第五节直线、平面垂直的判定及其性质【知识梳理【知识梳理】1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)(1)定义定义: :直线直线l与平面与平面内的内的_一条直线都垂直一条直线都垂直, ,就就说直线说直线l与平面与平面互相垂直互相垂直. .任意任意(2)(2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理一条直一条直线与一个平面与一个平面内的两条内的两条_直直线都都垂直垂直, ,则该直直线与此平与此平面垂直面垂直 la,ba,b abab=O=Olaalbb相交相交文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两条直的两条直线_ abab平行平行aabb2.2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角(1)(1)定义定义: :平面的一条斜线和它在平面上的平面的一条斜线和它在平面上的_所成的所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角, ,一条直线垂一条直线垂直于平面直于平面, ,则它们所成的角是则它们所成的角是_;_;一条直线和平面平一条直线和平面平行或在平面内行或在平面内, ,则它们所成的角是则它们所成的角是_._.(2)(2)范围范围:_.:_.射影射影锐角锐角直角直角0 0的角的角3.3.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)二面角的有关概念二面角的有关概念: :二面角二面角: :从一条直线出发的从一条直线出发的_所组成的图所组成的图形叫做二面角形叫做二面角; ;二面角的平面角二面角的平面角: :在二面角的棱上任取一点在二面角的棱上任取一点, ,以该点以该点为垂足为垂足, ,在两个半平面内分别作在两个半平面内分别作_的两条射线的两条射线, ,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. .两个半平面两个半平面垂直于棱垂直于棱(2)(2)平面和平面垂直的定义平面和平面垂直的定义: :两个平面相交两个平面相交, ,如果所成的二面角是如果所成的二面角是_,_,就说这就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直. .直二面角直二面角(3)(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判判定定定定理理一个平面一个平面过另一另一个平面的个平面的_,_,则这两个平面两个平面垂直垂直 ll垂线垂线文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言性性质定定理理两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平面内垂直于一个平面内垂直于_的直的直线与另一与另一个平面垂直个平面垂直_l交线交线l=a=alaa【特别提醒【特别提醒】1.1.线面平行或垂直的有关结论线面平行或垂直的有关结论(1)(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面若两平行线中的一条垂直于一个平面, ,则另一条也则另一条也垂直于这个平面垂直于这个平面. .(2)(2)若一条直线垂直于一个平面若一条直线垂直于一个平面, ,则它垂直于这个平面则它垂直于这个平面内的任何一条直线内的任何一条直线( (证明线线垂直的一个重要方法证明线线垂直的一个重要方法).).(3)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行. .(4)(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个一条直线垂直于两平行平面中的一个, ,则这一条直则这一条直线与另一个平面也垂直线与另一个平面也垂直. .(5)(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面, ,它们的交线它们的交线也垂直于第三个平面也垂直于第三个平面. .2.2.证明线面垂直时证明线面垂直时, ,易忽视平面内两条线为相交线这一易忽视平面内两条线为相交线这一条件条件. .【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(必修必修2P732P73练习练习T1T1改编改编) )下列命题中不正确的下列命题中不正确的是是( () )A.A.如果平面如果平面平面平面,且直线且直线l平面平面,则直线则直线l平平面面B.B.如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内一定存在直线平内一定存在直线平行于平面行于平面C.C.如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存内一定不存在直线垂直于平面在直线垂直于平面D.D.如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,= =l, ,那那么么l【解析【解析】选选A.A.根据面面垂直的性质根据面面垂直的性质, ,知知A A不正确不正确, ,直线直线l可能平行平面可能平行平面, ,也可能在平面也可能在平面内内. .2.(2.(必修必修2P732P73习题习题A A组组T3T3改编改编) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中中, ,VAB=VAC=ABC=90VAB=VAC=ABC=90, ,则构成三棱锥的四个三角形则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为中直角三角形的个数为_._.【解析【解析】 所以有所以有4 4个直角三角形个直角三角形. .答案答案: :4 4感悟考题试一试感悟考题试一试3.(20153.(2015浙江高考浙江高考) )设设,是两个不同的平面是两个不同的平面, ,l,m,m是是两条不同的直线两条不同的直线, ,且且l,m,m( () )A.A.若若l, ,则则B.B.若若, ,则则lmmC.C.若若l, ,则则D.D.若若, ,则则lmm【解析【解析】选选A.A.选项选项A A中中, ,由平面与平面垂直的判定由平面与平面垂直的判定, ,故正故正确确; ;选项选项B B中中, ,当当时时, ,l,m,m可以垂直可以垂直, ,也可以平行也可以平行, ,也也可以异面可以异面; ;选项选项C C中中, ,l时时, , ,可以相交可以相交; ;选项选项D D中中, ,时时, ,l,m,m也可以异面也可以异面. .4.(20144.(2014辽宁高考辽宁高考) )已知已知m,nm,n表示两条不同的直线表示两条不同的直线,表示平面表示平面, ,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.若若m,nm,n, ,则则mnmnB.B.若若m,nm,n, ,则则mnmnC.C.若若m,mnm,mn, ,则则nnD.D.若若m,mnm,mn, ,则则nn【解析【解析】选选B.B.如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,直线直线AAAA1 1,AB,AB1 1分别与平面分别与平面CCCC1 1D D1 1D D平行平行, ,但是直但是直线线AAAA1 1,AB,AB1 1相交相交, ,故选项故选项A A错误错误; ;根据线面垂直根据线面垂直的定义的定义, ,一条直线垂直于一个平面一条直线垂直于一个平面, ,则该直线垂直于平则该直线垂直于平面内的任一条直线面内的任一条直线, ,可见选项可见选项B B正确正确; ;直线直线AAAA1 1平面平面ABCD,ABCD,AAAA1 1BC,BC,但直线但直线BCBC 平面平面ABCD,ABCD,故选项故选项C C错误错误; ;直线直线AAAA1 1平面平面CCCC1 1D D1 1D,AAD,AA1 1CD,CD,但直线但直线CDCD 平面平面CCCC1 1D D1 1D,D,故选项故选项D D错误错误. .5.(20165.(2016石家庄模拟石家庄模拟) )已知如图已知如图, ,六棱锥六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF的底的底面是正六边形面是正六边形,PA,PA平面平面ABCDEF.ABCDEF.则下列结论不正确的则下列结论不正确的是是( () )A.CDA.CD平面平面PAFPAF B.DF B.DF平面平面PAFPAFC.CFC.CF平面平面PABPAB D.CFD.CF平面平面PADPAD【解析【解析】选选D.AD.A中中, ,因为因为CDCDAF,AFAF,AF 平平面面PAF,CDPAF,CD 平面平面PAF,PAF,所以所以CDCD平面平面PAFPAF成立成立; ;B B中中, ,因为因为ABCDEFABCDEF为正六边形为正六边形, ,所以所以DFAF.DFAF.又因为又因为PAPA平面平面ABCDEF,ABCDEF,所以所以PADF,PADF,又因为又因为PAAF=A,PAAF=A,所以所以DFDF平面平面PAFPAF成立成立; ;C C中中, ,因为因为CFAB,ABCFAB,AB 平面平面PAB,CFPAB,CF 平面平面PAB,PAB,所以所以CFCF平面平面PAB;PAB;而而D D中中CFCF与与ADAD不垂直不垂直, ,故故D D结论不正确结论不正确. .考向一考向一与线面垂直有关的命题的真假判断与线面垂直有关的命题的真假判断【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015安徽高考安徽高考) )已知已知m,nm,n是两条不同直是两条不同直线线,是两个不同平面是两个不同平面, ,则下列命题正确的是则下列命题正确的是( () )A.A.若若,垂直于同一平面垂直于同一平面, ,则则与与平行平行B.B.若若m,nm,n平行于同一平面平行于同一平面, ,则则m m与与n n平行平行C.C.若若,不平行不平行, ,则在则在内不存在与内不存在与平行的直线平行的直线D.D.若若m,nm,n不平行不平行, ,则则m m与与n n不可能垂直于同一平面不可能垂直于同一平面(2)(2014(2)(2014浙江高考浙江高考) )设设m,nm,n是两条不同的直线是两条不同的直线,是两个不同的平面是两个不同的平面( () )A.A.若若mn,nmn,n, ,则则mmB.B.若若m,m, ,则则mmC.C.若若m,n,nm,n,n, ,则则mmD.D.若若mn,n,mn,n, ,则则mm【解题导引【解题导引】解答解答(1)(2)(1)(2)均可依据线面平行、垂直的均可依据线面平行、垂直的判定与性质逐一判断判定与性质逐一判断. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.选项选项具体分析具体分析结论结论A A平面平面,垂直于同一个平面垂直于同一个平面, ,则则,相交或相交或平行平行错误错误B B直线直线m,nm,n平行于同一个平面平行于同一个平面, ,则则m m与与n n平行、相平行、相交或异面交或异面错误错误C C若若,不平行不平行, ,则在则在内存在与内存在与平行的直平行的直线线, ,如如中平行于中平行于与与交线的直线交线的直线, ,则此直则此直线也平行于平面线也平行于平面错误错误D D若若m,nm,n垂直于同一个平面垂直于同一个平面, ,则则mnmn, ,其逆否命题其逆否命题即为选项即为选项D D正确正确(2)(2)选选C.C.对对A A若若mn,nmn,n, ,则则m m 或或mm或或mm, ,故故A A选项错误选项错误; ;对对B B若若m,m, ,则则m m 或或mm或或mm, ,故故B B选项错误选项错误; ;对对C C若若m,n,nm,n,n, ,则则mm, ,故故C C选选项正确项正确; ;对对D D若若mn,n,mn,n, ,则则m m 或或mm或或mm, ,故故D D选项错误选项错误. .【规律方法【规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, ,甚至无需作图在头脑中形成印象来判断甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. .(2)(2)寻找反例寻找反例, ,只要存在反例只要存在反例, ,那么结论就不正确那么结论就不正确. .(3)(3)反复验证所有可能的情况反复验证所有可能的情况, ,必要时要运用判定或性必要时要运用判定或性质定理进行简单说明质定理进行简单说明. .【变式训练【变式训练】(2016(2016黄山模拟黄山模拟) )已知不同的直线已知不同的直线l,m,m, ,不不同的平面同的平面, ,下列命题中下列命题中:若若,l, ,则则l;若若,l, ,则则l;若若l,m,m, ,则则lmm;若若,= =l,m,ml, ,则则mm. .真命题的真命题的个数为个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析【解析】选选C.C.两平面平行两平面平行, ,则平面内任何一条直线必平则平面内任何一条直线必平行于另一个平面行于另一个平面, ,故故是真命题是真命题; ;两平面平行两平面平行, ,若一条直若一条直线垂直于其中一个平面线垂直于其中一个平面, ,则必垂直于另一个平面则必垂直于另一个平面, ,故故是真命题是真命题; ;对于对于, ,直线直线l也有可能与直线也有可能与直线m m异面异面, ,故故是是错误的错误的; ;对于对于, ,若直线若直线m m不在平面不在平面内内, ,则不成立则不成立, ,故故是错误的是错误的. .所以真命题有所以真命题有2 2个个. .【加固训练【加固训练】1.PA1.PA垂直于正方形垂直于正方形ABCDABCD所在平面所在平面, ,连接连接PB,PC,PD,AC,BD,PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是则下列垂直关系正确的是( () )平面平面PABPAB平面平面PBC;PBC;平面平面PABPAB平面平面PAD;PAD;平面平面PABPAB平面平面PCD;PCD;平面平面PABPAB平面平面PAC.PAC.A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】选选A.A.由由PAPA平面平面ABCD,BCABCD,BC 平面平面ABCDABCD得得PABC,PABC,又又BCAB,PAAB=A,BCAB,PAAB=A,则则BCBC平面平面PAB,PAB,又又BCBC 平面平面PBC,PBC,得平面得平面PABPAB平面平面PBC,PBC,故故正确正确, ,同理同理可证可证正确正确. .2.(20162.(2016长沙模拟长沙模拟) )设设a,b,ca,b,c是三条不同的直线是三条不同的直线,是两个不同的平面是两个不同的平面, ,则则abab的一个充分条件是的一个充分条件是( () )A.ac,bcA.ac,bcB.,aB.,a,b,bC.a,bC.a,bD.a,bD.a,b【解析【解析】选选C.C.对于选项对于选项C,C,在平面在平面内存在内存在mbmb, ,因为因为aa, ,所以所以amam, ,故故ab;A,Bab;A,B选项中选项中, ,直线直线a,ba,b可能是平可能是平行直线行直线, ,相交直线相交直线, ,也可能是异面直线也可能是异面直线;D;D选项中一定推选项中一定推出出abab. .考向二考向二线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质【考情快递【考情快递】命命题方向方向命命题视角角证明直明直线与平面垂直与平面垂直主要考主要考查利用利用线面垂直的判面垂直的判定定理定定理, ,由由线线垂直垂直证明明线面面垂直垂直利用利用线面垂直的性面垂直的性质证明明线线垂直垂直主要考主要考查线面垂直的判定定面垂直的判定定理与性理与性质定理定理【考题例析【考题例析】命题方向命题方向1:1:证明直线与平面垂直证明直线与平面垂直【典例【典例2 2】如图所示如图所示, ,直角直角ABCABC所在的平面所在的平面外一点外一点S,SA=SB=SC,S,SA=SB=SC,点点D D为斜边为斜边ACAC的中点的中点. .求求证证: :直线直线SDSD平面平面ABC.ABC.【解题导引【解题导引】只需证明只需证明SDAC,SDBDSDAC,SDBD即可即可. .【规范解答【规范解答】因为因为SA=SC,SA=SC,点点D D为斜边为斜边ACAC的中点的中点, ,所以所以SDAC,SDAC,连接连接BD,BD,在在RtABCRtABC中中, ,则则AD=DC=BD,AD=DC=BD,所以所以ADSBDS,ADSBDS,所以所以SDBD,SDBD,又因为又因为ACBD=D,ACBD=D,所以所以SDSD平面平面ABC.ABC.【母题变式【母题变式】1.1.在本例中在本例中, ,若若AB=BC,AB=BC,其他条件不变其他条件不变, ,则则BDBD与平面与平面SACSAC的位置关系是什么的位置关系是什么? ?【解析【解析】因为因为AB=BC,AB=BC,点点D D为斜边为斜边ACAC的中点的中点, ,所以所以BDAC,BDAC,又由例题知又由例题知SDBD,SDBD,于是于是BDBD垂直于平面垂直于平面SACSAC内的两条相交直线内的两条相交直线, ,故故BDBD平面平面SAC.SAC.2.2.若将典例改为若将典例改为: :已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是菱形的底面是菱形, ,且且PA=PC,PB=PD.PA=PC,PB=PD.若若O O是是ACAC与与BDBD的交点的交点, ,求证求证:PO:PO平面平面ABCD.ABCD.【证明【证明】在在PBDPBD中中,PB=PD,O,PB=PD,O为为BDBD的中点的中点, ,所以所以POBD,POBD,在在PACPAC中中,PA=PC,O,PA=PC,O为为ACAC的中点的中点, ,所以所以POAC,POAC,又因为又因为ACBD=O,ACBD=O,所以所以POPO平面平面ABCD.ABCD.命题方向命题方向2:2:利用线面垂直的性质证明线线垂直利用线面垂直的性质证明线线垂直【典例【典例3 3】(2015(2015江苏高考江苏高考) )如图如图, ,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,已知已知ACBC,BC=CCACBC,BC=CC1 1. .设设ABAB1 1的中点为的中点为D,BD,B1 1CBCCBC1 1=E.=E.求证求证:(1)DE:(1)DE平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.(2)BC(2)BC1 1ABAB1 1. .【解题导引【解题导引】(1)(1)利用线面平行的判定定理证明利用线面平行的判定定理证明.(2).(2)先先证明证明BCBC1 1平面平面ABAB1 1C,C,再证明再证明BCBC1 1ABAB1 1. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意知由题意知, ,点点E E是是B B1 1C C的中点的中点. .在三角形在三角形ABAB1 1C C中中, ,点点D D是是ABAB1 1的中点的中点, ,所以所以DEDE是三角形是三角形ABAB1 1C C的中位线的中位线, ,所以所以DEAC.DEAC.又因为又因为ACAC 平面平面AAAA1 1C C1 1C,DEC,DE 平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,所所以以DEDE平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.(2)(2)因为因为ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱, ,且且ACBC,ACBC,所以所以ACAC平平面面BBBB1 1C C1 1C,C,所以所以ACBCACBC1 1. .又因为又因为BC=CCBC=CC1 1, ,所以四边形所以四边形BBBB1 1C C1 1C C是正方形是正方形, ,所以所以BCBC1 1BB1 1C.C.又因为又因为B B1 1CAC=C,CAC=C,所以所以BCBC1 1平面平面ABAB1 1C,C,所以所以BCBC1 1ABAB1 1. .【技法感悟【技法感悟】1.1.证明直线与平面垂直的常用方法证明直线与平面垂直的常用方法(1)(1)利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理. .(2)(2)利用利用“两平行线中的一条与平面垂直两平行线中的一条与平面垂直, ,则另一条也则另一条也与这个平面垂直与这个平面垂直”. .(3)(3)利用利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个一条直线垂直于两个平行平面中的一个, ,则则与另一个也垂直与另一个也垂直”. .(4)(4)利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理. .2.2.证明线线垂直的常用方法证明线线垂直的常用方法(1)(1)利用特殊图形中的垂直关系利用特殊图形中的垂直关系. .(2)(2)利用等腰三角形底边中线的性质利用等腰三角形底边中线的性质. .(3)(3)利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理. .(4)(4)利用直线与平面垂直的性质利用直线与平面垂直的性质. .【题组通关【题组通关】1.(20141.(2014重庆高考重庆高考) )如图如图, ,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面是以底面是以O O为中心的菱形为中心的菱形,PO,PO底面底面ABCD,AB=2,BAD= ,MABCD,AB=2,BAD= ,M为为BCBC上上一点一点, ,且且BM= .BM= .(1)(1)证明证明:BC:BC平面平面POM.POM.(2)(2)若若MPAP,MPAP,求四棱锥求四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积. .【解题提示【解题提示】(1)(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证由余弦定理、勾股定理等知识先证OMBM,OMBM,再由线面垂直的判定定理证明再由线面垂直的判定定理证明.(2).(2)将底面四边将底面四边形形ABMOABMO分为分为ABOABO与与MBOMBO来求面积来求面积, ,根据根据(1)(1)中结果中结果, ,利利用勾股定理、余弦定理求出用勾股定理、余弦定理求出PO,PO,代入棱锥的体积公式求代入棱锥的体积公式求解解. .【解析【解析】(1)(1)如图如图, ,因为因为ABCDABCD为菱形为菱形,O,O为菱形中心为菱形中心, ,连接连接OB,OB,则则AOAOOB.OB.因为因为BAD= ,BAD= ,故故OB=ABOB=ABsinsin =1, =1,又因为又因为BM= ,BM= ,且且OBM= ,OBM= ,在在OBMOBM中中, ,OMOM2 2=OB=OB2 2+BM+BM2 2-2OB-2OBBMBMcosOBMcosOBM所以所以OBOB2 2=OM=OM2 2+BM+BM2 2, ,故故OMBM,OMBM,故故OMBC.OMBC.又因为又因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以POBC.POBC.从而从而BCBC与平面与平面POMPOM内两条相交直线内两条相交直线OM,POOM,PO都垂直都垂直, ,所以所以BCBC平面平面POM.POM.(2)(2)由由(1)(1)得得,OA=AB,OA=ABcosOABcosOAB=2=2cos cos 设设PO=a,PO=a,由由POPO底面底面ABCDABCD知知,POA,POA为直角三角形为直角三角形, ,故故PAPA2 2=PO=PO2 2+OA+OA2 2=a=a2 2+3.+3.由由POMPOM也是直角三角形也是直角三角形, ,故故PMPM2 2=PO=PO2 2+OM+OM2 2=a=a2 2+ .+ .连接连接AM,AM,在在ABMABM中中, ,AMAM2 2=AB=AB2 2+BM+BM2 2-2AB-2ABBMBMcosABMcosABM 由已知由已知MPAP,MPAP,故故APMAPM为直角三角形为直角三角形, ,则则PAPA2 2+PM+PM2 2=AM=AM2 2, ,即即a a2 2+3+a+3+a2 2+ + 得得a= ,a=- (a= ,a=- (舍去舍去),),即即PO= .PO= .此时此时S S四边形四边形ABMOABMO=S=SAOBAOB+S+SOMBOMB所以四棱锥所以四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积V VP-ABMOP-ABMO= = S S四边形四边形ABMOABMOPO PO 2.(20152.(2015广东高考广东高考) )如图如图, ,三角形三角形PDCPDC所在的平面与长所在的平面与长方形方形ABCDABCD所在的平面垂直所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)(1)证明证明:BC:BC平面平面PDA.PDA.(2)(2)证明证明:BCPD.:BCPD.(3)(3)求点求点C C到平面到平面PDAPDA的距离的距离. .【解析】【解析】(1)(1)因为四边形因为四边形ABCDABCD是长方形是长方形, ,所以所以BCAD,BCAD,因为因为BCBC 平面平面PDA,ADPDA,AD 平面平面PDA,PDA,所以所以BCBC平面平面PDA.PDA.(2)(2)因为四边形因为四边形ABCDABCD是长方形是长方形, ,所以所以BCCD,BCCD,因为平面因为平面PDCPDC平面平面ABCD,ABCD,平面平面PDCPDC平面平面ABCD=CD,BCABCD=CD,BC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以BCBC平面平面PDC,PDC,因为因为PDPD 平面平面PDC,PDC,所以所以BCPD.BCPD.(3)(3)取取CDCD的中点的中点E,E,连接连接AEAE和和PE,PE,因为因为PD=PC,PD=PC,所以所以PECD,PECD,在在RtPEDRtPED中中,PE= ,PE= 因为平面因为平面PDCPDC平面平面ABCD,ABCD,平面平面PDCPDC平面平面ABCD=CD,ABCD=CD,PEPE 平面平面PDC,PDC,所以所以PEPE平面平面ABCD,ABCD,由由(2)(2)知知:BC:BC平面平面PDC,PDC,由由(1)(1)知知:BCAD,:BCAD,所以所以ADAD平面平面PDC,PDC,因为因为PDPD 平面平面PDC,PDC,所以所以ADPD,ADPD,设点设点C C到平面到平面PDAPDA的距离为的距离为h,h,因为因为V V三棱锥三棱锥C-PDAC-PDA=V=V三棱锥三棱锥P-ACDP-ACD, ,所以所以 S SPDAPDAh h= S= SACDACDPE,PE,即即 所以点所以点C C到平面到平面PDAPDA的距离是的距离是 . .考向三考向三平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质【典例【典例4 4】(2015(2015全国卷全国卷改编题改编题) )如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,ABC=120,ABC=120,E,F,E,F是平是平面面ABCDABCD同一侧的两点同一侧的两点,BE,BE平面平面ABCD,DFABCD,DF平面平面ABCD,ABCD,BE=2DF,AEEC.BE=2DF,AEEC.证明证明: :平面平面AECAEC平面平面AFC.AFC.【解题导引【解题导引】连接连接BD,BD,设设BDAC=G,BDAC=G,连接连接EF,EG,FG,EF,EG,FG,要证要证明平面明平面AECAEC平面平面AFC,AFC,只要证明只要证明EGEG与平面与平面AFCAFC垂直即可垂直即可, ,要证明要证明EGEG与平面与平面AFCAFC垂直垂直, ,只要证明只要证明EGEG与与ACAC和和FGFG都垂直都垂直即可即可. .【规范解答【规范解答】连接连接BD,BD,设设BDAC=G,BDAC=G,连接连接EG,FG,EF.EG,FG,EF.在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,不妨设不妨设GB=1.GB=1.由由ABC=120ABC=120, ,可得可得AG=GC= .AG=GC= .由由BEBE平面平面ABCD,AB=BCABCD,AB=BC可知可知AE=EC.AE=EC.又又AEEC,AEEC,所以所以EG= ,EG= ,且且EGAC.EGAC.在在RtEBGRtEBG中中, ,可得可得BE= ,BE= ,故故DF= .DF= .在在RtFDGRtFDG中中, ,可得可得FG= .FG= .在直角梯形在直角梯形BDFEBDFE中中, ,由由BD=2,BE= ,DF= ,BD=2,BE= ,DF= ,可得可得EF= .EF= .从而从而EGEG2 2+FG+FG2 2=EF=EF2 2, ,所以所以EGFG.EGFG.又因为又因为ACFG=G,ACFG=G,可得可得EGEG平面平面AFC.AFC.又因为又因为EGEG 平面平面AEC,AEC,所以平面所以平面AECAEC平面平面AFC.AFC.【规律方法【规律方法】1.1.面面垂直的证明方法面面垂直的证明方法(1)(1)定义法定义法: :利用面面垂直的定义利用面面垂直的定义, ,即判定两平面所成的即判定两平面所成的二面角为直二面角二面角为直二面角, ,将证明面面垂直问题转化为证明平将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题面角为直角的问题. .(2)(2)定理法定理法: :利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理, ,即证明其中一个即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线平面经过另一个平面的一条垂线, ,把问题转化成证明线把问题转化成证明线线垂直加以解决线垂直加以解决. .2.2.三种垂直关系的转化三种垂直关系的转化易错提醒易错提醒: :两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据线面垂直的依据, ,运用时要注意运用时要注意“平面内的直线平面内的直线”这一这一条件条件. .【变式训练【变式训练】(2015(2015山东高考改编题山东高考改编题) )如图如图, ,在三棱台在三棱台DEF-ABCDEF-ABC中中,AB=2DE,AB=2DE,点点G,HG,H分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点. .若若CFBC,ABBC,CFBC,ABBC,求证求证: :平面平面BCDBCD平面平面EGH.EGH.【证明【证明】连接连接DG.DG.因为因为G,HG,H分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点, ,所以所以GHAB,GHAB,由由ABBC,ABBC,得得GHBC,GHBC,又又H H为为BCBC的中点的中点, ,所以所以EFHC,EF=HC,EFHC,EF=HC,因此四边形因此四边形EFCHEFCH是平行四边形是平行四边形, ,所以所以CFHE,CFHE,又又CFBC,CFBC,所以所以HEBC,HEBC,又又HE,GHHE,GH 平面平面EGH,EGH,HEGH=H,HEGH=H,所以所以BCBC平面平面EGH,EGH,又又BCBC 平面平面BCD,BCD,所以平面所以平面BCDBCD平面平面EGH.EGH.【加固训练【加固训练】1.(20161.(2016南昌模拟南昌模拟) )如图如图, ,已知在四棱锥已知在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为4 4的正方形的正方形, ,PADPAD是正三角形是正三角形, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,E,F,GABCD,E,F,G分别是分别是PD,PC,BCPD,PC,BC的中点的中点. .(1)(1)求证求证: :平面平面EFGEFG平面平面PAD.PAD.(2)(2)若若M M是线段是线段CDCD上一点上一点, ,求三棱锥求三棱锥M-EFGM-EFG的体积的体积. .【解析【解析】(1)(1)因为平面因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,CDABCD=AD,CD 平面平面ABCD,CDAD,ABCD,CDAD,所以所以CDCD平面平面PAD.PAD.又因为又因为PCDPCD中中,E,F,E,F分别是分别是PD,PCPD,PC的中点的中点, ,所以所以EFCD,EFCD,所以所以EFEF平面平面PAD,PAD,因为因为EFEF 平面平面EFG,EFG,所以平面所以平面EFGEFG平面平面PAD.PAD.(2)(2)因为因为EFCD,EFEFCD,EF 平面平面EFG,CDEFG,CD 平面平面EFG,EFG,所以所以CDCD平面平面EFG,EFG,因此因此CDCD上的点上的点M M到平面到平面EFGEFG的距离等于点的距离等于点D D到到平面平面EFGEFG的距离的距离, ,所以所以V VM-EFGM-EFG=V=VD-EFGD-EFG, ,取取ADAD的中点的中点H,H,连接连接GH,EH,GH,EH,则则EFGH,EFGH,因为因为EFEF平面平面PAD,EHPAD,EH 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEH,EFEH,于是于是S SEFHEFH= EF= EFEH=2=SEH=2=SEFGEFG, ,因为平面因为平面EFGEFG平面平面PAD,PAD,平面平面EFGEFG平面平面PAD=EH,EHDPAD=EH,EHD是正三角形是正三角形, ,所以点所以点D D到平面到平面EFGEFG的距离等于正的距离等于正EHDEHD的高的高, ,即为即为 . .因此因此, ,三棱锥三棱锥M-EFGM-EFG的体积的体积V VM-EFGM-EFG= =V VD-EFGD-EFG= = 2.(20162.(2016安阳模拟安阳模拟) )如图如图, ,将边长为将边长为2 2的正六边形的正六边形ABCDEFABCDEF沿对角线沿对角线BEBE翻折翻折, ,连接连接AC,FD,AC,FD,形成如图所示的多面体形成如图所示的多面体, ,且且AC= .AC= .(1)(1)证明证明: :平面平面ABEFABEF平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)求三棱锥求三棱锥E-ABCE-ABC的体积的体积. .【解析【解析】(1)(1)在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中中, ,连接连接AC,BE,AC,BE,交点为交点为G,G,易知易知ACBE,ACBE,且且AG=CG= ,AG=CG= ,在多面体中在多面体中, ,由由AC= ,AC= ,知知AGAG2 2+CG+CG2 2=AC=AC2 2, ,故故AGGC,AGGC,又又GCBE=G,GC,BEGCBE=G,GC,BE 平面平面BCDE,BCDE,故故AGAG平面平面BCDE,BCDE,又又AGAG 平面平面ABEF,ABEF,所以平面所以平面ABEFABEF平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)连接连接AE,CE,AE,CE,则则AGAG为三棱锥为三棱锥A-BCEA-BCE的高的高,GC,GC为为BCEBCE的高的高. .在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中中,BE=2AF=4,BE=2AF=4,故故S SBCEBCE= = 所以所以V VE-ABCE-ABC=V=VA-BCEA-BCE= = 考向四考向四线面角与二面角的求法线面角与二面角的求法【典例【典例5 5】如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,PA=AB=BC,点点E E是是PCPC的中点的中点. .(1)(1)求求PBPB和平面和平面PADPAD所成的角的大小所成的角的大小. .(2)(2)证明证明:AE:AE平面平面PCD.PCD.(3)(3)求二面角求二面角A-PD-CA-PD-C的正弦值的正弦值. .【解题导引【解题导引】(1)(1)根据根据PAPA底面底面ABCD,ABCD,找到找到PBPB在平面在平面PADPAD内的射影内的射影, ,进而找到线面角进而找到线面角, ,放在可解三角形中求解放在可解三角形中求解. .(2)(2)利用线面垂直的判定定理证明利用线面垂直的判定定理证明. .(3)(3)根据题设中垂直关系先找到二面角根据题设中垂直关系先找到二面角A-PD-CA-PD-C的平面角的平面角, ,再放在一可解三角形中求解再放在一可解三角形中求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,因为因为PAPA底面底面ABCD,ABCD,ABAB 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAAB.PAAB.又因为又因为ABAD,PAAD=A,ABAD,PAAD=A,所所以以ABAB平面平面PAD,PAD,故故PBPB在平面在平面PADPAD内的射影为内的射影为PA,PA,从而从而APBAPB为为PBPB和平面和平面PADPAD所成的角所成的角. .在在RtPABRtPAB中中,AB=PA,AB=PA,故故APB=APB=4545. .所以所以PBPB和平面和平面PADPAD所成的角的大小为所成的角的大小为4545. .(2)(2)在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,因为因为PAPA底面底面ABCD,CDABCD,CD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以CDPA.CDPA.由条件由条件CDAC,PAAC=A,CDAC,PAAC=A,所以所以CDCD平面平面PAC.PAC.又因为又因为AEAE 平面平面PAC,PAC,所以所以AECD.AECD.由由PA=AB=BC,ABC=60PA=AB=BC,ABC=60, ,可得可得AC=PA.AC=PA.因为点因为点E E是是PCPC的中的中点点, ,所以所以AEPC.AEPC.又因为又因为PCCD=C,PCCD=C,所以所以AEAE平面平面PCD.PCD.(3)(3)过点过点E E作作EMPD,EMPD,垂足为点垂足为点M,M,连接连接AM,AM,如图所示如图所示. .由由(2)(2)知知,AE,AE平面平面PCD,AMPCD,AM在平面在平面PCDPCD内的射影是内的射影是EM,EM,则则AMPD.AMPD.因此因此AMEAME是二面角是二面角A-PD-CA-PD-C的平面角的平面角. .由已知由已知, ,可得可得CAD=30CAD=30. .设设AC=a,AC=a,可得可得PA=a, PA=a, 在在RtADPRtADP中中, ,因为因为AMPD,AMPD,所以所以AMAMPD=PAPD=PAAD,AD,则则AM= AM= 在在RtAEMRtAEM中中,sinAME,sinAME= = 所以二面角所以二面角A-PD-CA-PD-C的正弦值为的正弦值为 . .【规律方法【规律方法】1.1.求空间线面角、二面角的三个步骤求空间线面角、二面角的三个步骤(1)(1)找找: :根据图形找出相关的线面角或二面角根据图形找出相关的线面角或二面角. .(2)(2)证证: :证明找出的角即为所求的角证明找出的角即为所求的角. .(3)(3)算算: :根据题目中的数据根据题目中的数据, ,通过解三角形求出所求角通过解三角形求出所求角. .2.2.空间线面角、二面角的求法空间线面角、二面角的求法(1)(1)线面角的求法线面角的求法: :找出斜线在平面上的射影找出斜线在平面上的射影, ,作出垂线作出垂线, ,确定垂足确定垂足. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法: :直接法直接法: :根据概念直接作根据概念直接作, ,如二面角的棱是两个等腰如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边三角形的公共底边, ,就可以取棱的中点就可以取棱的中点, ,垂面法垂面法: :如图如图1,1,过二面角棱上一点作棱的垂面过二面角棱上一点作棱的垂面, ,则垂则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角的平面角或其补角. .垂线法垂线法: :如图如图2,2,过二面角的一个半平面内过二面角的一个半平面内一点一点A A作另一个半平面的垂线作另一个半平面的垂线, ,再从垂足再从垂足B B向向二面角的棱作垂线二面角的棱作垂线, ,垂足为垂足为C,C,这样二面角的这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,ABC,连接连接AC,AC,则则ACAC也与二面角的棱垂直也与二面角的棱垂直,ACB,ACB就是二面角的平面角或其就是二面角的平面角或其补角补角. .【变式训练【变式训练】(2016(2016唐山模拟唐山模拟) )已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,PAPA平面平面ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为a a的菱形的菱形,BAD=120,BAD=120, ,PA=b.PA=b.(1)(1)求证求证: :平面平面PBDPBD平面平面PAC.PAC.(2)(2)设设ACAC与与BDBD交于点交于点O,O,点点M M为为OCOC的中点的中点, ,若二面角若二面角A-PM-DA-PM-D的正切值为的正切值为2 ,2 ,求求abab的值的值. .【解析【解析】(1)(1)因为因为PAPA平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAPABD,BD,又因为四边形又因为四边形ABCDABCD为菱形为菱形, ,所以所以ACBD,ACBD,因为因为PAAC=A,PAAC=A,所以所以BDBD平面平面PAC,PAC,因为因为BDBD 平面平面PBD,PBD,所以平面所以平面PBDPBD平面平面PAC.PAC.(2)(2)过点过点O O作作OHPMOHPM交交PMPM于点于点H,H,连接连接HD.HD.因为因为ODOD平面平面PAC,PAC,所以所以ODPM,ODPM,又又OHPM,ODOH=O,OHPM,ODOH=O,故故PMPM平面平面ODH,ODH,可得可得DHPM,DHPM,所以所以OHDOHD为二面角为二面角A-PM-DA-PM-D的平面角的平面角, ,又因为又因为 且且 从而从而 所以所以tanOHDtanOHD= = 所以所以9a9a2 2=16b=16b2 2, ,所以所以 【加固训练【加固训练】(2016(2016怀化模拟怀化模拟) )如图如图, ,直角梯形直角梯形ABCDABCD中中,ABCD,ABCD,ABBC,AB=1,BC=2,CD=1+ ,ABBC,AB=1,BC=2,CD=1+ ,过点过点A A作作AECD,AECD,垂足为垂足为点点E,E,点点F,GF,G分别是分别是CE,ADCE,AD的中点的中点, ,现将现将ADEADE沿沿AEAE折起折起, ,使二面角使二面角D-AE-CD-AE-C的平面角为的平面角为135135. .(1)(1)求证求证: :平面平面DCEDCE平面平面ABCE.ABCE.(2)(2)求直线求直线FGFG与平面与平面DCEDCE所成角的正弦值所成角的正弦值. .【解析【解析】(1)(1)因为因为DEAE,CEAE,DECE=E,DEAE,CEAE,DECE=E,DE,CEDE,CE 平面平面CDE,CDE,所以所以AEAE平面平面CDE,CDE,因为因为AEAE 平面平面ABCE,ABCE,所以平面所以平面DCEDCE平面平面ABCE.ABCE.(2)(2)过点过点G G作作GHAE,GHAE,与与DEDE相交于点相交于点H,H,连接连接FH,FH,由由(1)(1)知知AEAE平面平面CDE,CDE,所以所以GHGH平面平面CDE,GFHCDE,GFH是直线是直线FGFG与平面与平面DCEDCE所成角所成角, ,因为点因为点G G是是ADAD的中点的中点, ,所以所以GHGH是是ADEADE的中位线的中位线,GH=1,GH=1,EH= ,EH= ,因为因为DEAE,CEAE,DEAE,CEAE,所以所以DECDEC是二面角是二面角D-AE-CD-AE-C的平面角的平面角, ,即即DEC=135DEC=135, ,在在EFHEFH中中, ,由余弦定理得由余弦定理得,FH,FH2 2=EF=EF2 2+EH+EH2 2-2-2EFEFEHEHcosFEHcosFEH 所以所以FH= ,FH= ,因为因为GHGH平面平面CDE,CDE,所以所以GHFH,GHFH,在在RtGFHRtGFH中中,GF= ,GF= 所以直线所以直线FGFG与平面与平面DCEDCE所成角的正弦值为所成角的正弦值为sinGFHsinGFH= = 备选考向备选考向线、面位置关系中的探索性问题线、面位置关系中的探索性问题【典例【典例】(2016(2016石家庄模拟石家庄模拟) )在如图所示的几何体中在如图所示的几何体中, ,面面CDEFCDEF为正方形为正方形, ,面面ABCDABCD为等腰梯形为等腰梯形,ABCD,AC= ,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB.AB=2BC=2,ACFB.(1)(1)求证求证:AC:AC平面平面FBC.FBC.(2)(2)求四面体求四面体FBCDFBCD的体积的体积. .(3)(3)线段线段ACAC上是否存在点上是否存在点M,M,使使EAEA平面平面FDM?FDM?若存在若存在, ,请请说明其位置说明其位置, ,并加以证明并加以证明; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【解析【解析】(1)(1)在在ABCABC中中, ,因为因为AC= ,AB=2,BC=1,AC= ,AB=2,BC=1,所以所以ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2, ,所以所以ACBC.ACBC.又因为又因为ACFB,BCFB=B,ACFB,BCFB=B,所以所以ACAC平面平面FBC.FBC.(2)(2)因为因为ACAC平面平面FBC,FBC,所以所以ACFC.ACFC.因为因为CDFC,ACCD=C,CDFC,ACCD=C,所以所以FCFC平面平面ABCD.ABCD.在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中可得中可得CB=DC=1,CB=DC=1,所以所以FC=1.FC=1.所以所以BCDBCD的面积为的面积为S= S= 所以四面体所以四面体FBCDFBCD的体积为的体积为V VF-BCDF-BCD= = (3)(3)线段线段ACAC上存在点上存在点M,M,且点且点M M为为ACAC中点时中点时, ,有有EAEA平面平面FDM.FDM.证明如下证明如下: :连接连接CE,CE,与与DFDF交于点交于点N,N,取取ACAC的中点的中点M,M,连接连接MN.MN.因为四边形因为四边形CDEFCDEF是正方形是正方形, ,所以点所以点N N为为CECE的中点的中点. .所以所以EAMN.EAMN.因为因为MNMN 平面平面FDM,EAFDM,EA 平面平面FDM,FDM,所以所以EAEA平面平面FDM.FDM.所以线段所以线段ACAC上存在点上存在点M,M,使得使得EAEA平面平面FDMFDM成立成立. .【规律方法【规律方法】解决探索性问题的方法解决探索性问题的方法(1)(1)对命题条件的探索的三种途径对命题条件的探索的三种途径途径一途径一: :先猜后证先猜后证, ,即先观察与尝试给出条件再证明即先观察与尝试给出条件再证明; ;途径二途径二: :先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件条件, ,再证明充分性再证明充分性. .途径三途径三: :将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题, ,探索出命题成立探索出命题成立的条件的条件. .(2)(2)对命题结论的探索方法对命题结论的探索方法从条件出发从条件出发, ,探索出要求的结论是什么探索出要求的结论是什么, ,对于探索结论对于探索结论是否存在是否存在, ,求解时常假设结论存在求解时常假设结论存在, ,再寻找与条件相容再寻找与条件相容或者矛盾的结论或者矛盾的结论. .【加固训练【加固训练】1.1.如图如图, ,在四棱锥在四棱锥S-ABCDS-ABCD中中, ,平面平面SADSAD平平面面ABCD.ABCD.四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形, ,且点且点P P为为ADAD的中点的中点, ,点点Q Q为为SBSB的中点的中点. .(1)(1)求证求证:CD:CD平面平面SAD.SAD.(2)(2)求证求证:PQ:PQ平面平面SCD.SCD.(3)(3)若若SA=SD,SA=SD,点点M M为为BCBC的中点的中点, ,在棱在棱SCSC上是否存在点上是否存在点N,N,使使得平面得平面DMNDMN平面平面ABCD?ABCD?若存在若存在, ,请说明其位置请说明其位置, ,并加以并加以证明证明; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【解析【解析】(1)(1)因为四边形因为四边形ABCDABCD为正方形为正方形, ,所以所以CDCDAD.AD.又因为平面又因为平面SADSAD平面平面ABCD,ABCD,且平面且平面SADSAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,所以所以CDCD平面平面SAD.SAD.(2)(2)取取SCSC的中点的中点R,R,连接连接QR,DR.QR,DR.由题意知由题意知: :PDBCPDBC且且PD= BC.PD= BC.在在SBCSBC中中, ,点点Q Q为为SBSB的中点的中点, ,点点R R为为SCSC的中点的中点, ,所以所以QRBCQRBC且且QR= BC,QR= BC,所以所以PDQR,PDQR,且且PD=QR,PD=QR,所以四边形所以四边形PDRQPDRQ为平行四边形为平行四边形, ,所以所以PQDR.PQDR.又因为又因为PQPQ 平面平面SCD,DRSCD,DR 平面平面SCD,SCD,所以所以PQPQ平面平面SCD.SCD.(3)(3)存在点存在点N N为为SCSC的中点的中点, ,使得平面使得平面DMNDMN平面平面ABCD.ABCD.证明如下证明如下: :连接连接PC,DMPC,DM交于点交于点O,O,连接连接PM,SP,NM,ND,NO,PM,SP,NM,ND,NO,因为因为PDCM,PDCM,且且PD=CM,PD=CM,所以四边形所以四边形PMCDPMCD为平行四边形为平行四边形, ,所以所以PO=CO.PO=CO.又因为点又因为点N N为为SCSC的中点的中点, ,所以所以NOSP.NOSP.易知易知SPAD,SPAD,因为平面因为平面SADSAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面SADSAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,并且并且SPAD,SPAD,所以所以SPSP平面平面ABCD,ABCD,所以所以NONO平面平面ABCD.ABCD.又因为又因为NONO 平面平面DMN,DMN,所以平面所以平面DMNDMN平面平面ABCD.ABCD.2.2.如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD为菱形为菱形,BAD=60,BAD=60, ,点点Q Q为为ADAD的中点的中点. .(1)(1)若若PA=PD,PA=PD,求证求证: :平面平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)点点M M在线段在线段PCPC上上,PM=tPC,PM=tPC, ,试确定实数试确定实数t t的值的值, ,使得使得PAPA平面平面MQB.MQB.【解析【解析】(1)(1)依题意依题意, ,可设可设AB=2a,AB=2a,故故AQ=a,AQ=a,在在ABQABQ中中,BAD=60,BAD=60, ,由余弦定理可知由余弦定理可知,BQ,BQ2 2=AQ=AQ2 2+AB+AB2 2-2AQ-2AQABABcosBADcosBAD=a=a2 2+(2a)+(2a)2 2-2-2a a2a2acos 60cos 60=3a=3a2 2. .所以所以AQAQ2 2+BQ+BQ2 2=4a=4a2 2=AB=AB2 2. .所以所以AQB=90AQB=90, ,所以所以ADBQ.ADBQ.( (另解另解: :连接连接BD,BD,由由BAD=60BAD=60,AD=AB,AD=AB,可知可知ABDABD为等边为等边三角形三角形, ,又因为又因为Q Q为为ADAD的中点的中点, ,所以所以ADBQ.)ADBQ.)又在又在PADPAD中中,PA=PD,PA=PD,点点Q Q为为ADAD的中点的中点, ,所以所以PQAD,PQAD,又因为又因为PQBQ=Q,PQBQ=Q,所以所以ADAD平面平面PQB.PQB.又因为又因为ADAD 平面平面PAD,PAD,所以平面所以平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)连接连接ACAC交交BQBQ于点于点O,O,连接连接MO,MO,欲使欲使PAPA平面平面MQB,MQB,只需满足只需满足PAOMPAOM即可即可. .又由已知又由已知AQBC,AQBC,易证得易证得AQOCBO,AQOCBO,所以所以 故只需故只需 即即t= t= 时时, ,满足题意满足题意. .因为因为 所以可知所以可知PAOM,PAOM,又因为又因为PAPA 平面平面MBQ,OMMBQ,OM 平面平面MBQ,MBQ,所以可知当所以可知当t= t= 时时,PA,PA平面平面MQB.MQB.