Factorial design ANOVA 析因设计的方差分析析因设计的方差分析一、析因设计类型实例实例1：p127例例10.6：外敷：外敷1普鲁卡因对第普鲁卡因对第一产程的影响研究。问一产程的影响研究。问是否用药有无影响是否用药有无影响？不同年龄有无影响？不同年龄有无影响？药物与年龄有无药物与年龄有无交互作用？交互作用？完全随机的两因素完全随机的两因素2 22 2析因设计析因设计年年龄药物物用用不用不用203.3,3.3, 3.6,5.8,6.7,8.7, 25305.2,5.4, 3.3,10.6,6,7.8, 实例实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（），：白血病患儿的淋巴细胞转化率（），问问不同缓解程度、不同化疗期淋转率是否不同缓解程度、不同化疗期淋转率是否相同？相同？两者间有无交互作用？两者间有无交互作用？ 完全随机的两因素完全随机的两因素2 22 2析因设计析因设计缓解程度解程度时期期化化疗期期化化疗间隙隙完全完全缓解解46，51，41，32，45，52，41，34，56，36，46，47，63，56，54，39，未未缓解解39，28，26，33，31，35，37，50，53，58，66，51，57，64，45，45，实例实例3：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药剂频次下药剂ACTH对尿总酸度的影响。问对尿总酸度的影响。问A、B各自的主效应如何？各自的主效应如何？二者间有无交互作用二者间有无交互作用？随机配伍的两因素随机配伍的两因素3 32 2析因设计析因设计日注射日注射量量A注射次数注射次数BB1（少）（少）B2（多）（多）A133.6, 37.1, 34.1, 34.633.0, 30.5, 33.3, 34.4A233.0, 29.5, 29.2, 30.728.5, 31.8, 29.9, 28.3A331.4, 28.3, 28.9, 28.630.7, 28.2, 28.4, 30.6二、析因设计的特点2个以上个以上(处理处理)因素因素(factor) (即分类变量即分类变量)2个以上水平（个以上水平（level）2个以上重复（个以上重复（repeat）每次试验涉及全部因素每次试验涉及全部因素,即因素同时施加即因素同时施加观察指标（观测值）为计量资料（独立、观察指标（观测值）为计量资料（独立、正态、等方差）正态、等方差）三、析因设计的有关术语单独效应（单独效应（simple effects）：其它因素）：其它因素（factor）的水平（）的水平（level）固定为某一值）固定为某一值时，某一因素的效应时，某一因素的效应主效应（主效应（main effects）：某因素各单独作）：某因素各单独作用的平均效应用的平均效应交互作用（交互作用（Interaction）：某一因素效应）：某一因素效应随着另一因素变化而变化的情况。（如一随着另一因素变化而变化的情况。（如一级交互作用级交互作用AB、二级交互作用、二级交互作用ABC析因设计可以提供三方面的重要信息：析因设计可以提供三方面的重要信息：1、各因素不同水平的效应大小；、各因素不同水平的效应大小；2、各因素间的交互作用通过比较各种组合；、各因素间的交互作用通过比较各种组合；3、找出最佳组合、找出最佳组合如果在一次实验中，一个因素水平间的效如果在一次实验中，一个因素水平间的效应随其他因素水平的不同而变化时，则因应随其他因素水平的不同而变化时，则因素间存在交互作用，它是各因素效应间不素间存在交互作用，它是各因素效应间不独立的表现。独立的表现。如将如将22析因设计中的析因设计中的4个均数作图，个均数作图，2条直条直线方向一致但斜率不等，表示线方向一致但斜率不等，表示A、B两因素两因素有交互作用（协同作用）。有交互作用（协同作用）。反之，若得反之，若得2条相互平行的直线，表示条相互平行的直线，表示A、B两因素无交互作用两因素无交互作用。如果两条线相交，方向相反，说明随着如果两条线相交，方向相反，说明随着A因因素增量，素增量，B因素的效应有所减弱，两因素间因素的效应有所减弱，两因素间存在拮抗作用。存在拮抗作用。析析因因设设计计各各处处理理组组间间在在均均衡衡性性方方面面的的要要求求与与完完全全随随机机设设计计一一致致，各各处处理理组组样样本本含含量量应应尽尽可可能能相相同同；析析因因设设计计对对各各因因素素不不同同水水平平的的全全部部组组合合进进行行试试验验，故故具有全面性和均衡性；具有全面性和均衡性；析析因因设设计计比比一一次次只只考考虑虑一一个个因因素素的的实实验验效效率率高高，例例如如，22析析因因设设计计是是一一次次考考虑虑一一个个因因素素实实验验的的1.5倍倍。从得到的信息来看，它节省了组数和例数；从得到的信息来看，它节省了组数和例数；当当考考虑虑的的因因素素较较多多，处处理理组组数数会会很很大大，这这时时采采用用析析因设计不是最佳选择，可选用正交设计。因设计不是最佳选择，可选用正交设计。析析因因设设计计的的优优点点之之一一是是可可以以考考虑虑交交互互作作用用，但但有有时时高高阶阶交交互互作作用用是是很很难难解解释释的的，实实际际工工作作中中常常只只考考虑虑一、二阶交互作用。一、二阶交互作用。四、析因设计的优缺点四、析因设计的优缺点优点：可用来分析全部主效应，以及因素间可用来分析全部主效应，以及因素间各级的交互作用各级的交互作用缺点：所需试验的次数很多，如所需试验的次数很多，如2因素，各因素，各3水平水平5次重复需要试验为次重复需要试验为45次次五、析因设计的方差分析五、析因设计的方差分析两因素两水平完全随机析因设计的方差分两因素两水平完全随机析因设计的方差分析：析：是将是将SS处理处理进一步分解为进一步分解为A因素主效因素主效应离均差平方和应离均差平方和SSA、B因素离均差平方因素离均差平方和和SSB及及AB两因素交互作用的离均差平两因素交互作用的离均差平方和方和SSAB三个部分。其自由度也作相应三个部分。其自由度也作相应的分解，再与误差离均差平方和比较，形的分解，再与误差离均差平方和比较，形成三个成三个F值，以说明三者的差异性。值，以说明三者的差异性。V=crk-1 或或 N-1例题：例题：P127，例，例10.6，试分析产程与药物及，试分析产程与药物及年龄的关系。年龄的关系。检验步骤：检验步骤：（一）建立假设确定水准：（一）建立假设确定水准：1、A因素：是否用药对产程有无影响因素：是否用药对产程有无影响2、B因素：不同年龄对产程有无影响因素：不同年龄对产程有无影响3、交互影响：是否用药与年龄有无交互作用、交互影响：是否用药与年龄有无交互作用（二）计算统计量（二）计算统计量1、计算、计算C值：值：2、计算离均差平方和及自由度：、计算离均差平方和及自由度：3、计算、计算F值：值：三因素多水平完全随机析因设三因素多水平完全随机析因设计的方差分析计的方差分析实例：小鼠种别实例：小鼠种别A、体重、体重B和性别和性别C对皮内移对皮内移植植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积积cm3）问）问A、B、C各自的主效应如何？各自的主效应如何？三者间有无交互作用？三者间有无交互作用？完全随机的三因素完全随机的三因素2 22 22 2析因设计析因设计种种别体重体重（g）性性别雄性雄性雌性雌性昆明种昆明种24250.707, 0.785, 0.3580.189, 0.340, 0.25013151.084, 0.943, 0.3340.955, 0.922, 0.851沪白种沪白种24250.063, 0.094, 0.0470.471, 0.088,0.17613150.013, 0.009, 0.0130.251, 0.368, 0.133完全随机的三因素析因设计完全随机的三因素析因设计方差分析表方差分析表 交叉设计的方差分析交叉设计的方差分析Cross-over designANOVA交叉设计交叉设计按按按按纳入纳入纳入纳入标准标准标准标准确定确定确定确定对象对象对象对象A A A A处理处理处理处理( ( ( (测量测量测量测量) ) ) )B B B B处理处理处理处理( ( ( (测量测量测量测量) ) ) )B B处理处理( (测量测量) )A A A A处理处理处理处理( ( ( (测量测量测量测量) ) ) )间间间间歇歇歇歇期期期期阶段阶段阶段阶段阶段阶段阶段阶段随机化随机化随机化随机化是在自身配对设计基础上发展的双因素设计，可是在自身配对设计基础上发展的双因素设计，可在同一对象身上观察两种处理的效应，并能减少在同一对象身上观察两种处理的效应，并能减少误差，提高检验效率。误差，提高检验效率。交叉设计的方差分析，是将交叉设计的方差分析，是将SS总总分解为个分解为个体因素离均差平方和体因素离均差平方和SS个体个体、阶段因素离均、阶段因素离均差平方和差平方和SS阶段阶段、处理离均差平方和、处理离均差平方和SS处理处理及误差离均差平方和及误差离均差平方和SS误差误差四部分。其自由四部分。其自由度也作相应的分解。度也作相应的分解。 SS总总=SS个体个体+SS阶段阶段 + SS处理处理 + SS误差误差 总总=个体个体+阶段阶段 + 处理处理 + 误差误差 总总= 2n 1 个体个体= n - 1 阶段阶段 = 1 处理处理 = 1 e = n-2 MS个体个体= SS个体个体/个体个体 MS阶段阶段 = SS阶段阶段 /阶段阶段 MS处理处理= SS处理处理 /处理处理 MS误差误差 = SS误差误差 /误差误差 F个体个体 = MS个体个体/ MS误差误差 F阶段阶段 = MS阶段阶段/ MS误差误差 F处理处理 = MS处理处理/ MS误差误差P130，例，例10.7比较比较A、B两药的疗效有无差两药的疗效有无差别。（个体差别、阶段差别）别。（个体差别、阶段差别）C=552/24=126.0417SST=131.94-126.0417=5.8983SS个个=1/2(4.32+5.22+5.42+4.42)-126.0417 =1.8683SS阶阶=1/12(27.82+27.22)-126.0417=0.015SS处处=1/12(29.32+25.72)-126.0417=0.540SSe=5.8983-1.8683-0.0150-0.540=0.3475MS个个=1.8683/11=0.1968 MS阶阶=0.015/1=0.015MS处处=0.540/1=0.540 MSe=3.475/10=0.3475重复测量资料方差分析重复测量资料方差分析Repeated measureANOVA重复测量的概念：重复测量的概念：对同一试验单位的某一观察指标在不同时对同一试验单位的某一观察指标在不同时间点的多次观测。如对高血压患者治疗前间点的多次观测。如对高血压患者治疗前与治疗后与治疗后2，4，6，8周的心率进行多次测周的心率进行多次测量。将试验结果的测量时间也作为一个因量。将试验结果的测量时间也作为一个因素来分析。素来分析。例如：将例如：将20名药物依赖患者随机等分为两组，名药物依赖患者随机等分为两组，分别用消瘾扶正胶囊和可乐定治疗，每个患者分别用消瘾扶正胶囊和可乐定治疗，每个患者分别在治疗前，治疗后分别在治疗前，治疗后1天，天，2天，天，3天重复测天重复测量舒张压，实验结果如下。问哪种治疗方法舒量舒张压，实验结果如下。问哪种治疗方法舒张压的下降速度比较平缓？张压的下降速度比较平缓？在在医医学学科科研研中中经经常常回回遇遇到到重重复复测测量量的的设设计计，即即在在给给予予某某种种处处理理后后，在在几几个个不不同同的的时时间间点点上上从从同同一一个个受受试试对对象象（或或样样品品）上上重重复复获获得得指指标标的的观观察察值值；有有时时是是从从同同一一个个体体的的不不同同部部位（或组织）上重复获得指标的观察值。位（或组织）上重复获得指标的观察值。例例如如：药药效效研研究究中中常常需需要要观观察察给给药药后后，不不同同时时间间点点药药物物在在血血液液或或某某一一局局部部组组织织、器器官官中中的浓度。的浓度。重复测量重复测量(repeated measure)：是指对同：是指对同一观察单位（或观察指标）在不同时间点一观察单位（或观察指标）在不同时间点上进行多次测量获得的资料。用于分析观上进行多次测量获得的资料。用于分析观察指标在不同时间点上的变化规律。察指标在不同时间点上的变化规律。由于同一受试对象（观察指标）在不同时由于同一受试对象（观察指标）在不同时间点上的测定值往往存在不同程度的相关间点上的测定值往往存在不同程度的相关性（它们彼此之间不是独立的），所以需性（它们彼此之间不是独立的），所以需要用特殊的方差分析方法处理。要用特殊的方差分析方法处理。其方差分析的基本原理仍然是从总变异中其方差分析的基本原理仍然是从总变异中分离出各种不同的变异：如处理变异、时分离出各种不同的变异：如处理变异、时间变异、处理与时间的交互作用；除外，间变异、处理与时间的交互作用；除外，还有个体测量误差及重复测量误差。还有个体测量误差及重复测量误差。SS总总=SS处理处理+SS时间时间 + SS 处理处理X时间时间 + SS个体误差个体误差+ SS重复误差重复误差 总总=处理处理+时间时间+ 处理处理X时间时间 + 个体误差个体误差+ 重复误差重复误差 总总= gpn 1 处理处理= g - 1 时间时间= p - 1 处理处理X时间时间 = (g-1)(p-1) 个体误差个体误差 = g(n-1) 重复误差重复误差 =g(p-1)( n-1) MS处理处理= SS处理处理/处理处理 MS时间时间= SS时间时间/时时间间 MS处理处理X时间时间= SS处理处理X时间时间/ 处理处理X时间时间 MS个体误差个体误差= SS个体误差个体误差/ 个体误差个体误差MS重复误差重复误差= SS重复误差重复误差/ 重复误差重复误差 F处理处理= MS处理处理/ MS个体误差个体误差 F时间时间= MS时间时间/ MS重复误差重复误差 F处理处理X时间时间= MS处理处理X时间时间/ MS重复误差重复误差由于同一受试对象在不同时间点上测量的由于同一受试对象在不同时间点上测量的观察值往往存在相关性，因此需要对与测观察值往往存在相关性，因此需要对与测量时间有关的量时间有关的F统计量的自由度进行调整，统计量的自由度进行调整，以避免犯弃真的错误。以避免犯弃真的错误。调整自由度的原则主要调整自由度的原则主要取决于取决于各时间点重各时间点重复测量值的复测量值的协方差阵协方差阵是否呈是否呈球性球性。如果呈。如果呈球性，则不用调整，如果不呈球性则需要球性，则不用调整，如果不呈球性则需要调整。调整。调整的系数为调整的系数为，常用的调整系数有：，常用的调整系数有： G-G法和法和H-F法。法。例：例：P131例例10.8，试分析，试分析CUA镇痛作用。镇痛作用。i表示处理因素水平数表示处理因素水平数(i=1g)；j表示重复表示重复测量的水平数测量的水平数(j=1p)；k表示每个处理组表示每个处理组内的观察单位数内的观察单位数(k=1n)。建立假设：建立假设：H0：对照组与：对照组与CUA组的镇痛效果无差别，组的镇痛效果无差别， A=B；( (药物疗效、时间效应及有无药物疗效、时间效应及有无 交互作用等交互作用等) )H1：AB；=0.05。调整系数调整系数球性球性检验检验变异来源异来源SS自由自由度度MSFP药物物485.61641485.616452.570.0001时间458.06072229.0303 119.760.0001药物物时间451.48062225.7403 118.040.0001个体个体误差差73.893389.2367重复重复测量量误差差30.5987161.124总变异异1499.649720例例10.8调整系数调整系数球性球性检验检验各时间点测定值方差齐性检验各时间点测定值方差齐性检验组间效应比较组间效应比较第八节第八节 多个方差的齐性检验多个方差的齐性检验方方差差分分析析中中要要求求各各总总体体的的方方差差相相等等，所所以以在在作作方方差差分分析析前前，应应作作多多个个方方差差的的齐齐性性检检验，方法有多种。验，方法有多种。基本思想：假设各总体方差相等，均等于基本思想：假设各总体方差相等，均等于合并方差（各组方差的加权平均），则各合并方差（各组方差的加权平均），则各si2与与sc2相差不会很大，出现大的相差不会很大，出现大的x2值的值的概率概率P小小, 若若P，拒绝方差相等的假设，拒绝方差相等的假设， P值可查值可查 x2界值表。界值表。本法对正态性要求很严，当资料明显偏态本法对正态性要求很严，当资料明显偏态或样本含量较大和较小时，偏差较大。或样本含量较大和较小时，偏差较大。一、一、Bartlett法法二、二、Levene法法基本思想：将原始数据转换为相应的离基本思想：将原始数据转换为相应的离差，然后按一定公式进行单向方差分析，差，然后按一定公式进行单向方差分析，以相应自由度查以相应自由度查F界值表下结论。界值表下结论。可用于偏态分布资料，检验统计量为：可用于偏态分布资料，检验统计量为：例例10.9方差不齐时不宜作方差分析，解决方法有：方差不齐时不宜作方差分析，解决方法有：（1）变量变换，使方差齐）变量变换，使方差齐 （2）秩和检验）秩和检验 （3）近似）近似F检验检验第九节第九节 变量变换变量变换方方差差分分析析和和t检检验验要要求求：测测量量资资料料的的方方差差齐齐性及测量资料服从正态分布。性及测量资料服从正态分布。有有时时获获取取的的资资料料并并不不能能满满足足此此要要求求。可可通通过过变变量量变变换换来来改改变变原原数数据据分分布布形形式式，使使之之满满足足上上述述条条件件，经经过过变变换换，虽虽然然分分布布形形式式已已改改变变，但但数数据据之之间间的的相相对对关关系系仍仍保保留留，可以用变换后的数据作统计分析。可以用变换后的数据作统计分析。1 对数变换对数变换 y=lg x适适用用于于各各组组标标准准差差与与其其均均数数之之间间有有某某种种比比例例关关系系的的资资料料，如如研研究究动动物物的的体体重重等等资资料料，尤尤其是关于生长率的资料。其是关于生长率的资料。当数据中有当数据中有0或较小值时，也可或较小值时，也可y=lg(x+1) 2 平方根变换平方根变换 适适用用于于各各组组方方差差与与其其均均数数之之间间有有某某种种比比例例关关系系的的资资料料，尤尤其其适适用用于于总总体体呈呈Poisson分分布布的的资资料料。因因为为这这类类资资料料的的方方差差等等于于平平均均数数，平平均均数数大大时时方方差差也也大大。如如放放射射性性物物质质在在单单位位时时间间内内的的放放射射次次数数等表现为稀有现象的计数资料。等表现为稀有现象的计数资料。3 倒数变换倒数变换 y=1/x 适适用用于于各各组组标标准准差差与与其其均均数数的的平平方方成成比比例例关关系系的的资资料料，它它可可以以使使数数据据两两端端波波动动较较大大时时的影响减小。的影响减小。4 平方根反正弦变换平方根反正弦变换当当观观察察值值服服从从二二项项分分布布时时，样样本本均均值值接接近近0.1方方差差就就小小，接接近近0.5方方差差就就大大，采采用用此此变变化化可可使使方方差差齐齐性性。适适用用于于以以率率(百百分分数数)为为观观察察值值的的资资料料，如如发发病病率率、感感染染率率、病病死死率率、白白细细胞胞的的分分类类计计数数、淋淋巴巴细细胞胞转转换换率、畸变细胞出现率等。率、畸变细胞出现率等。变变换换的的函函数数形形式式也也不不是是绝绝对对的的，也也没没有有一一个个非非常常有有效效的的万万能能模模式式去去套套用，只有在实践中不断地摸索。用，只有在实践中不断地摸索。