同种类的一种数学思想。分的一种数学思想。分类以比以比较为基基础，比比较是分是分类的前提，分的前提，分类是比是比较的的结果。果。分分类必必须有一定的有一定的标准，准，标准不同分准不同分类的的结果也就不同。分果也就不同。分类要做到不要做到不遗漏，不重复。分漏，不重复。分类后，后，对每个每个类进行研究，使行研究，使问题在各种不同的情况下，分在各种不同的情况下，分别得到各种得到各种结论，这就是就是讨论。分类讨论思想分类讨论思想分分类讨论是是对问题深入研究的思想方法，用分深入研究的思想方法，用分类讨论的的思想，有助于思想，有助于发现解解题思路和掌握技能技巧，做到思路和掌握技能技巧，做到举一一反三，触反三，触类旁通。旁通。分分类的思想随的思想随处可可见，既有概念的分，既有概念的分类：如：如实数、有理数、有理数、数、绝对值、点（直、点（直线、圆）与）与圆的位置关系和两的位置关系和两圆相相切等概念的分切等概念的分类；又有解；又有解题方法上的分方法上的分类，如代数式中，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；含有字母系数的方程、不等式；还有几何中有几何中图形位置关形位置关系不确定的分系不确定的分类，等腰三角形的，等腰三角形的顶角角顶点不确定、相似点不确定、相似三角形的三角形的对应关系不确定等。关系不确定等。一一. .与概念有关的分类与概念有关的分类1. 一次函数一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式，则这个函数的解析式 。-5=-3k+b -2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b解析式为解析式为 Y= x-4, 或或 y=- x-32. 函数函数y=ax2-ax+3x+1与与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求a的值的值与交点坐标。与交点坐标。 当当a=0时时,为一次函数为一次函数y=3x+1,交点为（交点为（- ，0）；）；当当a不为不为0时时,为二次函数为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, =a2 -10a+9=0.解得解得a=1或或 a=9,交点为（交点为（-1，0）或（）或（ ，0）二二. .图形位置的分类图形位置的分类如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?150a 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成三角形的两顶点构成等腰三角形等腰三角形！B BA AC C505011011020201、对、对 A进行讨论进行讨论2、对、对 B进行讨论进行讨论3、对、对 C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110（分类讨论）（分类讨论）B BA AC C505011011020203. 如图，直线如图，直线AB经过圆经过圆O的圆心，与圆的圆心，与圆O交于交于A、B两点，点两点，点C在在O上，且上，且 AOC=300，点，点P是直线是直线AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点O不不重合），直线重合），直线PC与圆与圆O相交于点相交于点Q，问点，问点P在直线在直线AB的什么位的什么位置时，置时，QP=QO？这样的点？这样的点P有几个？并相应地求出有几个？并相应地求出 OCP的度的度数。数。ABCPOQ解：解： OQ=OC，OQ=QP OQC= OCQ， QOP= QPO 设设 OCP=x0 , 则有：则有：（2）如果点）如果点P在线段在线段OB上，显然有上，显然有PQOQ，所以点，所以点P不可能在不可能在线段线段OB上。上。（1）如上图，）如上图， 当点当点P在线段在线段OA上时，上时， OQC= OCP=x, QPO= （1800 OQP）= （1800x)又又 QPO= OCP+ COP， (1800x)=x+300, 解得解得x=400, 即即 OCP=400OQCPBAQPOCBA（3）如图，当点在的延长线上时，）如图，当点在的延长线上时， OQC= OCQ=1800， OPQ= （1800x)= x. 又又QCO= CPO+ COP， 1800x=x+300 解得解得x=1000 即即 OCP=1000（4）如图当在的延长线上时，）如图当在的延长线上时， OQC= OCQ=x,OQC= QPO+ QOP, QPO= OQC= x, 又又 COA= OCP+ CPO, 解方程解方程30=x+ x, 得到得到x=200 即即 OCP=200CBA4在半径为在半径为1的圆的圆O中，弦中，弦AB、AC的长的长分别是分别是 、 ，则则 BAC的度数是的度数是 。5 ABC是半径为是半径为2cm的圆的的圆的内接三角形，内接三角形，若若BC=2 cm,则角则角A的度数是的度数是 。CABCCBA6在在 ABC中，中， C=900，AC=3，BC=4。若以为圆。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？的值为多少？ACBBACCBA7.半径为半径为R的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切且和这两个圆都相切的圆有几个？的圆有几个？8、在一张长为在一张长为9 9厘米，宽为厘米，宽为8 8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为为5 5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？等腰三角形的面积？解：分三种情况计算：解：分三种情况计算：当当AE=AF=5AE=AF=5厘米时（图一）厘米时（图一）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米时（图厘米时（图2 2）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米时（图厘米时（图3 3） 三三. .与相似三角形有关的分类与相似三角形有关的分类9.在矩形在矩形ABCD中，中，AB=12cm，BC=6cm，点，点P沿沿AB边边从点从点A出发向出发向B以以2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q沿沿DA边从点边从点D开开始向始向A以以1cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用同时出发，用t秒秒表示移动的时间（表示移动的时间（0x6）那么：）那么：（1）当）当t为何值时，为何值时， QAP为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？（2）求四边形）求四边形QAPC的面积；的面积；提出一个与计算结果有关的结论；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当）当t为何值时，以点为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似？相似？QPADCB解：对于任何时刻解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6，当，当=AP时，时， QAP为等腰直为等腰直 角三角形，即角三角形，即6t=2t,解得解得t=2（秒）（秒）（3）根据题意，可分为两种情况来研究）根据题意，可分为两种情况来研究在矩形在矩形ABCD中：中：当当 = 时，时， QAPABC，则，则 = ，解得解得t= =1.2秒。所以当秒。所以当t=1.2秒时，秒时， QAPABC。当当 = 时，时， PAQABC，则，则 = ，解得解得t=3（秒）。所以当（秒）。所以当t=3秒时，秒时， PAQABC。（2）在）在 QAC中，中，S= QADC= （ 6t)12=36在在 APC中，中，S= APBC= QAPC的面积的面积S=（6t)+6t=36(cm2)由计算结果发现：在由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，两点移动的过程中，四边形四边形QAPC的面积始终保持不变。的面积始终保持不变。QPADCB10。已知二次函数。已知二次函数的图像与轴交于、两点的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点,直线（直线（）与轴交于点。与轴交于点。（）求、三点的坐标；（）求、三点的坐标；（）在直线（）在直线（）上有一点（点在第一象）上有一点（点在第一象限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。的三角形相似，求点的坐标。解解（1）A（1，0），），B（1，0），），C（，（，2） 当当 PDB COB时，时， 有有P（m, 2m2）；(2) 当当 PDB BOC时，时， = 有（，）有（，）P11. 如图所示，在直角梯形如图所示，在直角梯形ABCD中，中，AD/BC，AD=21。动点。动点P从点从点D出发，沿射线出发，沿射线DA的方向以每秒的方向以每秒2个单位长个单位长的速度运动，动点的速度运动，动点Q从点从点C出发，在线段出发，在线段CB上以每秒上以每秒1个单位长个单位长的速度向点的速度向点B运动，点运动，点P，Q分别从点分别从点D，C同时出发，当点同时出发，当点Q运运动到点动到点B时，点时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（1）设）设BPQ的面积为的面积为S，求，求S与与t之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）当线段）当线段PQ与线段与线段AB相交于点相交于点O，且，且BO=2AO时，求时，求 （3）当）当t为何值时，以为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等三点为顶点的三角形是等腰三角形？腰三角形？ 的正切值；的正切值；(4)是否存在时刻是否存在时刻t，使得，使得PQ BD？若存在，？若存在，求出求出 t的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。解：（解：（1）如图）如图1所示，过点所示，过点P作，作，垂足为垂足为M，则四边形，则四边形PDCM为矩形。为矩形。（2）如图）如图2所示，由所示，由 得：得： 图图图图图图1