湘教版湘教版 SHUXUE八年级下八年级下本课内容本节内容 2.6.2角边线平行四边形的对角相等.平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角线互相平分对称性中心对称图形角边线对称性中心对称图形,轴对称图形性质:菱形性质:平行四边形菱形的对边平行,四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。性质归纳 复习与回顾：想一想想一想根据定义得：根据定义得：有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形。是菱形。ABCD 在在ABCD中，中，AB=BC ABCD是菱形是菱形。如果一个四边形是一个平行四边形，则只要如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？据什么？还有什么方法吗？还有什么方法吗？ 如图，用如图，用4 支长度相等的铅支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：把上述问题抽象出来就是：四条边都四条边都相等的四边形是菱形吗？相等的四边形是菱形吗？探究探究 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA. AD = BC， AB = DC， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.又又 AB = AD， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理1 1：结论结论用一长一短两根细木条用一长一短两根细木条, ,在它们的中点处固定在它们的中点处固定一个小钉一个小钉, ,做成一个可以转动的十字做成一个可以转动的十字, ,四周围四周围上一根橡皮筋上一根橡皮筋, ,做成一个四边形做成一个四边形. .转动木条转动木条, ,这这个四边形什么时候变成菱形个四边形什么时候变成菱形? ?当两根木条互相垂直时，当两根木条互相垂直时，四边形就变成菱形。四边形就变成菱形。用几何语言怎样描述？用几何语言怎样描述？对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。动脑筋动脑筋 菱形的两条对角线菱形的两条对角线既互相垂直，又互既互相垂直，又互相平分相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？能画出一个菱形吗？OACBD你能说出这样画出的四边形你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？一定是菱形的道理吗？画两条互相垂直的线段画两条互相垂直的线段AC和和BD，垂足是点垂足是点O，取取OA=OC，OB=OD. 连结连结AB，BC，CD，DA（如图），则四边形（如图），则四边形ABCD是菱形，是菱形， 如图，由画法可知，四边形如图，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线的两条对角线AC 与与BD 互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其又已知其对角线互相垂直，对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。我们来进行证明我们来进行证明.又由于又由于DB是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线， 由于四边形由于四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD互相平分，因此它是平行四边形互相平分，因此它是平行四边形.因此，因此，DA=DC.从而平行四边形从而平行四边形ABCD是菱形是菱形.结论结论由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理2 2：对角线对角线对角线对角线互相垂直互相垂直互相垂直互相垂直的的的的平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形是菱形是菱形是菱形是菱形.对角线对角线互相互相 的的四边形四边形是菱形是菱形.垂直且平分垂直且平分举举例例例例1.已知：如图，已知：如图，在四边形在四边形ABCD 中，线段中，线段BD垂直平分垂直平分AC，且相交于点，且相交于点O，1 =2.求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形.提示：提示： 由由线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，得：得：BA=BC= =DA=DC.例例2.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求求AB的长的长.提示：提示： 由由勾股定理，得：勾股定理，得：DAO是是直角三角形直角三角形. .即：即：ACBD从而得：平行四边形从而得：平行四边形ABCD是菱形是菱形. . AB=AD=5 .例例3.如图，已知等腰如图，已知等腰ABC中，中，AB=AC，AD平分平分BAC交交BC于于D点，在线段点，在线段AD上任取一点上任取一点P( (A点除点除外外) )，过，过P点作点作EFAB，分别交，分别交AC、BC于于E、F点，点，作作PMAC，交，交AB于于M点，连结点，连结ME.（1）求证：四边形）求证：四边形AEPM为菱形为菱形.（2）当）当P点在何处时，菱形点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形的面积为四边形EFBM面积的一半？面积的一半？解：解：（1）EFAB，PMAC， 四边形四边形AEPM为平行四边形为平行四边形. 四边形四边形AEPM为菱形为菱形. .又又 BAD=EPA， CAD=EPA， EA=EP. AB=AC，AD平分平分CAB， CAD=BAD，解：解：（2）P为为EF中点时，中点时，N四边形四边形AEPM为菱形，为菱形， ADEM，ADBC， EMBC. 又又EFAB，四边形四边形EFBM为平行四边形为平行四边形.作作EN AB于于N，EP= EF12（2 2）当）当P点在何处时，菱形点在何处时，菱形AEPM的面积为的面积为四边形四边形EFBM面积的一半？面积的一半？例例4.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E为为AB上一点，上一点，ADE和和BCE都是等边三角形，都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点的中点分别为分别为P、Q、M、N，试判断四边形，试判断四边形PQMN为怎样的四为怎样的四边形边形.并证明你的结论并证明你的结论.证明：证明：连结连结AC，BD. PQ为为ABC的中位线，的中位线， 四边形四边形PQMN为平行四边形为平行四边形.在在AEC和和DEB中，中，AE=DE，EC=EB，AEC=DEB= 180- - 60 = 120 ， AECDEB. AC=DB. PQ=PN. PQMN为菱形为菱形.PQ AC=21同理同理 MN PQMN AC=21= 1.1.判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？(1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形的四边形是菱形；是菱形；(4)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形边形是菱形 2.2.菱形两条对角线长为菱形两条对角线长为6和和8，菱形的边长为，菱形的边长为 ，面积为面积为 。5243.3.菱形的面积为菱形的面积为96，对角线，对角线AC长为长为16 ，此菱形的，此菱形的边长为边长为 。104.菱形对角线的平方和等于一边平方的菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ） A. 2倍倍 B. 3倍倍 C.4倍倍 D. 5倍倍C5.5.把两张等宽的纸条如图交叉重叠在一起，把两张等宽的纸条如图交叉重叠在一起，则重叠部分则重叠部分ABCD的形状是（的形状是（ ）A.平行四边形平行四边形 B.矩形矩形C.菱形菱形 D.任意四边形任意四边形ACDBC（1 1）如图，在）如图，在平行四边形平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相相交于点交于点O，过点，过点O 作作MNBD，分别交，分别交AD，BC于点于点M，N .求证：四边形求证：四边形BNDM是菱形是菱形.6 6、解答题、解答题提示：提示：证明证明 ODMOBN. .NB=MD.又又 MDBN，MNBD，结论得证。，结论得证。（2 2）如图，）如图，ADBC，BD垂直平分垂直平分AC，四边形四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。一定是菱形吗？若是，请说明理由。CDBAO) 12 (提示提示: : AODCOB AD=BC（3 3）已知：）已知：ABCD 的对角线的对角线AC的垂的垂直平分线与边直平分线与边AD 、BC分别交于分别交于E、F求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形。是菱形。分析分析: : （1 1）利用定义判定）利用定义判定（2 2） 由已知可知由已知可知 OA=OC，EFAC.（3 3）利用四边相等，你会吗？）利用四边相等，你会吗？（4 4）如图，已知在）如图，已知在ABCD中，中，AD=2AB，E、F在在直线直线AB上，且上，且AE=AB=BF，证明：证明：CEDF.A AB BF FN ND DM ME EC C提示：提示：证明四边形证明四边形DMNC是菱形是菱形（5 5）已知：如图，矩形）已知：如图，矩形ABCD的对角的对角线相交于点线相交于点O，PDAC，PCBD，PD、PC相交于点相交于点P。 (1)(1)猜想：四边猜想：四边形形PCOD是什么特殊的四边形？证明是什么特殊的四边形？证明你的猜想。你的猜想。（2）PO与与CD有怎样的关系？有怎样的关系？ 四边形四边形PCOD是菱形。是菱形。POCD，且互相平分。且互相平分。（6 6）如图，）如图，CD为为RtABC斜边斜边AB上的高，上的高，BAC的平分线交的平分线交CD于于E，交交BC于于F，FGAB于于G求证：四边形求证：四边形EGFC为菱形为菱形 GFEDCBA（7 7）如图，）如图，RtABC中，中，ACB=900，BAC=600，DE垂直平分垂直平分BC，垂足为，垂足为D，交交AB于于E，又点，又点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE，求证：四边形，求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。FEDCBA易得：易得：CEFG，再证再证ACE AGEB=ACD=AGE ，EGCF，四边形四边形EGFC是平行四边形，又是平行四边形，又CE=EG，四边形四边形EGFC为菱形为菱形AC=AF=EF=CE 菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一组有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .对角线对角线互相互相垂直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .有有四条边四条边相等的相等的四边形四边形是菱形是菱形. .一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边相等四条边相等五种判定方法五种判定方法四边形四边形平行四边形平行四边形菱形菱形对角线对角线互相互相垂直垂直且平分且平分作业：作业：P70 A 3、4、5 B 8