时间：本周周三下午：本周周三下午地点：地点：行政楼行政楼234；华中科技大学复变函数 引引 言言 在十六世在十六世纪中叶，中叶，G.Cardano(1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 时引引进了复数了复数。他他发现这个方程没有根，并个方程没有根，并把把这个方程的两个根形式地表个方程的两个根形式地表为 。在当在当时，包括他自己在内，包括他自己在内，谁也弄不清也弄不清这样表示有什麽好表示有什麽好处。事。事实上上，复数被复数被Cardano引入后，在很引入后，在很长一段一段时间内不被人内不被人们所理睬，并所理睬，并被被认为是没有意是没有意义的，不能接受的的，不能接受的“虚数虚数”。直到十七与十八世。直到十七与十八世纪，随着微随着微积分的分的产生与生与发展，情况才有好展，情况才有好转。特。特别是由于是由于 L.Euler的研究的研究结果，复数果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了复指数函数与三角函数揭示了复指数函数与三角函数之之间的关系。然而一直到的关系。然而一直到C.Wessel ( (挪威挪威. .1745-1818) )和和R.Argand( (法国法国. .1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国德国1777-1855)与与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定定义复数复数 为一一对有序有序实数后，才消除人数后，才消除人们对复数真复数真实性性的的长久疑久疑虑，“复复变函数函数”这一数学分支到此才一数学分支到此才顺利地得到建立利地得到建立和和发展。展。华中科技大学复变函数 复复变函数的理函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技和方法在数学，自然科学和工程技术中有着中有着广泛的广泛的应用，是解决用，是解决诸如流体力学，如流体力学，电磁学，磁学，热学学弹性理性理论中平中平面面问题的有力工具。的有力工具。 复复变函数中的函数中的许多概念，理多概念，理论和方法是和方法是实变函数在复数函数在复数领域的域的推广和推广和发展展 。第一章第一章 复数与复复数与复变函数函数1.11.1复数及其表示法复数及其表示法 一一对有序有序实数数（ ）构成一个构成一个复数复数，记为 . 自自变量量为复数的函数就是复复数的函数就是复变函数函数, , 它是本它是本课程的研究程的研究对象象. .由由于在中学于在中学阶段已段已经学学过复数的概念和复数的运算复数的概念和复数的运算, ,本章将在原有的本章将在原有的基基础上作上作简要的复要的复习和和补充充; ; 然后再介然后再介绍复平面上的区域以及复复平面上的区域以及复变函数的极限与函数的极限与连续性的概念性的概念, , 为进一步研究解析函数理一步研究解析函数理论和方法奠和方法奠定必要的基定必要的基础. .x, y 分分别称称为 Z 的的实部部和和虚部虚部, , 记作作x=Re(Z), y=Im(Z), .称称为 Z的共的共轭复数复数。华中科技大学复变函数 与与实数不同数不同, , 两个复数相等两个复数相等他他们的的实部和虚部都相等部和虚部都相等特特别地，地，1.代数形式代数形式 :复数的表示法复数的表示法1)点表示点表示yz(x,y)xx0y复平面复平面实轴虚虚轴z(x,y)XOY上点上点复平面复平面一般一般说来来,任意两个复数不能比任意两个复数不能比较大小大小.华中科技大学复变函数 2) 向量表示向量表示-复数复数z的的辐角角(argument) 记作作Arg z=q .任何一个复数任何一个复数z 0有无有无穷多个幅角多个幅角, ,将将满足足 -p -p q q0 p p 的的q q0 称称为Arg z的主的主值, 记作q0=arg z .则Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数任意整数)0xyxyqz=x+iy-复数复数z的模的模zqr与与x轴正向的正向的夹角角华中科技大学复变函数 当当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定而幅角不确定. 说明：当明：当 z 在第二象限在第二象限时，arg z与与x和和y的关系的关系:华中科技大学复变函数 2.2.指数形式与三角形式指数形式与三角形式 利用直角坐利用直角坐标与极坐与极坐标的关系的关系: x = r cosq, y = r sinq, 可以将可以将z表示成表示成三角表示式三角表示式: :利用欧拉公式利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式得指数表示式: :例例1 1 将下列复数化将下列复数化为三角表示式与指数表示式三角表示式与指数表示式. . 解解 1)z在第三象限在第三象限, , 因此因此因此因此华中科技大学复变函数 2) 2) 显然然, r = | z | = 1, 又又因此因此练习：写出写出 的的辐角和它的指数形式。角和它的指数形式。解：解：华中科技大学复变函数 1.21.2复数的运算复数的运算设z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算复数运算满足交足交换律律, ,结合律和分配律合律和分配律: :1 1 . . 四四则运算运算华中科技大学复变函数 加减法与平行四加减法与平行四边形形法法则的几何意的几何意义: :乘、除法的几何意乘、除法的几何意义: :,定理定理1 1 两个复数乘两个复数乘积的模等于它的模等于它们的模的乘的模的乘积, , 两个两个复数乘复数乘积的幅角等于它的幅角等于它们幅角的和幅角的和. .华中科技大学复变函数 几何上几何上 z1z2 相相当于将当于将 z2 的的模模扩大大 |z1| 倍倍并旋并旋转一个角一个角度度Arg z1 .01华中科技大学复变函数 ;按照乘按照乘积的定的定义, , 当当z10时, , 有有定理定理2 2 两个复数的商的模等于它两个复数的商的模等于它们的模的商的模的商, , 两个复数两个复数 的商的的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差角等于被除数与除数的幅角之差. .华中科技大学复变函数 2 2 . . 乘方与开方运算乘方与开方运算1 1）乘方乘方De Moivre 公式：2）开方开方: 若若满足，足，则称称w为z的的n次方根次方根，记为 于是于是推得推得华中科技大学复变函数 从而从而几何解几何解释：z1/n的的n个个值就是以原点就是以原点为中心中心,r1/n为半径的半径的圆的内接正的内接正n边形的形的n个个顶点。点。例例2 2 求求 解解 因因为所以所以华中科技大学复变函数 即即四个根是内接于中心在原点半径四个根是内接于中心在原点半径为2 21/81/8的的圆的正方形的四个的正方形的四个顶点点. .1+iw0w1w2w3Oxy练习 求复数求复数 的模与的模与辐角主角主值。华中科技大学复变函数 1.31.3复数形式的代数方程与平面几何复数形式的代数方程与平面几何图形形 很多平面很多平面图形能用复数形式的方程形能用复数形式的方程( (或不等式或不等式) )来来表示表示; ; 也可以由也可以由给定的复数形式的方程定的复数形式的方程( (或不等式或不等式) )来来确定它所表示的平面确定它所表示的平面图形形. .例例3将通将通过两点两点z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的直的直线用复数形式用复数形式的的方程来表示方程来表示. . 解解 通通过点点(x1,y1)与与(x2,y2)的直的直线可用参数方程表示可用参数方程表示为 因此因此, , 它的复数形式的参数方程它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(- tM平面上以平面上以z0为中心中心,d d ( (任意的正数任意的正数) )为半径的半径的圆: :|z- -z0|d d 内部的点的集合称内部的点的集合称为z0的的邻域域,而称由不等式而称由不等式0|z- -z0|M （ M0 ）无无穷远点的点的邻域域M|z|+ 无无穷远点的去心点的去心邻域域无无穷远点的点的邻域域华中科技大学复变函数 oxyN华中科技大学复变函数 设G为一平面点集一平面点集, ,z0 0为G中任意一点中任意一点. .如果存在如果存在z0 0的一的一个个邻域域, ,该邻域内的所有点都属于域内的所有点都属于G, ,则称称z0 0为G的内点的内点. . 平面点集平面点集D称称为一个区域一个区域, , 如果它如果它满足下列两个条件足下列两个条件: : 设D为复平面内的一个区域复平面内的一个区域, , 如果点如果点P不属于不属于D, , 但在但在P的任意小的的任意小的邻域内域内总包含有包含有D中的点中的点, , 这样的点的点P称称为D的的边界点界点. . D的所有的所有边界点界点组成成D的的边界界. . 区域的区域的边界可能是由几条曲界可能是由几条曲线和一些孤立的点所和一些孤立的点所组成的成的. .如果如果G内的每个点都是它的内点内的每个点都是它的内点, , 则称称G为开集开集.1) 1) D是一个开集是一个开集; ;2) 2) D是是连通的。就是通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折的一条折线连接起来接起来. .华中科技大学复变函数 区域区域D与它的与它的边界一起构成界一起构成闭区域或区域或闭域域, , 记作作 D.如果一个区域可以被包含在一个以原点如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的中心的圆里面里面,即存在正数即存在正数M,使区域使区域D的每个点的每个点z都都满足足|z|M,则称称D为有界的有界的, , 否否则称称为无界的无界的. .2.单连通域与多通域与多连通域通域没有重点的没有重点的连续曲曲线C,称称为简单曲曲线.如果如果简单曲曲线C的起点与的起点与终点点闭合合, , 则曲曲线C 称称为简单闭曲曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)华中科技大学复变函数 任意一条任意一条简单闭曲曲线C 把整个复平面唯一地分成三把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集个互不相交的点集, , 其中除去其中除去C 外外, , 一个是有界区域一个是有界区域, , 称称为C 的的内部内部, , 另一个是无界区域另一个是无界区域, , 称称为C 的的外部外部,C 为它它们的公共的公共边界界. . 简单闭曲曲线的的这一性一性质, , 其几何直其几何直观意意义是很清楚的是很清楚的. .内部内部外部外部C华中科技大学复变函数 定定义复平面上的一个区域复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条如果在其中任作一条简单闭曲曲线, , 而曲而曲线的内部的内部总属于属于D,就称就称为单连通域通域, , 一个一个区域如果不是区域如果不是单连通域通域, , 就称就称为多多连通域通域. .复复连通区域通区域单连通区域通区域DD华中科技大学复变函数 1.5复复变函数函数1. 1. 复复变函数的定函数的定义定定义 设 D 是复平面中的一个点集是复平面中的一个点集, 称称为复复变函数函数. .其确定了自其确定了自变量量为x和和y的两个二元的两个二元实变函数函数u ,v.因而函数因而函数 w = z2 对应于两个二元函数于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy例如例如, , 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv ,则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,华中科技大学复变函数 在以后的在以后的讨论中中, ,D常常是一个平面区域常常是一个平面区域, , 称之称之为定定义域域 . . 如无特如无特别声明声明, , 所所讨论的函数均的函数均为单值函数函数. .2. 2. 映射的概念映射的概念函数函数w=f (z)在几何上可以看做是把在几何上可以看做是把z平面上的一个点平面上的一个点集集D(定定义集合集合) )变到到w平面上的一个点集平面上的一个点集G( (函数函数值集合集合)的映射的映射( (或或变换). ). 如果如果D 中的点中的点z 被映射被映射w=f (z)映射映射成成G中的点中的点w,则w 称称为z 的象的象( (映象映象), ), 而而z 称称为w 的的原象原象. .xuDGZzwW=f(z)vyW华中科技大学复变函数 设函数函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有有 u = x2-y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1华中科技大学复变函数 1.6复复变函数的极限和函数的极限和连续性性1.函数的极限函数的极限定定义设函数函数w =f (z)定定义在在z0的去心的去心邻域域0|z- -z0|0,相相应地必有正地必有正数数d d (e e)(0d d ),使得当使得当0|z- -z0|d d 时,有有|f (z)- -A |e e ,则称称A为f (z)当当z趋向于向于z0时的极限的极限,记作作或或记作当作当zz0时 , ,f (z)A.注意：注意：华中科技大学复变函数 几何几何说明明: : xyOz0dzOuvAef(z)华中科技大学复变函数 等价定等价定义： 设 f (z)=u(x,y)+iv(x,y),A =u0+iv0,z0=x0+iy0,则运算性运算性质： 华中科技大学复变函数 当当z0时的极限不存在的极限不存在例例1 1 证明函数明函数证 令令z =x +i y,则由此得由此得让 z z 沿直沿直线y =k x 趋于零于零, , 我我们有有故极限不存在故极限不存在. . 华中科技大学复变函数 2. 2. 函数的函数的连续性性则说f (z)在在z0处连续.如果如果 f (z)在区域在区域D内内处处连续, , 我我们说f (z)在在D内内连续.函数函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z0=x0+iy0处连续的充要条件是的充要条件是u(x,y)和和v(x,y)在在(x0,y0)处连续. .性性质： (1)(1)连续函数的四函数的四则运算仍然运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然函数的复合函数仍然连续； (3)(3)连续函数的模也函数的模也连续； 定定义华中科技大学复变函数