第第1313章章 三角形中的边角关系、命题与证明三角形中的边角关系、命题与证明13.2 13.2 命题与证明命题与证明第第3 3课时课时 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论直直 角三角形角的性质角三角形角的性质 1课堂堂讲解解u直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余 u有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知知识点点直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余1.证明的一般步骤：证明的一般步骤： (1)分清命题的条件和分清命题的条件和结论结论； (2)画出符合条件的画出符合条件的图形图形，标出有关字母与符号；，标出有关字母与符号； (3)结合结合图形图形写出已知、求证；写出已知、求证； (4)分析因果关系，找出证明途径；分析因果关系，找出证明途径； (5)有条理地写出证明过程有条理地写出证明过程知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲分析：分析：以前我们通过剪拼将三角形的三个内以前我们通过剪拼将三角形的三个内 角拼成了一个平角，这不是证明，但角拼成了一个平角，这不是证明，但 它却给我们以启发它却给我们以启发. .现在我们通过作图现在我们通过作图 来实现这种转化，给出证明来实现这种转化，给出证明. .2.三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明 下面，就来证明下面，就来证明三角形内角和定理三角形内角和定理： 三角形的内角和等于三角形的内角和等于180. 已知：已知：ABC,如图如图. 求证：求证：A+B+ C = 180. 知知1 1讲讲证明：证明：如图如图,延长延长BC到到D，以点，以点C为顶点、为顶点、CD 为一边为一边 作作2 =B， 则则 CE/BA.(同位角相等，两直线平行）同位角相等，两直线平行） A = 1.(两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） B, C,D在同一条直线上，（所作）在同一条直线上，（所作） 1 + 2 + ACB = 180, A+ B + ACB = 1 + 2 + ACB =180.（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲3.辅助线的定义及画法：辅助线的定义及画法： 在上面的证明过程中，为了证明在上面的证明过程中，为了证明 的需要，在原来图形上添画的线的需要，在原来图形上添画的线 （如（如CD, CE)叫做叫做辅助线辅助线. 辅助线通辅助线通常画成虚线常画成虚线. .知知1 1讲讲4.直角三角形的定义和性质（推论直角三角形的定义和性质（推论1）：）： (1)定义：定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形有一个角是直角的三角形叫直角三角形 表示法：直角三角形用符号表示法：直角三角形用符号“Rt”表示，直角表示，直角 三角形三角形ABC可以写成可以写成RtABC. (2)性质：性质：直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角互余互余 如图，在如图，在RtABC中，中，AB90 . 5.推论的定义推论的定义: 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推推 论论(inference). 知知1 1讲讲导引：导引：(1)根据直角三角形的两锐角互余求出根据直角三角形的两锐角互余求出BCD的的 度数，再利用三角形内角和定理求出度数，再利用三角形内角和定理求出ACB的的 度数，然后根据角平分线的定义求出度数，然后根据角平分线的定义求出BCE的的 度数，从而可以求出度数，从而可以求出ECD的度数；的度数；(2)根据三根据三 角形的角度关系，找出度数是角形的角度关系，找出度数是70的角即可的角即可 例例1 如图，在如图，在ABC中，中，A30，B70， CE平分平分ACB，CDAB于于D， DFCE于于F. (1)求求ECD的度数；的度数； (2)请找出图中所有与请找出图中所有与B相等的角相等的角知知1 1讲讲解：解：(1)B70，CDAB于于D， BCD907020. 在在ABC中，中，A30，B70， ACB180307080. CE平分平分ACB， BCE ACB40. ECDBCEBCD402020. (2)CDAB于于D，DFCE于于F， CED90ECD902070， CDF90ECD902070， 与与B相等的角有：相等的角有：CED和和CDF. （来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 直角三角形是特殊的三角形，直角直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和定理的一种角和定理，是三角形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角形中已知一锐角可求另一锐角1 (中考中考海南海南)在一个直角三角形中，有一在一个直角三角形中，有一 个锐角等于个锐角等于60，则另一个锐角的度数，则另一个锐角的度数 是是() A120 B90 C60 D30 如图，如图，AD是是RtABC的斜边的斜边BC上的高，上的高，1 则图中与则图中与B互余的角有互余的角有() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点） 3 (中考中考荆门荆门)如图，如图，mn，直线，直线l分别交分别交 m，n于点于点A，点，点B，ACAB，AC交交 直线直线n于点于点C，若，若135，则，则2等等 于于() A35 B45 C55 D65 (中考中考鄂州鄂州)如图，如图，ABCD，EF与与 AB，CD分别相交于点分别相交于点E，F，EPEF, 与与EFD的平分线的平分线FP相交于点相交于点P，且，且 BEP50，则，则EPF()度度 A70 B65 C60 D55知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知知识点点有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形知知2 2讲讲1.直角三角形的判定（推论直角三角形的判定（推论2）: 判定：判定：有两个角有两个角互余互余的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 注意：注意：这两个锐角要在同一个三角形中这两个锐角要在同一个三角形中2.直角三角形的性质与判定的区别与联系：直角三角形的性质与判定的区别与联系： 区别：性质中区别：性质中直角三角形直角三角形是条件，两锐角的关系是条件，两锐角的关系 是结论；判定中两角的关系是条件，是结论；判定中两角的关系是条件，直角直角 三角形三角形是结论是结论 联系：性质和判定的理论依据都是联系：性质和判定的理论依据都是三角形内角和三角形内角和 定理定理（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲导引：导引：判断判断EFP为直角三角形有两种方法：有一角为直角三角形有两种方法：有一角 是直角或两锐角互余，即要说明是直角或两锐角互余，即要说明EPF90 或或EFPFEP90. 例例2 如图，如图，ABCD，直线，直线EF分别交分别交AB，CD于点于点 E，F，BEF的平分线与的平分线与DFE的平分线相的平分线相 交于点交于点P.试说明试说明EFP为直角三角形为直角三角形知知2 2讲讲解：解：ABCD， BEFDFE180. EP为为BEF的平分线，的平分线，FP为为EFD的平分线，的平分线， PEF BEF，PFE DFE. PEFPFE (BEFDFE) 18090. EPF180(PEFPFE)90. EFP为直角三角形为直角三角形 （来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） “有一个角是直角的三角形是直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形” 是直角三角形的定义，据此可判定直角三角是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；形；“有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形”是是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义本题主要根据平行线的性质与角平形的定义本题主要根据平行线的性质与角平分线的定义计算三角形两个内角的和等于分线的定义计算三角形两个内角的和等于90.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1 具备下列条件的具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的中，不是直角三角形的 是是() AABC 1 BA B C CABC1 2 3 DA2B3C1 如图，点如图，点E是是ABC中中AC边上的一点，边上的一点， 过过E作作EDAB，垂足为，垂足为D.若若12， 则则ABC是直角三角形吗？为什么？是直角三角形吗？为什么？判断一个三角形形状的方法：判断一个三角形形状的方法：(1)角度计算法：角度计算法：最大角是锐角，三角形就是锐角三角最大角是锐角，三角形就是锐角三角 形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大 角是钝角，三角形就是钝角三角形角是钝角，三角形就是钝角三角形(2)比例关系比较法：比例关系比较法：两较小角的比例和小于最大角的两较小角的比例和小于最大角的 比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例 和等于最大角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余两锐角互余)，则此三角形为，则此三角形为 直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比 例，则此三角形为锐角三角形例，则此三角形为锐角三角形（来自（来自典中点典中点）